2026-2027学年数学浙教版八年级上册同步练习 第二章 特殊三角形专题练习卷

2026-2027学年数学浙教版八年级上册同步练习专题2特殊三角形题型一轴对称及轴对称图形【典例1】下列表示天气的标志中，属于轴对称图形的是()ABCD【点悟】判断一个图形是否属于轴对称图形的主要依据是轴对称图形的定义，即将图形沿着某条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够完全重合，能够完全重合的就是轴对称图形，否则就不是。【变式1】将一张正方形纸片按如图所示的步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是()变式1图ABCD题型二等腰三角形的性质与判定【典例2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上(不与点A，C重合)，连结BD，BD=AB。(1)设∠C=α，∠ABD=β。①当α=50°时，求β。②请求出β与α的之间数量关系。(2)若AB=5，BC=6，求AD的长。典例2图【变式2】如图，在锐角三角形ABC中，E是AB边上一点，BE=CE，AD⊥BC于点D，AD与EC相交于点G。(1)求证：EA=EG。(2)若BE=10，CD=3，G为CE的中点，求AG的长。变式2图题型三等边三角形的性质与判定【典例3】如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，其中点E在BC边上，连结AE，CD，求证：AE=CD。典例3图【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，P，Q分别为边BD，BC上一点，且BP=CQ，若AP＋AQ的最小值为5，则AB的长为。

变式3图题型四直角三角形与勾股定理【典例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E。若AC=3，BC=4，则BE的长为

125典例4图【变式4－1】如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=3，CD=6，则AB的长为

。

变式4－1图【变式4－2】如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C，D分别在格点上。[提示：a2x=ax((1)求四边形ABCD的周长及面积。(2)求∠ABC的度数。(3)画出点C到线段AD的垂线段CE，并求出CE的长。变式4－2图题型五直角三角形全等的判定【典例5】如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕分别与AB，DC相交于点E，F。(1)求证：△ADF≌△AB'E。(2)若AD=12，DC=18，求△AEF的面积。典例5图【变式5】如图，在△ABC中，AD是高线，在线段DC上取一点E，使AE=AB。已知AB＋BD=DC。求证：(1)△ABD≌△AED。(2)点E在线段AC的垂直平分线上。变式5图1.将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，点C的对应点为C'。若∠1=20°，∠2=60°，则∠C的度数为()第1题图A.60° B.50° C.45° D.40°2.如图，在△ABC中，∠B=50°，CD⊥AB于点D，F为边AC的中点，CD=CF，则∠ACB的度数为()第2题图A.90° B.100° C.110° D.120°3.如图，在△ABE中，BA=BE，F为AE的中点。若∠ABC=34°，∠C=50°，则∠ADB的度数为°。

第3题图4.为了比较5＋1与10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，点D在边BC上，且BD=AC=1。通过计算可得，5＋1＞

10(填“＞”“＜”或“=”)。

第4题图5.如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是线段AD和AB上的两个动点，连结CE，EF，则CE＋EF的最小值为

