小学五年级数学五四学制《求一个数比另一个数多百分之几》知识清单

小学五年级数学五四学制《求一个数比另一个数多百分之几》知识清单一、核心概念与基本数量关系【核心概念】百分数表示一个数是另一个数的百分之几，也叫百分比或百分率。在“求一个数比另一个数多百分之几”的问题中，核心是理解“多百分之几”的含义：它表示两个数的差量占单位“1”的百分之几。例如，“甲比乙多百分之几”，就是甲与乙的差（甲乙）占乙的百分之几。这里的乙是标准量，即单位“1”。这一概念将绝对数量的比较转化为相对比率的比较，使得不同基数下的变化幅度具有可比性，是统计学和日常生活中最常用的数据分析工具之一。【重要】单位“1”的确定是解决此类问题的首要步骤，也是区分不同问题的关键。在“比”字句中，“比”后面的量通常是单位“1”。例如，“男生比女生多百分之几”，单位“1”是女生人数；“实际产量比计划增产百分之几”，单位“1”是计划产量；“今年的销售额比去年增长了百分之几”，单位“1”是去年的销售额。准确找出单位“1”，相当于找到了比较的基准，后续所有计算都围绕这个基准展开。如果单位“1”找错，整个解题方向就会偏离，结果必然错误。【基础】基本数量关系式可以概括为以下三个层次：第一，明确相差量，即较大数与较小数的差（如果问题问“多百分之几”，则相差量=较大数较小数；如果问“少百分之几”，相差量=较小数较大数，但结果为正，因此通常直接取绝对值）。第二，用相差量除以单位“1”的量，得到一个不带百分号的比值（可以是小数或分数）。第三，将这个比值乘以100%，并加上百分号，得到最终答案。公式表达为：多（或少）百分之几=(两个数的差)÷单位“1”的量×100%。需要注意的是，这里的“差”必须是与单位“1”对应的那个数相比而言的，不能随意选取。【热点】在实际应用中，这类问题常以生活化的语言出现，如“增产了百分之几”、“降价了百分之几”、“节约了百分之几”、“提高了百分之几”、“降低了百分之几”等。这些说法虽然用词不同，但本质都是求一个数比另一个数多（或少）百分之几。例如，某工厂今年产量比去年增加的部分占去年的百分之几，就是增产率；某商品现价比原价降低的部分占原价的百分之几，就是降价率。理解这些生活用语与数学术语之间的对应关系，是正确建模的前提。二、基本原理与解题模型【核心原理】本知识点的数学本质是比较思想与转化思想的结合。比较思想体现在将两个量进行对比，找出它们之间的差异；转化思想体现在将这个差异（绝对量）转化为相对于标准量的比率（相对量）。这种转化使得不同背景下的数据可以进行横向比较。例如，甲厂增产100台，乙厂增产200台，不能直接说明乙厂增产幅度大，因为两厂的基数可能不同。只有计算出各自的增长率（增产百分之几），才能科学地比较增长幅度。因此，求一个数比另一个数多百分之几的过程，实际上就是将一个绝对差值标准化为相对比率的过程。【难点】理解为什么用相差量除以单位“1”而不是除以另一个数，是学习的难点，也是学生容易混淆的地方。例如，在“甲比乙多百分之几”中，如果错误地除以甲，得到的是甲比乙多的部分占甲的百分之几，这实际上是“乙比甲少百分之几”的另一种表达，两者数值通常不同。产生这种混淆的根本原因是对“比谁多”中的“谁”即标准把握不清。必须强调：以谁为标准，就用谁做除数。甲比乙多，是以乙为标准，所以用乙作除数；乙比甲少，是以甲为标准，所以用甲作除数。这一原理贯穿所有百分数比较问题的始终。【模型构建】为了帮助学生建立清晰的解题框架，可以构建以下两个基本模型：模型1（正向比较）：已知两个数A和B，求A比B多百分之几。操作步骤：①确定单位“1”为B（因为“比B”多）。②计算相差量：AB（假设A>B）。