山东省济南市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

山东济南市2025-2026学年高二下学期期末学情检测数学试题一、单选题1．曲线在点的切线斜率为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．学校餐厅推出组合套餐，有3种饮品和4种小食可供选择，每种套餐包含1种饮品和1种小食，则可搭配出的套餐种数为（

）A．7 B．12 C．14 D．213．已知随机变量服从正态分布，且，则（

）A．0.15 B．0.35 C．0.85 D．0.9254．已知两组成对样本数据的散点图如图所示，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．5．下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B．C． D．6．某校举办宪法知识挑战比赛，有，，三类题，其中类道，类道，类道．已知小明答对类题的概率为，答对类题的概率为，答对类题的概率为．现从所有题中随机选一道，则小明答对的概率为（

）A． B．C． D．7．设，，，则（

）A． B．C． D．8．如图，在矩形格点图中，一只蚂蚁从格点出发，沿格线爬行到格点，规定：①每次只能沿水平向右或竖直向上爬行格；②同一方向连续爬行不得超过格．则不同的爬行路径共有（）

A．种 B．种C．种 D．种二、多选题9．已知二项式，则（

）A．展开式共有项B．展开式中存在常数项C．展开式中项的系数为D．展开式的二项式系数的和为10．某地区年至年乡村旅游年收入（单位：万元）与年份代码（依次对应年至年）的统计数据如下：

