人教版小学数学三年级上册《不含括号的两级混合运算》讲义

人教版小学数学三年级上册《不含括号的两级混合运算》讲义

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课隶属于“数与代数”领域“数的运算”主题，是学生在掌握了加减乘除四则基本运算和同级的混合运算（如连加连减、连乘连除）基础上，向更复杂运算结构迈进的关键一步。其核心在于理解并掌握“先乘除后加减”这一基本运算顺序规则，这不仅是后续学习带括号混合运算、乃至更复杂代数表达式运算的基石，更是培养学生数学建模能力和逻辑推理意识的绝佳载体。从知识点图谱看，它上承表内乘除法和万以内加减法，下启两步及多步混合运算解决问题，处于运算能力发展的枢纽位置。课标强调在具体情境中理解运算意义和关系，因此本课的学习绝非机械记忆规则，而应是通过分析、比较、归纳等数学活动，让学生自主建构运算顺序的合理性认知，体验数学规定的逻辑必然性。其素养指向明确：在运用规则解决实际问题的过程中，发展学生的运算能力；在探究“为什么先算乘除法”的讨论中，锤炼推理意识；在将生活场景抽象为数学算式的过程中，初步渗透模型意识。预见学生的主要认知障碍在于，长期形成的从左往右依次计算的“同级运算”思维定势，与新的运算优先级规则产生冲突，如何引导学生在认知冲突中实现思维进阶，是本课设计的核心挑战。

基于“以学定教”原则，进行学情研判。三年级学生已具备扎实的加减法和表内乘除法口算能力，并对“从左到右”的同级混合运算顺序有清晰认知，这是学习的正迁移基础。然而，其思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段，对纯粹符号规则的理解和记忆存在困难。常见的认知误区是将“先乘除后加减”片面理解为“先乘法后除法”或“先算乘法再算加减”，忽略除法的同等优先级。教学调适策略在于：第一，创设强对比、高冲突的真实问题情境（如购物结算、项目积分），让规则的必要性在解决问题中自然显现，而非强行灌输。第二，设计多样化的表征方式（情境图、线段图、语言叙述、符号算式），帮助学生实现从具体情境到抽象算式的顺利过渡。第三，通过“说顺序——明算理——精计算”的三步训练模式，兼顾规则理解与计算准确性。在教学过程中，我将通过核心任务中的追问（如“为什么不能从左往右算？”）、课堂巡视时对典型错误的即时捕捉、以及分层练习的完成情况，作为动态评估学情、实施差异化指导的依据。

二、教学目标

知识目标方面，学生将通过解决具体情境中的实际问题，理解“在没有括号的算式里，既有乘除法又有加减法时，要先算乘除法，后算加减法”这一运算顺序规则的本质内涵。他们不仅能准确陈述规则，更能结合具体算例（如“3×6+20”或“50-18÷3”）解释每一步运算所对应的实际意义，实现从程序性知识到概念性理解的跨越。

能力目标聚焦于数学核心能力的培养。学生能够从包含两级运算的生活情境中，正确提取数学信息，并列出符合运算顺序的综合算式；能够清晰、有条理地口述混合运算的思考过程（先算什么，再算什么）；并在此基础上，准确、熟练地进行脱式计算，形成严谨、规范的运算习惯和初步的符号表达能力。

情感态度与价值观目标旨在激发内在动力与培养良好品质。在探究规则合理性的小组讨论中，鼓励学生敢于提出不同想法，体验数学规定的简洁与和谐之美；在解决实际问题时，体会数学与生活的紧密联系，获得运用知识解决问题的成就感；通过规范书写和认真验算，培养一丝不苟、严谨求实的科学态度。

科学（学科）思维目标直指数学思维品质的提升。本节课重点发展学生的比较与归纳思维（通过对比不同运算顺序的结果，归纳出统一规则）和逆向推理思维（在纠错练习中，根据错误结果反向推理出错步骤）。设计如“如果规定先加减后乘除，会产生什么问题？”的开放性问题，引导学生进行思辨，初步感受数学规则约定的合理性。

评价与元认知目标关注学习过程的自我监控。引导学生学会使用“读题—找信息—想顺序—列算式—仔细算—再检查”的解题步骤进行自我指导；在练习后，能参照评价量规（如：列式正确、顺序清晰、计算准确、书写工整）进行自我评价或同伴互评；并能反思常见错误类型（如顺序错、计算粗心），主动调整学习策略。

