2025-2026学年福建省福州市鼓楼区黎明中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省福州市鼓楼区黎明中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(1,1)，b=(1,2)，则a+A.(1,1) B.(1,2) C.(1,3) D.(2,3)2.已知z1=a+2i，z2=3+bi(a,b∈R)，若zA.a=3，b=2 B.a=−3，b=2 C.a=3，b=−2 D.a=−2，b=33.已知集合A={x|−5<x3<5}，B={−3,−1,0,2,3}，则A∩B=A.{−1,0} B.{2,3} C.{−3,−1,0} D.{−1,0,2}4.若sinα=−513，α为第四象限角，则tanα的值等于(

)A.125 B.−125 C.55.函数f(x)=x4−2x3的图像在点A.y=−2x−1 B.y=−2x+1 C.6.函数f(x)在(−∞,+∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x−2)≤1的x的取值范围是(

)A.[−2,2] B.[−1,1] C.[0,4] D.[1,3]7.若a>1，则双曲线x2a2−A.(2,+∞) B.(2,2)8.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为(

)A.462

B.465

C.468

D.475二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的有A.样本x1，x2，…，xn的标准差 B.样本x1，x2，…，xn的中位数

C.样本x1，x2，…，xn的极差 D.10.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45°，则(

)A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为43π

C.AC=2211.抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，对P作⊙A：x2+(y−4)2=1的一条切线，Q为切点，对P作A.l与⊙A相切

B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15

C.当|PB|=2时，PA⊥AB

D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数y=sinx+1的值域为

．13.已知{an}是等比数列，a3=2，a11=1814.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=c．

(1)求证：△ABC为等腰三角形；

(2)若c=2,cosC=35，求△ABC16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2．

(1)求证：AD//平面PBC；

(2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．17.(本小题15分)

给定函数f(x)=(x+1)ex．

(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；

(2)求出方程f(x)=a(a∈R)18.(本小题17分)

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？19.(本小题17分)

已知椭圆C：x212+y2=1，点P为C的上顶点．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值；

(3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为k1、k1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】[0,2]

13.【答案】6

14.【答案】1215.【答案】证明见解析

2

16.【答案】因为底面ABCD为正方形，

所以AD//BC，

因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

所以AD/​/平面PBC

217.【答案】解：(1)函数的定义域为x∈R，

f′(x)=(x+1)′ex+(x+1)(ex)′=ex+(x+1)ex=(x+2)ez，

x(−∞,−2)−2(−2,+∞)f′(x)−0+f(x)单调递减−单调递增所以，f(x)在区间(−∞,−2)上单调递减，在区间(−2,+∞)上单调递增．

所以当x=−2时，f(x)有极小值f(−2)=−1e2.无极大值．

(2)令f(x)=0，解得x=−1．

当x<−1时，f(x)<0，

当x>−1时，f(x)>0，

根据题意可得f(x)的图象经过特殊点A(−2,−1e2),B(−1,0),C(0,1)．

当x→−∞时，与一次函数相比，指数函数y=e−x呈爆炸性增长，

所以f(x)=x+1e−x→0，

当x→+∞时，f(x)→+∞，f′(x)→+∞．

根据以上信息，画出f(x)的大致图象如下图所示：

又方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数．

由(1)及图可得，当x=−2时，f(x)有最小值f(−2)=−1e2，

所以当a<−1e2时，关于方程f(x)=a(a∈R)的解为0个，18.【答案】解：(Ⅰ)由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，

P(X=16)=(20100)2=125，

P(X=17)=20100×40100×2=425，

P(X=18)=(40

X

16

17

18

19

20

21

22

P

1

4

6

6

1

2

1(Ⅱ)由(Ⅰ)知：

P(X≤18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)

=125+425+625=1125，

P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)

=125+425+625+625=1725．

∴P(X≤n)≥0.5中，n的最小值为19．

(Ⅲ)由(Ⅱ)得P(X≤19)=1725．

设Y为2台机器在购买易损零件所需费用，19.【答案】解：(1)根据已知可得c2=11，a2=12，b2=1，

因此e=ca=1112=336．

(2)根据题可知P(