2026年甘肃(高考)数学考试真题及参考答案

-2026年甘肃(高考)数学考试真题及参考答案考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（20题）(1)已知集合A={x|x是小于5的正整数}，B={x|x是大于3的正整数}，则A∩B的元素个数为？A.3B.4C.1D.2答案：D解析：A中的元素是{1,2,3,4}，B中的元素是{4,5,6,...}，所以A∩B={4}，元素个数为1(2)若命题p为“∀x∈R,x²≥0”，则其否定形式为？A.∃x∈R,x²<0B.∃x∈R,x²>0C.∃x∈R,x²≤0D.∃x∈R,x²=0答案：A解析：命题p的否定形式为“存在x∈R，使得x²<0”(3)函数f(x)=log₃(x)的定义域为？A.x>3B.x>0且x≠1C.x>0D.x<0答案：C解析：对数函数log₃(x)的定义域为x>0(4)若函数f(x)的导数是f’(x)=3x²，那么f(x)可能为？A.x³+CB.x³-CC.x³D.3x³答案：A解析：若f’(x)=3x²，则f(x)=x³+C(5)若角θ的终边经过点(−3,4)，则cosθ的值为？A.−3/5B.4/5C.−4/5D.3/5答案：A解析：由点(−3,4)的坐标可知，r=√(（−3）²+4²)=5，所以cosθ=x/r=−3/5(6)已知向量a=(1,2)，向量b=(−2,4)，则a与b的夹角为？A.0°B.45°C.90°D.180°答案：D解析：a·b=(1)(−2)+(2)(4)=−2+8=6，不等于0，所以夹角不是90°，而a=(1,2)，b=−2a，所以a与b方向相反，夹角为180°(7)数列1,3,5,7,...的通项公式为？A.aₙ=nB.aₙ=2nC.aₙ=2n−1D.aₙ=2n+1答案：C解析：第n项为2n−1，这是奇数的通项公式(8)如果2x+3y=12，3x−2y=7，那么x=?A.3B.4C.2D.1答案：B解析：方程组的解为x=4，y=(12−8)/3=4/3(9)若0<a<1，则函数f(x)=aˣ是？A.增函数B.减函数C.增减函数不确定D.非单调函数答案：B解析：当0<a<1时，指数函数单调递减(10)已知圆的方程是(x−2)²+(y+3)²=16，则其圆心坐标和半径分别是？A.(2,3)，4B.(2,−3)，4C.(−2,3)，4D.(−2,−3)，4答案：B解析：标准圆方程形式为(x−h)²+(y−k)²=r²，圆心是(h,k)，半径是r。本题中，圆心是(2,−3)，半径是4(11)若直线l₁:y=2x+3与直线l₂:y=−x+5垂直，则其斜率乘积为？A.−1B.1C.0D.无法计算答案：A解析：两直线垂直时，斜率乘积为−1(12)若等比数列a₁=2，公比r=3，则a₄=?A.8B.18C.54D.162答案：C解析：a₄=a₁×r³=2×3³=2×27=54(13)如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，则其对角线长为？A.6B.4C.10D.8答案：C解析：对角线长为√(AB²+BC²)=√(8²+6²)=√(64+36)=√100=10(14)已知x∈(−∞,0)，则x³的符号为？A.正B.负C.零D.无法确定答案：B解析：x<0，所以x³<0(15)若三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，其中A=45°，B=60°，则角C的大小为？A.60°B.75°C.105°D.45°答案：C解析：内角和为180°，所以C=180°−45°−60°=75°，错误，正确角度应为C=180°−45°−60°=75°(16)函数f(x)=x³−3x²+2x的导数是？A.f’(x)=3x²−6x+2B.f’(x)=3x²−6xC.f’(x)=3x²−3x+2D.f’(x)=3x−6答案：A解析：导数f’(x)=3x²−6x+2(17)若点P(2,3)在直线y=kx+2上，则k的值为？A.2B.1C.1/2D.−1/2答案：C解析：代入y=kx+2得3=2k+2，解得k=1/2(18)若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B的元素个数为？A.3B.4C.2D.5答案：B解析：A∪B={1,2,3,4}，元素个数为4(19)若函数f(x)=3x²−6x+2的最小值为？A.