三、教学重点与难点

教学重点是理解并掌握“先乘除，后加减”的运算顺序，并能正确进行脱式计算。确立此为重点，源于其在课程体系中的奠基地位。课标在第二学段明确要求“掌握两级运算的混合运算顺序”，此规则是四则混合运算最基本的逻辑骨架，是后续解决所有复杂数量关系问题的运算基础。从学业评价看，该知识点是各类测试中的高频考点，且常作为基础环节嵌入解决问题题型中，其掌握的扎实程度直接决定学生后续数学学习的流畅性。

教学难点在于学生如何克服“从左往右”计算的思维定势，真正理解“先乘除后加减”的算理，并在复杂情境中灵活应用。难点成因有二：一是认知冲突显著，学生已牢固建立同级运算的从左到右顺序，新规则要求他们在部分算式中“跳着算”，这打破了原有的线性思维惯性。二是理解深度要求高，学生不仅要知道“怎么算”，还需在教师引导下初步体会“为什么这样算”——即乘除法作为更高级运算（求几个几、平均分）在解决实际问题时往往需要优先处理的合理性。预设突破方向是：创设必须“先算乘除”才能解决的情境，制造认知冲突；运用数形结合（如线段图）或生活原型（如单价×数量）诠释乘除部分作为一个整体先算的意义；通过大量对比练习和错例分析，深化规则认知。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态情境图、算式对比动画、分层练习题库）；实物投影仪；磁性数字卡片和运算符号卡片。

1.2学习材料：分层学习任务单（“探究启航”、“能手挑战”、“智慧冲浪”三档）；小组讨论记录卡；规范化脱式计算步骤贴纸（作为视觉提示支持）。

2.学生准备

2.1知识预备：熟练进行表内乘除法和百以内加减法口算。

2.2学具：铅笔、直尺（用于画计算线，规范书写）。

3.环境布置

3.1座位安排：4人异质小组围坐，便于合作探究与互助。

3.2板书记划：左侧预留核心问题与规则区，中部为情境分析与算式生成区，右侧为分层练习反馈区。

五、教学过程

第一、导入环节

1.创设冲突情境：同学们，学校“趣味数学商店”开业啦！看，老师采购了一些商品：买了3个文具盒，每个6元；还买了一本20元的画册。现在，我需要马上知道一共花了多少钱。谁能帮帮我？

1.1学生尝试与暴露前概念：我请两位同学把他们的想法写在黑板上。预设会出现两种列式：6+6+6+20

和3×6+20

。大家都来算算结果是多少？（都是38元）咦，结果一样！这两种方法有什么联系吗？（第二个算式中的3×6

就是第一个算式中三个6相加的简便运算）

1.2提出核心驱动问题：真棒！用3×6+20

这个算式既简便又清晰地表示了总价。但是，老师遇到了一个新问题：面对这个既有乘法又有加法的“混合”算式，我们应该先算乘法，还是先算加法呢？今天的数学探险，我们就一起来揭开“不含括号的两级混合运算”的运算顺序密码。

第二、新授环节

本环节将通过一系列递进式任务，引导学生自主建构运算规则。

任务一：情境冲突中感知“优先级”

教师活动：聚焦导入环节的算式3×6+20

。“同学们，对于‘先算什么’，好像有不同意见。我们来一场‘计算顺序辩论赛’吧！认为‘先算乘法’的请举手，说说你的理由？（预设：因为3×6表示3个6元的价钱，要先算出文具盒的总价，才能加上画册的钱）认为可以‘从左往右先算6+20’的，你们的理由呢？（可能觉得一贯如此）好，我们就来实际算一算。”教师板书两种计算过程：①3×6+20=18+20=38

；②3×6+20=3×26=78

。“看到第二个结果78元，你有什么感觉？（太贵了，不符合实际）看来，在解决这个具体问题时，先算乘法得到的结果才符合我们的购物常识。”

学生活动：参与辩论，发表自己的初始观点。通过观察教师板演的两种计算过程及其结果，并与生活实际（总价合理性）进行对照，直观感受到在特定情境下，先算乘法的必要性。部分学生可能开始动摇“一律从左往右”的想法。

即时评价标准：1.能否结合情境（如“先算出文具盒总价”）为自己的计算顺序选择提供合理解释。2.能否发现计算结果与实际情况相矛盾，并由此产生认知困惑。

形成知识、思维、方法清单：

★认知起点：学生从解决实际问题的角度，首次体验到当算式中含有乘法和加法时，有时需要改变“从左往右”的顺序，先算乘法能得到合理答案。这是规则学习的经验基础。

▲生活原型支撑：乘法是相同加数求和的简便运算，在“购物总价”这类模型中，单价×数量

往往是一个需要优先确定的“整体”。

★思维方法：联系实际进行验证是判断计算方法合理性的重要手段。当对纯数学运算有疑问时，可以回到问题本源去检验。

任务二：多方对比中归纳规则

教师活动：“刚才的例子似乎告诉我们，乘加混合时要先算乘法。那如果是‘减法和乘法’相遇，或者‘加法和除法’相遇呢？规则会不会变？”出示一组对比情境与算式：①一盒彩笔8元，小明买3盒，付给售货员50元，应找回多少元？列式：50-8×3