已知关于的经验回归方程为，则（

）A．回归直线过B．C．样本点都落在经验回归直线上D．预测年该地区乡村旅游年收入约为万元11．已知函数，则（

）A．当时，存在唯一极大值点B．存在，使得与的图象仅有一对关于对称的点C．存在，使得直线是曲线的切线也是曲线的切线D．若对任意，存在，使得成立，则三、填空题12．的值为____________．13．已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为____________．14．现有标号为1，2，3，4，5，6的盒子．抛掷一枚质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6），记点数为．若为奇数，则在标号为1，2，3的盒子中各放入一球；若为偶数，则在标号为的约数的盒子中各放入一球（例如：，则在标号为1，2，4的盒子中各放入一球）．重复以上操作三次后，2号盒中比3号盒中恰好多一个球的概率为____________．四、解答题15．2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确提出积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时．高中某班50名学生2025年下学期和2026年上学期的体测等级如下：2025年下学期体测等级优良及格不及格人数2015152026年上学期体测等级优良及格不及格人数4037(1)根据以上数据完成列联表：优良优良以下合计2025年下学期2026年上学期合计(2)根据小概率值的独立性检验，分析该班体测等级优良率与参加体测的学期是否有关．附：，0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87916．已知函数，其中．(1)若在处的导数为0．（i）求实数的值；（ii）求在区间上的值域；(2)若有3个不同的零点，求的取值范围．17．记“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”为一次试验，事件表示“一次试验中恰有1枚硬币正面向上”．(1)求；(2)将上述试验重复进行3次，设随机变量表示3次试验中事件发生的次数．（i）求的分布列与数学期望；（ii）在事件至少发生1次的条件下，求事件恰好发生2次的概率．18．已知函数．(1)若在上单调递减，求的取值范围；(2)若有两个极值点，．（i）求的取值范围；（ii）求证：．19．有个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取次，每次取1个球．记第次取到的球的数字为，，随机变量．(1)求的数学期望与方差；(2)求的数学期望；（用含的式子表示）(3)证明：．附：若为随机变量，则．参考答案1．D解析：对函数求导可得，将代入导函数，得，即曲线在点处的切线斜率为4，对应选项D.2．B解析：要完成一份套餐的搭配，需分两个步骤：第一步，从3种饮品中选择1种，共有3种不同的选法；第二步，从4种小食中选择1种，共有4种不同的选法.根据分步乘法计数原理，因此可搭配出的套餐总种数为.3．C解析：已知随机变量服从正态分布，因此其分布曲线关于对称轴对称，可得，根据概率的基本性质，.4．C解析：∵第一组散点图的点整体呈下降趋势，两变量为负相关，∴，不符合题意；∵第二组散点图的点整体呈上升趋势，两变量为正相关，∴，不符合题意；观察散点图可知第一组数据的散点更贴近拟合直线，线性相关程度更强，∴，故C错误，符合题意；∵且，∴，不符合题意.5．A解析：∵函数的定义域为，对其求导得.函数单调递增等价于，即.对选项A，当时，且，∴，即，故在上单调递增，A符合要求.对选项B，当时，但，∴，即，故在上单调递减，B不符合要求.对选项C，当时，但，∴，即，故在上单调递减，C不符合要求.对选项D，当时，时，此时；时，此时，故在上不是单调递增，D不符合要求.6．B解析：因为所有题目的总数为，则随机选1道题，选中类题的概率，选中类题的概率，选中类题的概率.记事件为“小明答对所选题目”，由题意知，，.由全概率公式得.故小明答对的概率为.7．D解析：设，则，当，在上单调递增，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以即.8．B解析：蚂蚁从爬行到，在水平方向上需要向右移动4次，在竖直方向上需要向上移动4次.总的移动序列组合数为：(种).用表示向右，用表示向上，其中包括“至少连续3次向右”或“至少连续3次向上”的情况：“至少连续3次向右()”：，共6个元素,路径总数为，同理，包含“”的路径总数也为，同时出现“”且“”的路径，共有四个元素，路径总数为，同一方向连续爬行超过格的路径总数为：，根据容斥原理，符合条件的路径总数.9．ABD解析：二项式的展开式通项为.对选项A，∵二项式的展开式项数为，此处，∴展开式共项，故A正确.对选项B，令，解得，∴展开式存在常数项，故B正确.对选项C，令，解得，∴项的系数为，故C错误.对选项D，∵二项式展开式的二项式系数和为，∴本题二项式系数的和为，故D正确.10．ABD解析：∵，，∴样本中心点为.∵经验回归直线恒过样本中心点，∴回归直线过，故A正确.将代入，得，解得，故B正确.当时，代入回归方程得，与实际值不相等，可知样本点不都落在经验回归直线上，故C错误.2026年对应的年份代码为，代入回归方程得，即预测2026年该地区乡村旅游年收入约为360万元，故D正确.11．ABC解析：对于A，由，则，因为函数的定义域为，所以，当时，令，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数存在唯一极大值点，故A正确；选项B，若函数与的图象仅有一对关于对称的点，则函数与的反函数仅有一个交点，即方程仅一个解，令，则，由，当时，，即函数在上单调递增，当时，，当时，，所以函数只有一个零点，即存在，使得与的图象仅有一对关于对称的点，故B正确；选项C，设与的切点为：，由得：，则切线的斜率为：，所以切线方程为：，即，设与的切点为：，由，则，此时切线的斜率为：，所以切线方程为：，即，由题意知两条切线为同一条直线，所以，由代入，化简得：，解得：或（舍去），当时，，故C正确；对于D，若对任意，存在，使得成立，等价于在上的最小值大于在上的最小值，令，则，当时，，所以函数在上单调递增，所以，令，则，由，当时，，此时函数在上单调递减，所以，由题意得：，又，所以，当时，，此时函数在上单调递增，所以，不满足题意，当时，令，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上递减，所以，若时，不满足题意，若，则有即，又，所以此时，综上所述：，不一定得出，故D错误.12．58解析：∵排列数.又∵组合数满足性质，∴.∴.13．解析：函数，求导得，当时，，函数在上单调递减，，由任意，恒成立，得，所以的取值范围为.14．解析：抛掷一次骰子得到的点数，每种概率都为.当时，在标号为1，2，3的盒子中各放入一球，此时2号盒中与3号盒中球的数量一样；当时，在标号为1，2的盒子中各放入一球，此时2号盒中比3号盒中恰好多一个球；当时，在标号为1，2，4的盒子中各放入一球，此时2号盒中比3号盒中恰好多一个球；当时，在标号为1，2，3，6的盒子中各放入一球，此时2号盒中与3号盒中球的数量一样.故当时2号盒中与3号盒中球的数量一样，当时2号盒中比3号盒中恰好多一个球.设事件：抛掷一次骰子后2号盒中比3号盒中恰好多一个球，则事件：抛掷一次骰子后2号盒中与3号盒中球一样多，.设抛掷三次骰子出现事件的次数为，出现事件的次数为，此时2号盒中比3号盒中恰好多一个球，则，解得.故抛掷三次骰子后2号盒中比3号盒中恰好多一个球的概率为.15．(1)优良优良以下合计2025年下学期2030502026年上学期401050合计6040100(2)依据小概率值的独立性检验，认为该班体测等级优良率与参加体测的学期有关，该推断犯错误的概率不超过0.005.解析：（1）略（2）由（1）得，依据小概率值的独立性检验，认为该班体测等级优良率与参加体测的学期有关，该推断犯错误的概率不超过0.005.16．(1)（i）；（ii）值域为(2)解析：（1）（i）函数，求导得，由在处的导数为0，得，所以.（ii）由（i）得，，当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，，，所以函数在区间上的值域为.（2）由（1）知，，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，在处取得极小值，由函数有3个不同的零点及三次函数的图象特征，得，解得，所以的取值范围是.17．(1)(2)（i）0123(ii)解析：（1）依题意，样本空间(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)，共4个样本点，事件(正,反),(反,正)，共2个样本点，所以.（2）（i）的所有可能值为，依题意，，，，所以的分布列为0123数学期望.（ii）事件至少发生1次的概率为，事件发生2次的概率，所以在事件至少发生1次的条件下，事件恰好发生2次的概率为.18．(1)(2)（ii）由极值点性质，(不妨设，所以，代入，化简得：，又因为，，所以，则需证：，即证，已知，两边除以，得：，再用解出，代入化简：，，两边约去：，即证：，令，求导：，令，则，时，，故在严格递减.，故.因此，在严格递增.又，故.所以成立，以上每一步变形均等价可逆，故原不等式成立.解析：（1）函数的定义域为，，在上单调递减，等价于在上恒成立，即.令，.令，即，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以在处取得最小值.则，即的取值范围是.（2）(i)由(1)知.因为有两个极值点，，所以在上有两个不同的根，即在上有两个不同的根.则，因为方程有两个不同的根，所以，即，解得.又因为二次函数的对称轴为，且两根都在上，所以，即，解得.同时，当时，.综上，的取值