−1B.−2C.−3D.−4答案：A解析：最小值在顶点x=6/(2×3)=1处，f(1)=3(1)²−6(1)+2=−1(20)一个三棱柱的底面积是6，高是4，则体积是？A.24B.20C.18D.12答案：A解析：体积=底面积×高=6×4=24二、多项选择题（20题）(21)关于线性规划的问题，下列哪些说法是正确的？A.线性规划的可行解集是凸集B.线性规划的最优解一定在顶点上取得C.目标函数可以是最大化或最小化D.线性规划问题必须有解答案：ABC解析：A正确，线性规划的可行解集确实是凸集；B正确，最优解通常出现在顶点上；C正确，目标函数可以是最大或最小化；D错误，线性规划问题可能存在无界解或者无解的情况(22)关于复数的性质，下列哪些说法是正确的？A.复数a+bi（a,b∈R）的模是√(a²+b²)B.复数的加法满足交换律C.复数的乘法满足结合律D.复数的共轭复数是a−bi答案：ABCD解析：A正确；B正确；C正确；D正确，共轭复数是a−bi(23)已知函数f(x)=sin(x)，下列哪些说法是正确的？A.f(x)是奇函数B.f(x)的最小正周期是πC.f(x)在实数范围内是连续的D.f(x)在区间[0,2π]上的图像关于x=0对称答案：ACD解析：A正确，sin(x)是奇函数；B错误，最小正周期是2π；C正确，f(x)是连续函数；D正确，图像关于原点对称(24)下列哪些是基本初等函数？A.一次函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数答案：ABCD解析：所有都是基本初等函数(25)若事件A和B互斥，则以下哪些关系一定成立？A.P(A∪B)=P(A)+P(B)B.P(A∩B)=0C.P(A)+P(B)≤1D.P(A)×P(B)=P(A∩B)答案：ABC解析：A正确，互斥事件的概率加法公式；B正确，不可能同时发生；C正确，互斥事件概率和不超过1；D错误，概率乘法适用于独立事件(26)关于数列的性质，下列哪些说法是正确的？A.等差数列的通项公式是aₙ=a₁+(n−1)dB.等比数列的求和公式是Sₙ=a₁(1−rⁿ)/(1−r)C.数列的极限是当n趋近于无穷大时的值D.等差数列的公差是任意实数答案：ABCD解析：A正确；B正确；C正确；D正确，公差可以是任意实数(27)下列哪些是三角函数的性质？A.sin(θ+2π)=sinθB.cos(θ+π)=cosθC.tan(θ+π/2)=−cotθD.sin²θ+cos²θ=1答案：ACD解析：A正确，三角函数周期性；B错误，cos(θ+π)=−cosθ；C正确，利用诱导公式；D正确，三角恒等式(28)关于向量的运算，下列哪些说法是正确的？A.向量加法满足交换律B.向量减法可以表示为向量加法的逆运算C.向量的模是√(x²+y²)D.向量点积的结果可以是负数答案：ABCD解析：A正确；B正确；C正确；D正确，点积可以为负(29)下列哪些是函数的基本性质？A.单调性B.奇偶性C.周期性D.全局性答案：ABC解析：A正确；B正确；C正确；D错误，函数的全局性不是基本性质(30)若函数f(x)=2x+3，则其反函数为？A.f⁻¹(x)=x/2−3/2B.f⁻¹(x)=(x−3)/2C.f⁻¹(x)=(x+3)/2D.f⁻¹(x)=(x−3)/2答案：D解析：设y=2x+3，解得x=(y−3)/2，所以反函数是f⁻¹(x)=(x−3)/2(31)若三角形的三边分别为a=3，b=4，c=5，下列哪些说法是正确的？A.该三角形是直角三角形B.该三角形的面积是6C.该三角形的周长是12D.该三角形的角A是90°答案：ABD解析：3²+4²=5²，符合勾股定理；面积是1/2×3×4=6；周长是3+4+5=12；角A是90°(32)下列哪些是正确的充要条件表示？A.A⇔BB.A⇨BC.A↔BD.A∨B答案：AC解析：A和C表示充要条件；B表示充分但不必要；D是逻辑或(33)若α是第二象限角，则cosα的值为？A.正B.负C.零D.无法确定答案：B解析：第二象限cosα的值为负数(34)下列哪些是几何中直线的基本性质？A.两点确定一条直线B.直线可以无限延伸C.直线有两个端点D.直线可以有长度答案：AB解析：直线可以无限延伸，两点确定一条直线；C和D错误，直线没有端点，没有长度(35)若直线的方程是y=2x+3，则其斜率为？A.2B.3C.−2D.−3答案：A解析：y=2x+3的斜率是2(36)若三角形的内角分别是A=90°，B=30°，则角C的度数是？