。②24块饼干平均分给3个小朋友，后来老师又拿来5块，现在每人可分几块？（此为拓展，仅用于讨论顺序）列式：24÷3+5

。“请大家以小组为单位，任选一题，先在组内说说：根据题意，应该先算什么？再算什么？并试着计算出结果。然后观察这几个算式，它们有什么共同特点？”

学生活动：小组合作，选择问题进行讨论。结合具体情境分析数量关系，确定运算步骤。计算后，横向观察3×6+20

，50-8×3

，24÷3+5

等算式，发现它们都是加减法和乘除法混合。通过交流，初步归纳出：在这些算式中，似乎都是先算乘或除的那一部分，再算加或减。

即时评价标准：1.小组讨论时，能否将算式中的每一步运算与情境中的具体含义对应起来说明。2.在归纳共同点时，语言是否准确，如“都有加（减）法和乘（除法）”、“都是先算乘或除”。

形成知识、思维、方法清单：

★核心规则雏形：通过多个例证，学生从具体到抽象，初步归纳出“在没有括号的算式里，如果有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法”的规律。此时，规则还不是冰冷的条文，而是有多个实例支撑的发现。

★学科思想：不完全归纳法。从有限的、典型的特例中寻找共同规律，是数学发现的重要方法。教师要提醒学生，我们还需要更多的例子来验证这个规律是否总是成立。

▲教学提示：对于24÷3+5

这类除加混合，要引导学生理解除法和乘法地位相同，也应优先计算。可提问：“这里的24÷3

表示什么？（每人先分到的饼干数）是不是也需要先算出来？”

任务三：规范格式中掌握“脱式计算”

教师活动：“我们发现了运算顺序的秘密，但怎么把这种‘先算乘除、后算加减’的思考过程清晰、规范地写出来呢？数学家们约定了一种格式——脱式计算。”教师在黑板上规范示范50-8×3

的脱式计算过程：50-8×3=50-24=26

。边写边讲解要领：“第一步，我们把暂时不参与计算的‘50-’和后面的‘+20’（以之前算式为例）抄下来，同时把先算的8×3

的结果算出来，写在后面。第二步，再完成剩下的加减运算。注意，等号要上下对齐，就像走路要走台阶一样整齐。”

学生活动：仔细观察教师的板书示范，听清每一步的书写要求和算理。然后在学习任务单上模仿练习，完成3×6+20

和24÷3+5

（或类似题目）的脱式计算。写完后，同桌互相检查格式是否规范（等号对齐、先算的部分是否画出横线提示）。

即时评价标准：1.书写格式是否规范，等号是否上下对齐。2.是否能准确找出并优先计算乘除部分，并将未运算的部分正确照抄。3.计算结果是否准确。

形成知识、思维、方法清单：

★技能规范化：脱式计算是本节课必须掌握的核心技能。其规范要点包括：等号脱离原算式，写在算式左侧；每步只进行一次运算，等号上下对齐；先算的部分可以作标记（如下面画横线）。

★程序性知识：“一看（看清运算符号）、二想（想清运算顺序）、三算（仔细计算）、四查（检查核对）”是进行混合运算的通用步骤口诀，有助于学生形成稳定的操作程序。

▲易错点预警：学生最容易在脱式第一步漏抄未参与运算的部分。如将50-8×3

错写成8×3=24，50-24=26

，丢失了“50-”。教学中要反复强调“照抄”环节。

任务四：算理交融中深化理解

教师活动：“同学们已经会算了，但老师还想问问：为什么数学上要规定‘先乘除后加减’呢？只是为了解决购物问题吗？”展示一个反例：“如果规定‘先加减后乘除’，对于算式2+3×4

，按新‘规定’计算：2+3×4=5×4=20

。而我们原来的规则算出来是14。哪一个更能代表2+3×4

这个数学表达式的普遍意义呢？”引导学生思考：乘法是高级运算（求几个几），加减是低级运算。在数学表达中，3×4

常被视为一个整体（如4个3相加的和）。先算这个整体，再与2相加，更能保持运算意义的一致性。“就像我们说话要先说重点一样，在数学式子里，乘除法往往表达了更核心的数量关系，所以优先计算。”

