2026-2027学年数学浙教版八年级上册同步练习 2.5　逆命题和逆定理

2026-2027学年数学浙教版八年级上册同步练习第2章特殊三角形2.5逆命题和逆定理选择题每小题3分1.下列命题的逆命题，属于真命题的是()A.若a=b，则|a|=|b| B.如果x=y，那么xC.如果|x|，|y|互为相反数，那么|x|－|y|=0D.若a＞0，b＞0，则a＋b＞02.下列命题和其逆命题都成立的是()①全等三角形的对应边都相等；②全等的两个三角形成轴对称；③全等三角形的周长相等；④能够完全重合的两个三角形全等。A.①② B.①④ C.②④ D.③④3.下列a的取值中，可以用来证明命题“若a＞1，则a2＞1”的逆命题是假命题的反例是()A.a=－2 B.a=－1C.a=1 D.a=24.给出下列说法：①“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”互为逆定理；②命题“如果两个角相等，那么它们都是直角”的逆命题为假命题；③命题“如果－a=5，那么a=－5”的逆命题为“如果a=－5，那么－a=5”。其中正确的是()A.①② B.①③C.②③ D.①②③5.如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连结PB，PC。下列命题中，不一定是真命题的是()A.若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PCB.若PB=PC，AD⊥BC，则AB=ACC.若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PCD.若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC6.(3分)写出命题“全等三角形的对应角都相等”的逆命题：。

7.(9分)写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。若是假命题，请举反例说明。(1)(3分)垂直于同一条直线的两条直线平行。(2)(3分)有一个角是60°的三角形为等边三角形。(3)(3分)若x=y=0，则x＋y=0。8.(8分)利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理证明以下命题：已知：如图，AB=AC，DB=DC，点E在AD上。求证：EB=EC。9.(3分)命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是。逆命题是命题(填“真”或“假”)。

10.(7分)证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。已知：如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，垂足分别为E，F，两线相交于点P。求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，并且点P到点A，B，C的距离相等。证明：∵P是AB边垂直平分线上的一点，∴=()。

同理可得，PB=。

∴PA=，

∴(与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上)，

∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，且点P到A，B，C的距离相等。11.(8分)如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，连结BE，CD，两者相交于点F。(1)(4分)判断∠ABE与∠ACD之间的数量关系，并说明理由。(2)(4分)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC。12.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AB的中点，连结CD，过点A作CD的垂线，交CD于点H，交BC于点F，BE∥AC，交AF的延长线于点E，连结DE，交BC于点P。求证：BC垂直平分DE。13.(10分)[推理能力](1)(5分)已知命题：“P为等边三角形ABC内一点，若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC。”写出它的逆命题，判断其逆命题是否成立。若成立，请给出证明。(2)(5分)进一步证明：等边三角形ABC内一点P到各边的距离之和为定值。答案解析选择题每小题3分1.下列命题的逆命题，属于真命题的是(B)A.若a=b，则|a|=|b| B.如果x=y，那么xC.如果|x|，|y|互为相反数，那么|x|－|y|=0D.若a＞0，b＞0，则a＋b＞02.下列命题和其逆命题都成立的是(B)①全等三角形的对应边都相等；②全等的两个三角形成轴对称；③全等三角形的周长相等；④能够完全重合的两个三角形全等。A.①② B.①④ C.②④ D.③④3.下列a的取值中，可以用来证明命题“若a＞1，则a2＞1”的逆命题是假命题的反例是(A)A.a=－2 B.a=－1C.a=1 D.a=24.给出下列说法：①“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”互为逆定理；②命题“如果两个角相等，那么它们都是直角”的逆命题为假命题；③命题“如果－a=5，那么a=－5”的逆命题为“如果a=－5，那么－a=5”。其中正确的是(B)A.①② B.①③C.②③ D.①②③5.如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连结PB，PC。下列命题中，不一定是真命题的是(D)A.若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PCB.若PB=PC，AD⊥BC，则AB=ACC.若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PCD.若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC【解析】若AB=AC，AD⊥BC，则D是BC的中点，∴AP是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴A是真命题。同理可得B是真命题。若AB=AC，∠1=∠2，则AD⊥BC，且D是BC的中点，∴AP是BC的垂直平分线，∴PB=PC，C是真命题。由PB=PC，∠1=∠2，AP=AP，既不能得到三角形全等(SSA)，也不能得到垂直平分线，故不一定能得到AB=AC(在题图中，作射线AC，以点P为圆心，PC为半径画弧，交射线AC于点C'，此时BP=C'P，即使∠1=∠2，AC'也显然大于AB)，D不一定是真命题。6.(3分)写出命题“全等三角形的对应角都相等”的逆命题：对应角都相等的两个三角形是全等三角形。

