2025-2026学年广东省深圳市龙岗区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省深圳市龙岗区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=1+i1+2i(i为虚数单位)，则|z|=A.25 B.23 C.2.已知向量a=(x,−1)，b=(−2,3)，若a//b，则A.−23 B.23 C.−3.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为(

)A.13 B.23 C.144.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是(

)A.若m//n，m//α，则n//α B.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n

C.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β D.若m//n，α//β，m⊥α，则n⊥β5.已知向量a=(−1,2)，b=(−3,1)，则a在b上的投影向量为(

)A.(−32,12) B.(−6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积记为S，若acosA=bcosB且4S=3A.直角三角形 B.等腰非等边三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形7.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为35，则该正四棱台的体积为(

)A.683 B.682 C.8.如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC、AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为(

)

A.49191 B.29191二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1

B.数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是23

C.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5

D.若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则数据2x1−1，210.抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，定义事件：A=“x+y=7”，B=“xy为奇数”，C=“x>3”，则下列结论正确的是(

)A.事件A与B互斥 B.事件A与B是对立事件

C.事件B与C相互独立 D.事件A与C相互独立11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DDA.存在点P，使得FP//平面ABC1D1

B.过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形

C.异面直线BA1与EF所成的角的大小为60°

D.若D1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a,b的夹角为2π3，|a|=2，|b|=113.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为______．14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2，2acosC=2cosB+ccosC，则2a+c四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ca=sinA+2sinBcosA2sinA．

(1)求B的大小；

(2)若b=22，△ABC的面积为16.(本小题15分)

当前中学生体质呈现“整体改善、局部恶化”的复杂态势.教育部明确将体育纳入初高中学业水平考试，并作为招生录取计分科目，学生的体育素质越来越受到关注，某高校招生拟引入体育素质评价结果，随机抽取了500名学生进行了体能素质测试，并记录得分，将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值并估计这500名学生成绩的平均数和中位数(求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)体能素质测试分数不低于90分才能评定为体能优秀，现采用分层随机抽样的方法从[80,100]中抽取7人，再从这7人中随机选出两人，求这两人恰有1人体能优秀的概率．17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60°，AC=BC，点D、E分别为AB、A1C18.(本小题17分)

每年的3月14日为国际数学日，也被称为“π日”，某学校在国际数学日举办了“数学知识竞赛”，竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为34、23；在第二轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为p、q.假设甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.若甲、乙各有一轮胜出的概率为950，甲、乙两轮都胜出的概率为625．

(1)求第一轮比赛中，甲、乙两人都获胜的概率；

(2)求p和q19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且PA=2，AB=4，AC⊥BC．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)当AC=2时，求直线PD与平面PAB所成角的正弦值；

(3)当1≤AC≤2时，求二面角A−PB−C的正切值的取值范围注：本大题用空间向量作答不给分．

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】ABD

10.【答案】AD

11.【答案】ACD

12.【答案】713.【答案】314.【答案】415.【答案】解：(1)由题意得及正弦定理可得sinCsinA=sinA+2sinBcosA2sinA

因为sinA≠0，所以sinA+2sinBcosA=2sinC=2sin(A+B)=2sinAcosB+2cosAsinB，

得sinA=2sinAcosB，得cosB=12，而B∈(0,π)，

可得B=π3；

(2)由S△ABC=12acsinB=23，由(1)可得ac=8，

而b=22，

由余弦定理cosB=a16.【答案】a=0.030，平均数70.6，中位数71；

102117.【答案】连接C1A，C1B，因为ABC−A1B1C1是三棱柱，

所以AA1/​/CC1，AA1=CC1，

所以四边形AA1C1C是平行四边形，