③列式：(AB)÷B。④将结果化为百分数。模型2（反向比较）：已知两个数A和B，求B比A少百分之几。操作步骤：①确定单位“1”为A（因为“比A”少）。②计算相差量：AB（注意这里虽然问的是B比A少，但相差量仍然是AB，因为少的数量正是这个差）。③列式：(AB)÷A。④将结果化为百分数。模型1和模型2的结果一般不相等，除非相差量为0。例如，A=120，B=100，则模型1结果为()÷100=20%；模型2结果为()÷120≈16.7%。这充分说明单位“1”对结果的决定性影响。三、解题方法与步骤（含易错点）【标准解题步骤】总结为四字口诀：“一找二差三除四化”，每一步都有其具体内涵和要求。第一步（一找）：找准单位“1”。方法是仔细读题，找到表示比较关系的词语，通常“比”字后面的量就是单位“1”。例如，“今年的产量比去年增加了百分之几”，单位“1”是去年的产量；“十月份比九月份节约用水百分之几”，单位“1”是九月份的用水量。如果题目中没有直接出现“比”字，但隐含了比较意义，如“增产了百分之几”，则需要补充出完整的句子“今年比去年增产了百分之几”，从而确定单位“1”。第二步（二差）：求出两个数的差，即多出或减少的数量。这一步要特别注意是用大数减小数，得到正数，因为百分数通常表示增加或减少的幅度，结果一般用正数表示（如果是负的，则意味着相反方向）。如果题目是求“多百分之几”，那么差=较大数较小数；如果求“少百分之几”，差=较大数较小数（因为少的部分也是这个差）。因此，无论问多还是少，相差量都是两个数的绝对值之差。第三步（三除）：用第二步求出的差除以第一步确定的单位“1”的量。这一步的结果通常是一个小数或分数，例如0.25或1/4。注意除法要算准确，除不尽时通常保留三位小数（即计算到小数点后第四位，以便四舍五入）。第四步（四化）：将第三步得到的小数或分数化成百分数。方法是把小数点向右移动两位，再添上百分号。如果结果是分数，可以先化成小数再转化，也可以直接将分数改写为分母是100的分数。例如，0.25=25%，1/4=25%。如果除不尽，题目通常会要求“百分号前保留一位小数”或“保留整数”，此时需要根据要求进行四舍五入。例如，1/3≈0.3333，保留一位小数是33.3%。【易错点警示】根据长期教学实践，以下六个易错点是学生最常犯的，必须反复强调。▲易错1：单位“1”找错。典型表现：见到“甲比乙多百分之几”，错误地把甲当作单位“1”，列式为(甲乙)÷甲。纠正方法：强化“比”字后面是标准，可以通过替换词语来检验，如将“比”换成“相对于”，看哪个量是参照物。▲易错2：相差量计算错误。典型表现：求“甲比乙多百分之几”时，直接用甲÷乙，然后减1，虽然这也可以，但学生往往忘记减1，直接写成甲÷乙×100%，得出错误结论。纠正方法：强调必须先求差，或者用公式“多百分之几=(甲÷乙)1”，并解释其原理（因为甲是乙的百分之几，减去100%就是多的部分）。▲易错3：结果未化成百分数。典型表现：计算出0.2或1/5后，直接答0.2或1/5，没有变成20%。纠正方法：强调题目问的是“百分之几”，答案必须带有百分号，养成最后一步转化百分数的习惯。▲易错4：百分号前保留位数不规范。典型表现：计算5÷7≈0.，直接写71.4285%，而题目要求保留一位小数，应写71.4%。纠正方法：看清题目要求，严格按照四舍五入法保留指定小数位数，并且百分号前通常只写数字，不再带小数点后的多余位数。▲易错5：混淆“增加百分之几”与“增加到百分之几”。典型表现：某厂去年产值100万元，今年产值120万元，问增加了百分之几？学生误答120÷100=120%，即增加了120%。