【解析】先写出命题的条件和结论，条件：如果两个三角形是全等三角形；结论：那么它们的对应角都相等。再写出逆命题的条件：如果两个三角形的对应角都相等；结论：那么它们是全等三角形。最后尝试将逆命题写成和命题相同的形式：对应角都相等的两个三角形是全等三角形。7.(9分)写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。若是假命题，请举反例说明。(1)(3分)垂直于同一条直线的两条直线平行。(2)(3分)有一个角是60°的三角形为等边三角形。(3)(3分)若x=y=0，则x＋y=0。解：(1)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线；真命题。(2)等边三角形有一个角是60°；真命题。(3)若x＋y=0，则x=y=0；假命题。反例：当x=－1，y=1时，x＋y=0，但x≠0，y≠0。8.(8分)利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理证明以下命题：已知：如图，AB=AC，DB=DC，点E在AD上。求证：EB=EC。证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上。∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴AD是线段BC的垂直平分线。又∵点E在AD上，∴EB=EC。9.(3分)命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高线长相等的三角形是等腰三角形。逆命题是真命题(填“真”或“假”)。

【解析】若要证明两边上的高线长相等的三角形是等腰三角形时，需分这两边的夹角是锐角、直角和钝角三种情况，其中直角的情况直接能得到结论，锐角和钝角的情况须通过AAS证明三角形全等来得到结论。10.(7分)证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。已知：如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，垂足分别为E，F，两线相交于点P。求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，并且点P到点A，B，C的距离相等。证明：∵P是AB边垂直平分线上的一点，∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)。

同理可得，PB=PC。

∴PA=PC，

∴点P在AC的垂直平分线上(与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，

∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，且点P到A，B，C的距离相等。11.(8分)如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，连结BE，CD，两者相交于点F。(1)(4分)判断∠ABE与∠ACD之间的数量关系，并说明理由。(2)(4分)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC。解：(1)∠ABE=∠ACD。理由如下：∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠ABE=∠ACD。(2)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。由(1)，得∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A，F的直线垂直平分线段BC。12.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AB的中点，连结CD，过点A作CD的垂线，交CD于点H，交BC于点F，BE∥AC，交AF的延长线于点E，连结DE，交BC于点P。求证：BC垂直平分DE。证明：∵AF⊥CD，∠BAC=90°，∴∠DAH＋∠ADH=90°，∠ACH＋∠ADH=90°，∴∠DAH=∠DCA。∵∠BAC=90°，BE∥AC，∴∠ABE=90°=∠CAD。在△ABE与△CAD中，∵∠∴△ABE≌△CAD(ASA)，∴AD=BE。又∵AD=BD，∴BD=BE。在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠EBF=∠ABE－∠ABC=45°=∠ABC，∴DP=EP，∠BPD=∠BPE=90°，∴BC垂直平分DE。

13.(10分)[推理能力](1)(5分)已知命题：“P为等边三角形ABC内一点，若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC。”写出它的逆命题，判断其逆命题是否成立。若成立，请给出证明。(2)(5分)进一步证明：等边三角形ABC内一点P到各边的距离之和为定值。解：(1)逆命题：P为等边三角形ABC内一点，若PA=PB=PC，则点P到三边的距离相等。该逆命题成立。证明如下：如答图1，延长AP，BP，CP，分别交BC，AC，AB于点E，F，D。第13题答图1∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC。又∵PB=PC，∴AE垂直平分BC。同理，BF垂直平分AC，CD垂直平分AB，∴S△ABC=12BC·AE=12AC·BF=