。

第5题图6.如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在小方格的顶点上，这样的三角形叫作格点三角形。图1中画出了一个格点三角形(阴影部分)，它与原△ABC关于某条直线成轴对称。请再在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的格点三角形，并将所画的格点三角形涂上阴影(不能重复)。第6题图7.如图，∠ACB=90°，AC=AD，过点D作DE⊥AB，垂足为D，交BC于点E。求证：△CDE是等腰三角形。第7题图8.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD=AE。(1)求证：CG=EG。(2)已知BC=13，CD=5，求△CDG的面积。第8题图9.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”。在此图形中，连结四条线段得到如图2所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n。若S1=S2，则nm的值为第9题图10.如图，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠CDE=90°，点A在CE上，BA的延长线恰好经过点D，AE=DE。(1)若∠B=30°，判断△ADE的形状并说明理由。(2)已知AC=5，设DE=x，BC2=y。①求y关于x的函数关系式。②若AB－AD=6，求线段AE的长。第10题图11.我们规定：在任意△ABC中，在线段BC上取P，Q两点(BP＜BQ)，使得∠BAP=∠CAQ，则称线段AP，AQ为△ABC的等角线，如图1。(1)如图2，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点P，Q分别在线段BD，CD上(不与端点重合)，连结AP，AQ，则点D到线段AP，AQ的距离相等，判断线段AP，AQ是否为△ABC的等角线，并说明理由。(2)如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，线段AP，AQ是△ABC的等角线，且∠PAQ=45°，若PB=2，求PQ的长。第11题图答案解析专题2特殊三角形题型一轴对称及轴对称图形【典例1】下列表示天气的标志中，属于轴对称图形的是(A)ABCD【点悟】判断一个图形是否属于轴对称图形的主要依据是轴对称图形的定义，即将图形沿着某条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够完全重合，能够完全重合的就是轴对称图形，否则就不是。【变式1】将一张正方形纸片按如图所示的步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是(A)变式1图ABCD题型二等腰三角形的性质与判定【典例2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上(不与点A，C重合)，连结BD，BD=AB。(1)设∠C=α，∠ABD=β。①当α=50°时，求β。②请求出β与α的之间数量关系。(2)若AB=5，BC=6，求AD的长。典例2图解：(1)①∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=50°，∴∠A=180°－∠ABC－∠C=80°。∵BD=AB，∴∠BDA=∠A=80°，∴β=180°－∠A－∠BDA=20°。②∵AB=BD，∴∠A=∠ADB，∴β=180°－2∠A。∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=α，∴∠A=180°－2∠C=180°－2α，∴β=180°－2(180°－2α)=4α－180°，即β=4α－180°。(2)如答图，过点B作BN⊥AC于点N，则AD=2AN。典例2答图设AN=x，则CN=5－x。∵BN2=AB2－AN2=BC2－CN2，∴25－x2=36－(5－x)2，∴x=75∴AD=2AN=145【点悟】在求等腰三角形中角的度数或边的长度时，要熟练掌握等腰三角形的底角相等与三线合一的性质。在求一条线段长度的时候，如果暂时没有办法直接求出，那么先求出它的一半是常用的方法。比如在等腰三角形中求底边，可以通过作垂线，将底边分为相等的两部分，再通过勾股定理求出其一。【变式2】如图，在锐角三角形ABC中，E是AB边上一点，BE=CE，AD⊥BC于点D，AD与EC相交于点G。(1)求证：EA=EG。(2)若BE=10，CD=3，G为CE的中点，求AG的长。变式2图解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠B＋∠BAD=90°，∠DCG＋∠DGC=90°。∵EB=EC，∴∠B=∠DCG，∴∠BAD=∠DGC。又∵∠AGE=∠DGC，∴∠BAD=∠AGE，∴EA=EG。(2)如答图，过点E作EF⊥AG，垂足为F，则∠EFG=90°。变式2答图∵EA=EG，EF⊥AG，∴AG=2FG。∵G为CE的中点，∴EG=GC=12EC又∵EB=EC=10，∴GC=EG=5。∵∠EFG=∠CDG=90°，∠EGF=∠CGD，∴△EFG≌△CDG(AAS)，∴FG=DG。在Rt△CDG中，CD=3，∴DG=CG2∴FG=DG=4，∴AG=2FG=8。题型三等边三角形的性质与判定【典例3】如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，其中点E在BC边上，连结AE，CD，求证：AE=CD。典例3图证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB，∠ABE=60°。∵△BDE是等边三角形，∴BE=BD，∠CBD=60°，∴∠ABE=∠CBD。在△ABE和△CBD中，∵AB∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE=CD。【点悟】等边三角形不仅有“三条边都相等”和“三个内角都为60°”的性质，还拥有等腰三角形的所有性质。【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，P，Q分别为边BD，BC上一点，且BP=CQ，若AP＋AQ的最小值为5，则AB的长为5。