纠正方法：明确“增加到”是指现在的数量是原来的百分之几，“增加了”是指多的数量是原来的百分之几。前者是包括基数的，后者不包括。正确解答应为()÷100=20%。▲易错6：连续比较中单位“1”变化导致错误。典型表现：甲比乙多20%，乙比丙多20%，问甲比丙多百分之几？学生可能直接20%+20%=40%。纠正方法：需要设丙为1，则乙=1×(1+20%)=1.2，甲=1.2×(1+20%)=1.44，甲比丙多(1.441)÷1=44%。这里每个20%的单位“1”不同，不能直接相加。四、典型例题与变式训练【例题1】（基础题，求多/少百分之几）希望小学五年级有男生120人，女生100人。请回答：(1)男生比女生多百分之几？(2)女生比男生少百分之几？【解析】问题(1)：男生比女生多，单位“1”是女生人数。男生比女生多的人数：=20人。20÷100=0.2=20%。答：男生比女生多20%。问题(2)：女生比男生少，单位“1”是男生人数。女生比男生少的人数同样为20人（因为人数差不变）。20÷120≈0.1667=16.7%（百分号前保留一位小数）。答：女生比男生少16.7%。【关键点】同一组数据，由于单位“1”不同，得到的结果不同。这深刻揭示了比较基准的重要性。【例题2】（提高题，价格变化中的百分数）一件商品原价200元，现价160元。请问：(1)降价了百分之几？(2)如果后来价格又涨到200元，那么从160元涨到200元，涨价了百分之几？【解析】问题(1)：降价，单位“1”是原价200元。降价金额：=40元。40÷200=0.2=20%。答：降价20%。问题(2)：涨价，单位“1”是现价160元（因为是从160元涨到200元，所以比160元涨了）。涨价金额：=40元。40÷160=0.25=25%。答：涨价25%。【注意】同样是40元的变化，第一次降价20%，第二次涨价25%，因为单位“1”不同，百分比也不同。这解释了为什么商品先降价再涨价相同金额，并不能回到原价。【例题3】（易错题，增长率与减少率的对比）某工厂去年生产零件500个，今年生产了600个。请回答：(1)今年比去年增产百分之几？(2)去年比今年少百分之几？【解析】问题(1)：今年比去年增产，单位“1”是去年产量500个。增产数量：=100个。100÷500=0.2=20%。答：增产20%。问题(2)：去年比今年少，单位“1”是今年产量600个。少的数量：=100个。100÷600≈0.1667=16.7%。答：去年比今年少16.7%。【辨析】两个结果明显不同，因为比较的方向相反，单位“1”互换。这类对比题能有效帮助学生区分“多”和“少”在不同标准下的差异。【例题4】（变式1，已知多百分之几和其中一个量，求另一个量）某校六年级男生人数比女生多25%，已知男生有125人，求女生有多少人？【解析】方法一（算术法）：男生比女生多25%，意思是男生人数是女生人数的(1+25%)=125%。已知男生125人，所以女生人数=125÷125%=125÷1.25=100人。方法二（方程法）：设女生有x人，则男生比女生多25%x，即男生人数为x+25%x=1.25x。根据题意，1.25x=125，解得x=100。答：女生有100人。【关键】这里单位“1”是女生，男生是女生的125%，用除法求单位“1”。【例题5】（变式2，连续变化问题）某商品先降价10%，再涨价10%，现价与原价相比是涨了还是跌了？变化幅度是多少？【解析】设原价为1（或任意具体数，如100元）。降价10%后，价格变为1×(110%)=0.9。再涨价10%，注意此时是在0.9的基础上涨价，所以现价=0.9×(1+10%)=0.9×1.1=0.99。