学生活动：聆听教师讲解，思考“规定”背后的合理性。通过对比不同顺序导致的不同结果，理解统一规则的重要性。尝试用自己的话解释为什么乘除法要优先，例如：“因为乘法是连加的简便算，它本身就是一个‘包’，要先打开这个‘包’知道里面是多少，才能进行后面的加减。”

即时评价标准：1.能否理解统一运算顺序的必要性（避免歧义）。2.能否用生活化的语言或例子，类比解释“先乘除”的合理性。

形成知识、思维、方法清单：

★算理深化：规则学习从“是什么”深入到“为什么”。理解“先乘除后加减”的规定，是为了保证数学语言的无歧义性和运算意义的一致性，体现了数学的严谨与简洁之美。

★思维提升：约定俗成与逻辑必然的辩证思考。数学中的许多规则（如运算顺序、书写格式）既有约定成分，也蕴含着内在的逻辑合理性与效率考量。

▲认知拓展：可以告诉学生，运算顺序规则（称为“运算符优先级”）在计算机科学和更高等数学中同样至关重要，是全世界数学家共同遵守的语言法则。

第三、当堂巩固训练

本环节设计分层、变式练习，旨在诊断与巩固，并提供即时反馈。

基础层（全员达标）：1.“计算小医生”：出示几道典型的顺序错误或格式错误的脱式计算（如8+2×5=10×5=50

），让学生诊断并改正。这能有效强化规则意识。2.“顺序我会说”：出示如15-6÷2

，4×7+12

等算式，不计算，只要求学生清晰说出“先算什么，再算什么”。

综合层（灵活应用）：1.“情境与算式对对碰”：提供几个简短的生活情境（如“一支钢笔5元，比一本笔记本贵2元，买3本笔记本多少钱？”），让学生选择对应的正确算式（(5-2)×3

，此题为带括号，但可引发思考）。2.“递等式计算”：完成学习任务单上6-8道标准的两级混合运算脱式计算题，要求格式规范、计算准确。

挑战层（思维拓展）：“数字添符号”：给定数字和等式，如432=10

，让学生尝试添加“+、-、×、÷”和括号（如果能力允许），使等式成立。此题开放性强，能激发学生深度思考运算顺序与结果的关系。

反馈机制：基础层练习采用全班齐答或手势判断，快速扫清理解障碍。综合层练习，学生独立完成后，利用实物投影展示不同学生的作品，进行同伴互评，重点围绕“顺序对不对、格式美不美、计算准不准”展开。教师选取典型正确范例和共性错误案例进行对比讲评，让错误成为宝贵的学习资源。挑战层题目作为思考题，请有思路的学生分享其“试误”和推理过程，保护并鼓励创新思维。

第四、课堂小结

“同学们，今天的数学探险即将结束，谁能当个小老师，带领大家回顾一下我们的收获？”引导学生从多维度进行自主总结。

知识整合：鼓励学生用简洁的语言或结构图（教师可板画草图）总结核心知识点：“我们今天学习了‘不含括号的两级混合运算’，它的运算顺序是——（生齐答）先乘除，后加减。计算时要采用规范的脱式格式。”

方法提炼：“回顾一下，我们是怎么发现并学会这个新规则的呢？”引导学生回顾学习路径：从生活问题中产生疑问→通过多个例子比较、归纳→学习规范书写→思考规则背后的道理。提炼出“联系实际、举例归纳、规范操作、追问道理”的学习方法。

作业布置与延伸：“今天的作业是我们的‘营养自助餐’：必做题是课本第X页的练习X；选做题有两道：1.寻找生活中用到了‘先乘除后加减’规则的实际例子，并讲给家人听。2.挑战一道‘陷阱题’：36÷6×2

，想一想，它的运算顺序和我们今天学的规则一样吗？下节课我们来分享大家的发现！”

六、作业设计

基础性作业：

1.完成课本相应练习页的基础计算题，共8道，涵盖乘加、乘减、除加、除减等各种类型，要求用脱式计算，格式规范。

2.任选两道今天做过的混合运算题，将自己的计算过程（先算什么、再算什么）像讲故事一样说给爸爸妈妈听。

拓展性作业：

3.“家庭购物小账本”：记录一次家庭购物小票（或模拟设计），从中提取信息，提出一个需要用“先乘除后加减”两步计算解决的问题，并列出算式解答。

4.“错题分析员”：收集或自编一道混合运算的错题（顺序错误或计算错误），分析错误原因，并写出正确解答过程。

探究性/创造性作业：

5.“运算顺序创编游戏”：用数字卡片1-10和“+、-、×、÷”符号卡片，尝试组合出一个运算顺序不是“从左往右”，而是需要“先乘除后加减”的算式，并验证结果。你能创编出几种？