变式3图【解析】如答图，作CE∥BD，使得CE=AB，连结EQ，变式3答图则∠CBD=∠ECQ。∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABP=∠ECQ。在△ABP和△ECQ中，∵AB∴△ABP≌△ECQ(SAS)，∴AP=EQ，∴AP＋AQ=EQ＋AQ，∴当A，Q，E三点共线时，AP＋AQ的最小值等于AE的长。又∵AP＋AQ的最小值为5，∴AE的长为5。∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ECQ=∠CBD=12∠ABC=20°∵CE=AB=AC，∠ACE=40°＋20°=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=5，∴AB=5。题型四直角三角形与勾股定理【典例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E。若AC=3，BC=4，则BE的长为

125典例4图【解析】∵∠ACB=90°，∴AB=AC2又∵D是AB的中点，∴CD=12AB=52，S△ABC=2S△即12BC·AC=2×12CD·∴BE=BC·【点悟】勾股定理的作用是已知直角三角形的任意两边长，求第三边的长，我们要会灵活运用勾股定理的不同形式求解。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，勾股定理的不同形式有：(1)c2=a2＋b2，a2=c2－b2，b2=c2－a2。(2)c=a2＋b2，a=c2【变式4－1】如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=3，CD=6，则AB的长为

75。

变式4－1图【解析】如答图，延长AD，BC，两者相交于点E。变式4－1答图∵∠A=60°，∠B=90°，∴∠E=180°－∠A－∠B=30°，∴AE=2AB。易知∠CDE=90°，∴CE=2CD=12，∴BE=BC＋CE=15。易知AB2＋BE2=AE2，∴AB2＋225=(2AB)2，∴AB=75。【变式4－2】如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C，D分别在格点上。[提示：a2x=ax((1)求四边形ABCD的周长及面积。(2)求∠ABC的度数。(3)画出点C到线段AD的垂线段CE，并求出CE的长。变式4－2图解：(1)由勾股定理可得，AB=12＋22=5，BC=42＋22=25，CD∴四边形ABCD的周长=AB＋BC＋CD＋AD=5＋55，四边形ABCD的面积=12×5×2＋12(2)∵AB2=12＋22=5，BC2=42＋22=20，AC=5，∴AB2＋BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°。(3)如答图，CE即为所求。变式4－2答图∵CD=AC=5，ED=12AD=5∴CE⊥AD，∴CE=CD2－题型五直角三角形全等的判定【典例5】如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕分别与AB，DC相交于点E，F。(1)求证：△ADF≌△AB'E。(2)若AD=12，DC=18，求△AEF的面积。典例5图解：(1)∵四边形ABCD是长方形，∴∠D=∠C=90°，AD=CB，AB∥CD，∴∠CFE=∠AEF。由折叠的性质，得∠B'=∠B=90°，AB'=CB，∠CFE=∠AFE，∴AD=AB'，∠AFE=∠AEF，∴AF=AE。在Rt△ADF和Rt△AB'E中，∵AD∴△ADF≌△AB'E(HL)。(2)由折叠的性质，得AF=CF。设AF=CF=x，则DF=DC－CF=18－x。在Rt△ADF中，∵AD2＋DF2=AF2，∴122＋(18－x)2=x2，解得x=13，即AF=13。∵△ADF≌△AB'E，∴AE=AF=13，∴S△AEF=12AE·AD=78【变式5】如图，在△ABC中，AD是高线，在线段DC上取一点E，使AE=AB。已知AB＋BD=DC。求证：(1)△ABD≌△AED。(2)点E在线段AC的垂直平分线上。变式5图证明：(1)∵AD是高线，∴AD⊥BC。又∵AB=AE，AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL)。(2)由(1)易得BD=ED，∴AB＋BD=AE＋ED。又∵AB＋BD=DC，∴DC=AE＋ED，即ED＋EC=AE＋ED，∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上。1.将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，点C的对应点为C'。若∠1=20°，∠2=60°，则∠C的度数为(D)第1题图A.60° B.50° C.45° D.40°【解析】由折叠得∠CED=∠2，∠C=∠C'。在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE=∠CED=∠2，∴∠C'DE=∠1＋∠2=80°，∴∠C=∠C'=180°－∠C'DE－∠2=180°－80°－60°=40°。2.如图，在△ABC中，∠B=50°，CD⊥AB于点D，F为边AC的中点，CD=CF，则∠ACB的度数为(B)第2题图A.90° B.100° C.110° D.120°【解析】∵CD⊥AB，F为边AC的中点，∴AC=2CF。又∵CD=CF，∴AC=2CD，∴∠A=30°，∴∠ACD=90°－∠A=60°。易知∠DCB=90°－∠B=40°，∴∠ACB=∠ACD＋∠DCB=100°。3.如图，在△ABE中，BA=BE，F为AE的中点。若∠ABC=34°，∠C=50°，则∠ADB的度数为67°。