0.99<1，所以现价比原价跌了。跌幅=(10.99)÷1=0.01=1%。答：现价比原价跌了1%。【拓展】如果先涨价10%再降价10%，结果也是跌了1%。这说明无论顺序如何，连续两次相同百分比的涨跌，最终价格都会低于原价。【例题6】（变式3，已知少百分之几，求多百分之几的转化）甲数比乙数少20%，那么乙数比甲数多百分之几？【解析】方法一（设数法）：设乙数为1（或100），则甲数比乙数少20%，所以甲数=1×(120%)=0.8。乙数比甲数多(10.8)÷0.8=0.2÷0.8=0.25=25%。答：乙数比甲数多25%。方法二（公式推导）：甲比乙少20%，即甲=乙×(120%)=80%乙，则乙=甲÷80%=甲×1.25，所以乙比甲多25%。注意这里的20%和25%不是互为倒数关系，但可以通过单位“1”转换得到。【重要】这是一个高频考点，常以填空或选择形式出现，要求学生掌握这种单位“1”转换的方法。五、考点剖析与高频考题【高频考点】本知识点在小学数学考试中占有重要地位，几乎每份试卷都会涉及。主要考查点包括：①对单位“1”的识别能力；②基本公式的运用；③逆向求解（已知百分比和一个量求另一个量）；④连续变化或复合变化中的百分数计算；⑤百分数与分数、小数的互化；⑥结合统计图或实际情境的阅读理解。考查形式多样，以填空题、选择题、判断题和应用题为主。【常见题型归类】题型一：直接计算型。给出两个具体数量，直接套公式求多（或少）百分之几。例如：“某小学去年有学生800人，今年有学生900人，今年比去年增加了百分之几？”题型二：逆向求单位“1”型。给出百分比和比较量，求标准量。例如：“一种商品降价20%后售价160元，原价是多少元？”这类问题需要利用“比较量÷(1±百分比)”来求解。题型三：比较型。如“甲比乙多25%，则乙比甲少百分之几？”需要转化单位“1”。题型四：连续变化型。如“某商品先涨价10%，再降价10%，现价与原价的关系？”需要分步计算，注意每一步的单位“1”不同。题型五：图表信息题。提供条形统计图或扇形统计图，要求学生从图中读取数据并计算百分比。例如，统计图中显示男生120人，女生100人，求男生比女生多百分之几。题型六：综合应用题。结合生活实际，如“某工厂今年的产值比去年增长了15%，去年产值200万元，今年产值多少万元？”或“一种药品经过两次降价，每次降价10%，现在价格是原价的百分之几？”等。【命题趋势】近年来，数学考试越来越注重情境化和应用性，百分数问题往往与生活热点结合，如“节能减排”、“新冠疫苗接种率”、“GDP增长率”、“商品打折促销”等。题目文字量可能较大，需要学生提取有效信息。同时，也注重考查学生的数学建模能力和逻辑思维能力，单纯套公式的题目逐渐减少，灵活多变的题目增多。【重要】解答百分数应用题的核心是找准数量关系，可以借助线段图帮助理解。常用公式链如下：（1）比较量÷标准量=百分率（2）标准量×百分率=比较量（3）比较量÷百分率=标准量这三个公式实际上就是乘除法关系的变形，只要明确标准量、比较量和百分率三个量中的两个，就能求出第三个。六、思维拓展与跨学科应用【思维拓展】将“多百分之几”与“多几分之几”进行类比，可以发现它们本质相同，只是表示形式不同。例如，甲比乙多20%，相当于甲比乙多1/5（因为20%=1/5）。但要注意，当百分数不是整数时，化成分数可能需要近似。反过来，如果已知甲比乙多1/4，那么就是多25%。这种互化有助于加深对分数和百分数关系的理解。另外，还可以拓展到“比一个数多（或少）百分之几的数是多少”的问题，这实际上是求比较量的问题，公式为：比较量=标准量×(1±百分数)。【高阶思维】引入“复合增长率”的概念。