小学五年级数学《循环小数：从有限到无限的跨越》教案

小学五年级数学《循环小数：从有限到无限的跨越》教案一、教学内容分析（一）【基础】教材地位与作用本节课《除得尽吗》是北京师范大学出版社出版的义务教育教科书《数学》五年级上册第一单元“小数除法”中的关键内容1。在此之前，学生已经系统学习了除数是整数的小数除法、除数是小数的小数除法，以及用“四舍五入”法求商的近似值。这为本节课探索除不尽时商的特点奠定了坚实的知识基础和计算技能。从数概念发展的角度来看，本节课是学生数概念的一次重要扩展，即从“有限”世界跨越到“无限”世界6。小数除法计算的结果，从前面的“除得尽”（有限小数）到现在遇到的“除不尽”，商的小数部分呈现出无限且重复出现的规律，这不仅引发了认知冲突，更催生了一种全新的数的类型——循环小数。这部分内容不仅是第一单元小数除法的延伸与深化，更是今后学习分数化小数、认识无理数等更复杂数概念的重要基石，在小学数学知识体系中起着承上启下的关键作用。（二）【基础】核心教学内容本课时的核心教学内容围绕“认识循环小数”与“应用循环小数”两大模块展开。1.【重要】概念的建立：通过解决“蜘蛛和蜗牛爬行速度”的具体实际问题，让学生在自主计算的过程中，发现73÷3和9.4÷11两道除法算式的特殊性——余数不断重复出现，导致商除不尽，且商的小数部分中某些数字依次不断重复出现1。由此，抽象概括出循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数48。2.【重要】表示的规范：教学循环小数的两种表示方法。一种是普通记法，即在写出两个循环节后用省略号表示后续的无限重复（如24.333…、0.85454…）1。另一种是作为知识拓展的简便记法（即“循环节”上加点），了解循环小数的简便写法，如24.333…记作24.3（并在3的上面点一个点），0.85454…记作0.854（并在5和4的上面各点一个点）49。3.【高频考点】实际应用：结合生活实际和计算需求，学习用“四舍五入”法对循环小数取近似值。这是将抽象的数学概念回归实际应用的关键一步，也是考试中常见的题型14。（三）教学重点与难点1.【重点】认识循环小数，理解其“无限”与“重复”的本质特征，并能正确进行表示。2.【难点】引导学生通过竖式计算，自主发现“余数不断重复出现”是导致“商不断重复出现”的根本原因，从而深刻理解循环小数的形成过程及其含义，并能正确区分循环小数与有限小数。二、学情分析（一）【基础】生活经验与认知基础五年级的学生在生活中已经积累了丰富的“循环”与“重复”现象的感性经验，例如：一年四季（春夏秋冬）的交替轮回、一周七天（星期一到星期日）的周而复始、红绿灯（红黄绿）的交替闪烁等13。这些生活经验为本节课抽象的“循环”概念提供了有力的直观支撑。同时，学生已经熟练掌握了小数除法的计算方法，具备了初步的抽象思维能力和归纳概括能力，能够在教师的引导下，通过观察、比较、分析、讨论等探究活动，发现数学现象背后的规律。（二）【难点】可能遇到的认知障碍1.对“无限”的理解：学生习惯了求出精确结果的运算，首次面对“除不尽”且“无限”的情况，可能会产生认知困惑，难以理解“永远也除不完”的数学现实。2.对“重复”根源的把握：学生容易观察到商的小数部分数字的重复，但往往忽略了对余数变化的观察，难以建立起“余数的重复出现直接导致商的重复出现”这一因果逻辑关系9。3.概念辨析的模糊：在初步认识阶段，学生容易将“无限”与“循环”等同起来，需要明确并非所有无限小数都是循环小数（虽然小学阶段不做深入拓展，但需为后续学习埋下伏笔），以及如何判断一个小数是否属于循环小数。三、教学目标设计基于课程标准的“四基四能”要求，结合本课内容与学生实际，设定如下教学目标：（一）知识与技能1.通过在具体情境中进行计算，使学生理解并掌握循环小数的概念，能正确辨别商是否是循环小数47。2.掌握循环小数的两种表示方法（一般写法与简便记法），并能根据需要，熟练运用“四舍五入”法对循环小数取近似值1。（二）过程与方法1.经历“计算—观察—比较—归纳”的探究过程，引导学生发现余数和商的规律，理解循环小数的形成过程，积累探索数学规律的基本活动经验6。