八年级数学下册 25.2 正比例函数（原卷版）

第第页25.2正比例函数一、正比例函数的概念1.变量之间的正比例关系举例：（1）设某种水果的单价为25元/千克，售出的数量为x千克，销售金额为y元，于是y=25x或；（2）一个正方形的周长随着边长的变化而变化.设正方形的边长为x(x>0),则其周长为y=4x,也可表示为变量y与变量x成正比例：如果变量y与变量x的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量y与变量x成正比例.用数学式子表示为或y=kx,其中k是一个不等于0的常数.2.正比例函数变量y与变量x成正比例，说明y是x的一个函数.形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫作正比例函数，其中非零常数k称为比例系数，自变量x的取值范围是一切实数.确定了比例系数k,就可以给出正比例函数的表达式：y=kx(k≠0).3.待定系数法例1：已知y是x的正比例函数，当x=3时函数值为24.(1)求该函数的表达式；(2)当函数值分别为-5、0、3时，求自变量x解：(1)因为y是x的正比例函数，可设其表达式为y=kx(k≠0).根据题意，3k=24,解得k=8.所以该函数的表达式为y=8x.(2)由y=8x,知当y=-5时，-5=8x,解得；当y=0时，0=8x,解得x=0；当y=3时，3=8x,解得这里求正比例函数表达式的方法是待定系数法.表达式中k是待定系数，利用已知条件列出关于k的方程再求解，可确定k的值.正比例函数的图像与性质1.作正比例函数的图像已知正比例函数y=2x.列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y,见表25-4.(2)描点：分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图25-2-1(1)所示，不难发现上述所有点均落在同一条过原点的直线上.(3)连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起来，如图25-2-1(2)所示.注意到所画直线上任意一点的坐标都满足函数的表达式y=2x;同时，对于任意一对满足这个函数表达式的x、y,以(x,y)为坐标的点都在所画的直线上.因此，函数y=2x的图像就是这条直线.2.正比例函数的特点如图25-2-2所示为y=-2x的图像；观察可见，函数y=2x与y=-2x的图像都经过原点.实际上，原点O的坐标(0,0)满足这两个函数的表达式.我们知道，两点确定一条直线.例如，函数y=2x的图像，可以由原点O(0,0)和点(1,2)确定；函数y=-2x的图像可以由原点O(0,0)和点(1,—2)确定.①正比例函数y=kx(k≠0)的图像是一条经过原点的直线，这条直线称为直线y=kx.②比例系数的符号决定正比例函数y=kx(k≠0)所经过的象限当k＞0时，直线y=kx经过第一、三象限，；当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限。3.正比例函数的性质通过观察，可以归纳正比例函数y=kx(k≠0)有如下性质：(1)当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，函数值y随着自变量x的增大而增大；(2)当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，函数值y随着自变x的增大而减小.(1)(2)这两个性质的逆命题也是成立的.4.正比例函数的应用例2：在水管放水的过程中，放水的时间x(单位：min)与流出的水量y(单位：m³)是两个变量.已知每分钟流出的水量是0.2m³,放水的过程持续10min.写出y关于x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围，再画出这个函数的图像.解：在水管放水的过程中，变量y与变量x成正比例，比例系数是0.2.相应函数的表达式是y=0.2x,自变量x的取值范围是0≤x≤10.这个函数的图像是一条线段，如图25-2-5所示.题型1：正比例函数的概念1．下列表达式中，y是x的正比例函数的是（

）A． B． C． D．2．下列函数中，表示是的正比例函数的是（

）A． B． C． D．3．下列函数中，是的正比例函数的是（

）A． B． C． D．4．下列关系中，属于成正比例函数关系的是（

）A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长题型2：根据正比例函数的概念求参数Ⅰ5．若是正比例函数，则的值是（

）．A． B． C． D．6．已知正比例函数的图象经过点，则的值为（

）A．2 B．3 C． D．7．若y关于x的函数是正比例函数，则a，b应满足的条件是（）A． B． C．且 D．且题型3：根据正比例函数的概念求参数Ⅱ8．当时，函数是正比例函数．9．若关于x的函数是正比例函数，则该函数的表达式为．10．若一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为．11．已知在正比例函数上，则k的值为（