第3题图4.为了比较5＋1与10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，点D在边BC上，且BD=AC=1。通过计算可得，5＋1＞

10(填“＞”“＜”或“=”)。

第4题图【解析】∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，∴CD=BC－BD=2，AB=AC∴AD=CD∴BD＋AD=5＋1。又∵在△ABD中，AD＋BD＞AB，∴5＋1＞10。5.如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是线段AD和AB上的两个动点，连结CE，EF，则CE＋EF的最小值为

27。

第5题图【解析】如答图1，连结CF。根据两点之间线段最短，可得CE＋EF≥CF。又根据垂线段最短可得，当CF⊥AB时，CF有最小值，此时CF与AD的交点即为点E，如答图2。第5题答图在Rt△AFC中，∵AC=6，∠AFC=90°，∠FAC=60°，∴∠ACF=30°，∴AF=12AC=3∴FC=AC∴CE＋EF的最小值为27。6.如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在小方格的顶点上，这样的三角形叫作格点三角形。图1中画出了一个格点三角形(阴影部分)，它与原△ABC关于某条直线成轴对称。请再在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的格点三角形，并将所画的格点三角形涂上阴影(不能重复)。第6题图解：如答图(答案不唯一)。图1图2图3第6题答图7.如图，∠ACB=90°，AC=AD，过点D作DE⊥AB，垂足为D，交BC于点E。求证：△CDE是等腰三角形。第7题图证明：∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°。又∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB。∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ACB－∠ACD=∠ADE－∠ADC，即∠ECD=∠EDC，∴△CDE是等腰三角形。8.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD=AE。(1)求证：CG=EG。(2)已知BC=13，CD=5，求△CDG的面积。第8题图第8题答图解：(1)如答图，连结DE。在Rt△ADB中，E是AB的中点，∴DE=12AB=AE又∵CD=AE，∴DE=DC。又∵DG⊥CE，∴CG=EG。(2)如答图，过点E作EF⊥BC于点F。∵BC=13，CD=5，∴BD=BC－CD=8，DE=CD=5。∵DE=BE，EF⊥BC，∴DF=BF=12BD=4∴EF=DE2∴S△DEC=12CD·EF=15∴S△CDG=12S△CDE=159.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”。在此图形中，连结四条线段得到如图2所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n。若S1=S2，则nm的值为

3－第9题图【解析】设图1中三角形较短的直角边长为x，则较长的直角边长为x＋n。由题意，得S1=2nx＋n2，S2=2x2，∴2∴m2=2x2＋2x2=4x2，∴m=2x(负值舍去)，4x2=2nx＋n2＋2x2=x2＋(x＋n)2，∴(x＋n)2=3x2，∴x＋n=3x(负值舍去)，∴n=(3－1)x∴nm10.如图，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠CDE=90°，点A在CE上，BA的延长线恰好经过点D，AE=DE。(1)若∠B=30°，判断△ADE的形状并说明理由。(2)已知AC=5，设DE=x，BC2=y。①求y关于x的函数关系式。②若AB－AD=6，求线段AE的长。第10题图第10题答图解：(1)△ADE是等边三角形。理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠DAE=∠BAC=60°。又∵AE=DE，∴△ADE是等边三角形。(2)①在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠CDE=90°，∴∠EDA＋∠CDA=90°，∠BAC＋∠B=90°。∵AE=DE，∴∠EDA=∠EAD。又∵∠EAD=∠BAC，∴∠EDA=∠EAD=∠BAC，∴∠CDA=∠B，∴△BCD是等腰三角形，∴y=BC2=C