2.通过小组合作交流，培养学生的观察能力、分析能力、抽象概括能力和语言表达能力。（三）情感、态度与价值观1.在探究活动中，感受数学的规律美和无限魅力，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养严谨求实的科学态度。2.通过对生活中循环现象与数学知识联系的体会，感受数学与生活的紧密联系，增强数学应用意识。四、教学准备教师准备：多媒体课件（PPT），包含动物爬行情境图、竖式计算动态演示、练习题等。学生准备：练习本，笔。五、教学过程设计与实施（一）情境导入，引发冲突（预设时间：5分钟）1.【基础】唤醒经验，引入“循环”教师通过多媒体播放或语言描述：同学们，在我们的生活中，存在着许多奇妙的自然现象。比如，春夏秋冬，四季更替；再比如，每个星期都是从周一开始，到周日结束，然后又是周一……像这样按照一定的顺序，不断重复出现的现象，我们称之为“循环”3。2.【基础】创设情境，提出问题教师顺势出示课本情境图：动物王国正在举行一场精彩的爬行比赛，看，蜘蛛和蜗牛正在奋力爬行。从图中你获得了哪些数学信息？（蜘蛛3分爬行73米，蜗牛11分爬行9.4米）57。学生汇报信息后，教师引导提问：根据这些信息，你能提出什么数学问题？（预设：①蜘蛛平均每分爬行多少米？②蜗牛平均每分爬行多少米？③谁爬得快？）3.【重要】引发冲突，聚焦核心教师：我们先来解决“谁爬得快”这个问题。大家先估一估，谁的速度更快？（引导学生从估算的角度思考：73÷3≈20多，9.4÷11＜1，所以蜘蛛快）710。教师：估算确实能帮我们判断出蜘蛛快。但要想知道它们准确的速度，我们需要精确计算。请同学们在练习本上列竖式计算蜘蛛的速度“73÷3”和蜗牛的速度“9.4÷11”。（教师同时板书两个算式）[设计意图]：从学生熟悉的生活现象“循环”引入，为新知搭建认知桥梁。通过估算与精确计算的对比，自然引出计算任务，并利用“谁爬得快”这个驱动性问题，激发学生的探究欲望。（二）自主探究，发现规律（预设时间：12分钟）1.【重要】独立计算，初步感知学生独立进行竖式计算，教师巡视，了解学生计算情况，选取具有代表性的作业准备展示。2.【难点】汇报交流，聚焦“除不尽”计算蜘蛛速度：指名学生上台展示73÷3的竖式计算过程。73÷3=24.333…学生汇报计算过程，当除到十分位时，教师引导全班观察：哎，大家发现了吗？继续除下去，余数总是几？（总是1）商的小数部分总是出现几？（总是3）58。教师追问：这说明了什么？（说明这道题永远也除不完，除不尽。）计算蜗牛速度：同样方法，指名学生展示9.4÷11的竖式计算过程。9.4÷11=0.85454…引导学生观察：这道题除得尽吗？你发现了什么规律？（余数依次是6、5、6、5……重复出现；商的小数部分依次是8、5、4、5、4……重复出现）8。3.【核心】深度追问，探寻根源教师引导学生对两个算式进行对比观察，并提出核心问题：“为什么这两道题都除不尽？商的小数部分为什么会重复出现某些数字？这跟余数有什么关系？”组织学生进行小组讨论，鼓励学生在小组内交流自己的发现。讨论后，请小组代表发言。【教师精讲，突破难点】：大家观察得非常仔细。以73÷3为例，当余数1重复出现时，我们就要添0继续除，1添0成10，10除以3，商3，这样商3就重复出现了；得到新的余数又是1……以此类推。正是由于余数的不断重复出现，才导致了商的相应数位上的数字也不断重复出现。也就是说，余数的循环决定了商的循环！9。[设计意图]：将探究的主动权交给学生，通过独立计算、观察发现、讨论交流，让学生亲身经历知识的形成过程。教师的适时点拨，直指知识的核心本质——“余数重复导致商重复”，帮助学生完成从直观感知到理性分析的思维跨越。（三）抽象概括，建构概念（预设时间：8分钟）1.【重要】定义揭示教师根据学生的发现，进行总结和提炼：像24.333…、0.85454…这样，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现的小数，就是我们今天要学习的新朋友——循环小数489。板书课题：循环小数。