6.（供学有余力者思考）观察并计算12+24÷6-2×3

，这个算式里有加、除、减、乘，顺序该如何确定？你能尝试总结一个更复杂的口诀吗？（为后续学习更复杂的混合运算埋下伏笔）

七、本节知识清单、考点及拓展

★核心概念：不含括号的两级混合运算。指在一个算式中，只含有加、减、乘、除四种运算中的两种或以上，且没有括号，其中乘法和除法属于同一级运算，加法和减法属于同一级运算。

★核心规则：运算顺序规则。在没有括号的算式里，如果既有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法。这是本节课的灵魂，必须理解其内涵而非死记文字。

★核心技能：脱式计算。具体要求见任务三清单。这是规则的程序化体现，也是考试中的主要书写形式，务必养成规范书写习惯。

▲易混淆点：“先乘除”的含义。“先乘除”是指乘法和除法谁在前面就先算谁吗？错！是指在一个混合算式中，所有的乘法和除法运算都比加法和减法运算优先进行。例如24÷3×2

，应从左往右依次计算，因为除和乘是同级。切不可误解为“先算乘法，再算除法”。

★典型例题结构：①直接计算型：5×7-18

，48÷6+22

。②应用题型：通过一段文字叙述，让学生列综合算式解答，这是考查规则理解与应用的主要方式。

▲算理支撑点：乘除法运算往往对应着一个“整体量”（如总价、份数、每份数），在实际问题中，常常需要先求出这个整体量，才能进行后续的加减操作。这是规则合理性的生活化解释。

★高频考点与命题点：

1.直接写出运算顺序：给出算式，让学生用“先算……，再算……”填空。

2.脱式计算：纯计算题，考查顺序掌握和计算准确性。

3.改错题：给出顺序或格式错误的计算过程，让学生判断并改正。这是考查理解深度的有效题型。

4.解决问题中的列综合算式：这是重点也是难点，考查学生能否将文字情境转化为正确的数学表达式，并隐含正确的运算顺序。

▲思维拓展：运算顺序的普适性。可以引导学生思考：为什么全世界都用同样的运算顺序？如果没有这个规定，数学交流会变得怎样？从而感受数学作为通用语言的严谨性。同时，可以简单提及计算机编程中同样严格遵循运算符优先级，建立学科间的微弱联系。

八、教学反思

假设本节课已实施完毕，基于课堂观察与学生反馈，我将从以下几个方面进行复盘：

(一)目标达成度分析

从课堂练习反馈和课后抽查来看，约85%的学生能准确陈述运算顺序规则，并正确完成基础性脱式计算，表明知识技能目标基本达成。在“说算理”环节，超过70%的学生能结合具体情境解释先算某一步的原因，说明对规则的理解超出了机械记忆层面。然而，在解决需要自己从复杂情境中提取信息并列出综合算式的实际问题时，正确率有所下降（约65%），部分学生仍习惯于分步列式，对综合算式的构建及其内在顺序的把握能力有待加强，这是能力目标中需要持续跟进的部分。

(二)核心环节有效性评估

1.导入与任务一：通过“购物结算”制造认知冲突，效果显著。学生们在“38元”与“78元”的对比中，眼睛睁大了，真切感受到了顺序不同导致结果的荒谬，为后续探究提供了强劲动力。我意识到，一个“好问题”胜过十句讲解。

2.任务二（小组归纳）：小组合作时，我观察到不同层次学生的参与度差异。思维活跃的学生很快能发现规律，而部分基础较弱的学生仍停留在计算单个题目上。下次应考虑提供更结构化的讨论支架，如一张带有引导性问题的记录表（“我们组的算式是……”、“根据题意，应先算……，因为……”、“这几个算式的共同点是……”），让每个学生都有话可说，有方向可循。

3.任务四（深化算理）：探讨“为什么”环节，学生的反应比预想的热烈。用“如果规定先加减……”的反例来启发思考，引发了不错的讨论。有学生说：“那样的话，算式的意思就乱了套，每个人算的都不一样，数学就不好玩了。”这句话生动地触及了数学规则的本质——确定性和一致性。这个环节的时间可以再充裕一些，让更多的“童言妙语”迸发出来。

(三)差异化支持与课堂生成

在巡视指导时，我