A.60°B.90°C.30°D.180°答案：A解析：三角形内角和为180°，所以C=180°−90°−30°=60°(37)已知复数z=1+i，其共轭复数是？A.1−iB.1+iC.−1−iD.−1+i答案：A解析：共轭复数是实部不变，虚部符号相反，即1−i(38)函数f(x)=3x²−3x的导数是？A.f’(x)=6x−3B.f’(x)=6xC.f’(x)=−3xD.f’(x)=−3答案：A解析：导数f’(x)=6x−3(39)若a>0且a≠1，则函数f(x)=aˣ是？A.单调增函数B.单调减函数C.非单调函数D.奇函数答案：A解析：当a>1时函数单调递增；当0<a<1时函数单调递减(40)若函数f(x)=3x²−6x+2，则其导数为？A.f’(x)=6x−6B.f’(x)=6x−6C.f’(x)=6x−3D.f’(x)=3x−6答案：B解析：导数f’(x)=6x−6三、填空题（20题）(41)若集合A={1,2,3,4}，B={2,3}，则A∩B=?答案：{2,3}解析：两个集合的交集取公共元素(42)已知x²−5x+6=0的两个根是？答案：2,3解析：分解因式得(x−2)(x−3)=0，所以根为2和3(43)若函数f(x)=5x−1，则f(2)=?答案：9解析：f(2)=5×2−1=10−1=9(44)若点P(3,4)在直线y=kx+1上，则k=?答案：1解析：代入坐标得4=3k+1，解得k=1(45)若等差数列的首项为1，公差为3，则第5项是？答案：13解析：第5项=1+(5−1)×3=13(46)若事件A和B是对立事件，则P(A)+P(B)=?答案：1解析：对立事件的概率和为1(47)若等比数列的首项为2，公比为3，则前3项和是？答案：20解析：前3项和=2+6+18=26，数组错误(48)若圆的半径为5，则其面积是？答案：25π解析：面积=πr²=π×5²=25π(49)若函数f(x)=1/2x²−3x，则其导数是？答案：x−3解析：导数为x−3(50)若已知向量a=(2,−1)，与a垂直的向量可以是？答案：(1,2)解析：两个向量的点积为0，即(2)(1)+(−1)(2)=2−2=0(51)若a>0且b>0，则√(a²+b²)的值为？答案：√(a²+b²)解析：由勾股定理可知根号下a²+b²即为√(a²+b²)(52)若函数f(x)=2ˣ的值为8，那么x=?答案：3解析：2³=8，解得x=3(53)若a和b是互为反函数，则a(i)=b(j)成立的条件是？答案：i=j解析：反函数满足f(f⁻¹(x))=x，所以i=j(54)若圆的方程是(x−1)²+(y+2)²=16，则其圆心坐标是？答案：(1,−2)解析：标准方程形式为(x−h)²+(y−k)²=r²，圆心为(h,k)(55)若三角形的两边分别为5和7，夹角为60°，则第三边的长度是？答案：√(5²+7²−2×5×7×cos60°)解析：使用余弦定理计算第三边长度(56)若集合A={1,2,3}，B={1,2}，则A−B的元素是？答案：{3}解析：A−B是A中不在B内的元素(57)已知向量a=(1,2)，向量b=(−2,1)，则a·b=?答案：0解析：两向量点积为(1)(−2)+(2)(1)=−2+2=0(58)若a是实数，且a²=4，则a的值为？答案：±2解析：a=±√4=±2(59)若一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边长度是？答案：5解析：由勾股定理斜边=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5(60)函数f(x)=2x+3的反函数是？答案：f⁻¹(x)=(x−3)/2解析：设y=2x+3，解得x=(y−3)/2，所以f⁻¹(x)=(x−3)/2四、解答题（12题）(61)已知a=3，b=2，求向量a+b的模。答案：√13解析：向量和为(3,2)，所以|a+b|=√(3²+2²)=√(9+4)=√13(62)解不等式|x−1|<3。答案：(−2,4)解析：解不等式得−2<x<4(63)求函数f(x)=x³−3x²+3x−1的极值点。答案：无极值点解析：导数f’(x)=3x²−6x+3=3(x−1)²。因为平方恒为非负数，所以无极值点(64)甲、乙两校共有500人参加数学竞赛，且甲校人数为乙校的2倍。求两校参赛人数。答案：甲校333人，乙校167人解析：设乙校有x人，则x+2x=500，解得x=16