）A． B．2 C． D．12．已知函数（m是常数）是正比例函数，则．题型4：正比例函数的有关求值问题13．若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点（

）A． B． C． D．14．函数的图象是经过点(0，)和点(，6)的一条直线．15．已知正比例函数经过点和，则x的值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．416．对于正比例函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加．题型5：判断正比例函数经过的象限17．正比例函数的图象经过（）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限18．正比例函数的图象，则图象经过第象限．19．已知正比例函数（是常数，），如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图像经过第象限．题型6：比较大小问题—正比例函数的性质应用20．已知，在函数图象上，则（填“”或“”）．21．已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定22．如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（

）A． B． C． D．不能比较题型7：正比例函数的图像与性质综合23．关于函数，下列判断正确的是（

）A．图像经过第一、三象限 B．无论为何值，总有C．图像经过点 D．随的增大而减小24．下列选项中，是正比例函数（），且随的增大而减小的图象的是（

）A． B．C． D．题型8：根据正比例函数的图像或性质综求参数25．已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（

）．A． B． C． D．26．若函数是正比例函数，且图像经过一、三象限，则．27．如果正比例函数的图象在二、四象限，那么的值是．28．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是．29．若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于（填一个即可）．30．已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是．（写出一个符合题意的k的值即可）31．已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（

）A． B． C．0 D．2*题型9：根据正比例函数的图像比较比例系数的大小32．四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．33．如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是；34．如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是．（用“”号连接）35．如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是：①；②；③．请用“>”表示，，的大小关系．题型10：根据正比例关系求函数表达式36．已知y与成正比例，当时；当时，．37．已知与成正比例，比例系数是，则与的函数关系式是．题型11：最值、取值范围问题38．如图，已知正比例函数经过点P，若，则y的取值范围是．39．当时，函数的最大值为．40．当时，函数的最大值与最小值的和为．题型12：解答题41．已知y与x成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设点在这个函数的图象上，求m的值．42．已知y是x的正比例函数，且当时，．(1)求这个正比例函数的解析式；(2)若点在该函数图象上，试比较，的大小．43．已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数解析式．44．已知函数是正比例函数．(1)若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值；(2)若函数的图象过第一、三象限，求m的值．45．已知与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数解析式．(2)当时，求y的值；(3)若点，都在该函数的图象上，且，试判断，的大小关系．46．已知与成正比例，并且时，．(1)写出与之间的函数关系式；(2)当时，求的值；(3)当时，求的值．47．已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4．(1)求y与x之间的关系式；(2)当x＝﹣1时，求y的值．48．小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系．(1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟；(2)当时，与之间的函数关系式是________；(3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米．一、单选题1．下列函数中，是正比例函数的是（

）A． B．C． D．2．若正比例函数的图像经过第二、四象限，则（

）A． B． C． D．3．下列各图像中，表示函数的大致图像是（

）A． B．C． D．4．正比例函数的自变量增加，函数值相应减少，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知正比例函数y=kx的图象经过点（2，﹣4），（1，），（﹣1，），那么与的大小关系是（）A．＜ B．＝ C．＞ D．无法确定6．已知正比例函数，下列结论正确的是（）A．图象是一条射线 B．图象必经过点C．y随x的增大而减小 D．图象经过第一、三象限二、填空题7．若与成正比例，当时，，则关于的函数解析式为．8．已知与成正比例，且当时，，那么当时，．9．正比例函数的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是．10．正比例函数的图像经过，且，则k的范围是．11．已知正比例函数的图象上的两点，当时，有，那么的取值范围是．12．如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn．如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…，四边形An-1AnBnBn-1的面积记作Sn，那么S2019=．

三、解答题13．已知与成正比例，当时，(1)求与的函数表达式；(2)当时，求函数值；(3)当时，求自变量的值．14．已知与成正比例，且当时，．(1)写出与之间的函数关系式