教师明确：24.333…是从小数点后第一位起，数字“3”依次不断重复出现；0.85454…是从小数点后第二位起，数字“54”依次不断重复出现。2.【重要】读写规范教师示范循环小数的读法：24.333…读作“二十四点三，三循环”；0.85454…读作“零点八五四，五四循环”19。教师讲解写法：在一般写法中，我们通常写出两个重复的循环节后，加上省略号，表示无限重复。3.【拓展】简便记法（知识窗）教师：其实，循环小数还有一种更简洁的表示方法，大家请看大屏幕（或看书上的“你知道吗？”）。例如24.333…可以写作24.3，在3的上面点一个点；0.85454…可以写作0.854，在5和4的上面各点一个点410。这种记法叫简便记法，点上的点叫循环点。[设计意图]：在充分感知的基础上，及时进行抽象概括，形成明确的数学概念。通过规范的读写指导，确保学生表达的准确性和严谨性。引入简便记法，既丰富了学生的知识视野，又体现了数学符号的简洁美。（四）实践应用，内化新知（预设时间：10分钟）1.【基础】辨析练习（指向概念理解）教师出示一组小数：3.14159…、0.999…、1.48787…、0.…、5.667让学生判断哪些是循环小数，哪些不是，并说明理由8。（预设：学生会对0.999…和0.…是否是循环小数产生讨论，教师应引导学生紧扣定义中“依次不断重复出现”的特征进行判断。）2.【高频考点】求近似值（指向实际应用）教师出示例题：根据需要，我们可以用“四舍五入”法对循环小数取近似值。（1）蜘蛛的速度24.333…，如果保留一位小数，应该是多少？保留两位小数呢？引导学生讨论：保留一位小数，要看百分位，百分位是3＜5，所以24.333…≈24.3；保留两位小数，要看千分位，千分位是3＜5，所以24.333…≈24.3314。（2）蜗牛的速度0.85454…，如果保留两位小数，应该是多少？引导学生思考：保留两位小数，要看第三位（千分位），千分位是4＜5，所以0.85454…≈0.8518。教师强调：在横式中使用近似值，必须用“≈”连接。3.【重要】巩固练习完成教材第15页“练一练”第1题：计算下面各题，并说一说哪几题的商是循环小数10。学生独立计算，小组内互相检查，全班讲评。[设计意图]：通过判断辨析，加深学生对概念本质特征的理解，排除干扰因素。通过取近似值的练习，打通新旧知识的联系，让学生体会到学习循环小数的现实意义，即在实际应用中我们往往不需要无限多位的小数，而需要取其近似值。计算练习则进一步巩固了小数除法的技能。（五）全课总结，拓展延伸（预设时间：5分钟）1.课堂总结教师引导学生回顾：通过今天的学习，你有什么收获？你在探究过程中有哪些难忘的体验？引导学生从知识层面（什么是循环小数、怎么读写、怎么取近似值）和方法层面（观察、比较、归纳）进行总结410。2.拓展延伸教师抛出思辨性问题：通过计算我们发现，73÷3和9.4÷11的商都是循环小数，那是不是所有除法算式的商都是循环小数呢？有没有可能是别的样子？比如，1÷2=0.5，这个商有什么特点？像0.5这样小数位数有限的小数，我们叫它有限小数。看来，小数除以整数的结果，可能是有限小数，也可能是循环小数这样的无限小数1。3.布置作业（1）基础作业：完成教材第16页“练一练”第2、4题10。（2）探究作业：查阅资料，了解一下分数与循环小数的关系，看看你能发现什么有趣的规律。[设计意图]：通过总结，帮助学生构建系统的知识结构。通过拓展延伸，将“有限小数”与“无限小数”进行初步对比，完善了学生对小数分类的认知。分层作业的设计，既照顾了全体学生的基础巩固，又为学有余力的学生提供了深入探究的空间。六、板书设计小学五年级数学《循环小数：从有限到无限的跨越》教案一、循环小数73÷3=24.333…（二十四点三，三循环）

=24.3（简便记法）9.4÷11=0.85454…（零点八五四，五四循环）

=0.854（简便记法）定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。二、循环小数的近似值24.333…≈24.3（保留一位小数）24.333…≈24.33（保留两位小数）0.85454…