例如，某公司第一年利润增长20%，第二年增长20%，那么两年总的增长率不是40%，而是(1+20%)×(1+20%)1=44%。如果两年分别增长20%和下降20%，则总变化为(1+20%)×(120%)1=4%，即下降4%。这种连续变化的问题在经济学、人口学等领域非常常见，它教会学生不能简单加减，而要用乘法关系处理相对变化。【跨学科应用】在科学（生物、化学）中，百分数常用于表示浓度、纯度、成活率等。例如，一种盐水的含盐率是指盐的质量占盐水总质量的百分之几；种子的发芽率是指发芽种子数占实验种子总数的百分之几。这些虽然不是“比另一个数多百分之几”，但都是百分数应用的不同形式，核心都是部分与整体的比率。在经济学中，百分数是核心工具。如利润率=(售价成本)÷成本×100%，就是求利润比成本多百分之几；折扣率=现价÷原价×100%，是求现价是原价的百分之几，而降价率则是求降价部分占原价的百分之几。在地理与统计中，人口自然增长率、森林覆盖率、城市化率等都是百分数。例如，某地区去年人口100万，今年增加了2万，则人口增长率是2%，这属于“增加百分之几”的问题。在体育比赛中，投篮命中率、进球率等也是百分数。例如，某球员投中20次，共出手50次，命中率40%，这是求投中次数是出手次数的百分之几，而不是多百分之几，但都离不开百分数的基础。【数学思想】本知识点蕴含了多种数学思想：数形结合思想：通过画线段图，可以直观地表示标准量、比较量和相差量之间的关系，帮助学生找到解题思路。转化思想：将未知问题转化为已知模型，将“多百分之几”转化为分数除法问题。方程思想：当问题复杂时，可以设未知数列方程求解，尤其适合逆向问题。模型思想：建立“求一个数比另一个数多百分之几”的数学模型，并推广到类似情境中。七、常见错误诊断与纠错策略【错误类型1】单位“1”识别错误案例：一台冰箱原价2000元，降价后1600元，降价了百分之几？学生错误列式：()÷1600=400÷1600=25%。诊断：学生误将现价1600元作为单位“1”，认为降价是相对于现价而言的。实际上，“降价”是指价格降低的部分占原价的百分之几，单位“1”应是原价2000元。纠错策略：引导学生思考“降价了百分之几”完整表述是“降价的钱数是原价的百分之几”，从而锁定单位“1”为原价。可以让学生将问题补充完整，再找出“比”字后面的量。【错误类型2】差量计算错误（用比较量直接除以标准量）案例：甲100，乙80，求甲比乙多百分之几？学生错误列式：100÷80=125%，然后回答多125%。诊断：学生混淆了“甲是乙的百分之几”与“甲比乙多百分之几”。前者不需要求差，后者必须先求差。纠错策略：对比讲解两个问题：“甲是乙的百分之几”列式为100÷80=125%；“甲比乙多百分之几”列式为(10080)÷80=25%。让学生通过对比明确区别。也可以引导用公式“多百分之几=(甲÷乙)1”，125%1=25%，但必须理解其中的道理。【错误类型3】结果未化成百分数或化错案例：计算()÷100=0.2，直接答0.2。或者将0.2写成2%，漏掉一个0。诊断：学生对百分数的概念理解不深，或者粗心大意。纠错策略：反复强调百分号的用法，0.2=20%，0.02=2%。可以通过填空练习强化：0.25=()%，1.5=()%，0.375=()%等。同时提醒检查答案是否符合实际，比如多百分之几一般不会是0.2这样的小数，而应该是20%。【错误类型4】百分号前保留位数处理不当案例：5÷7≈0.714，直接写71.4%，但题目要求保留整数，应写71%；或者题目要求保留一位小数，应写71.4%，学生却写71.43%。诊断：没有仔细审题，或四舍五入方法掌握不牢。纠错策略：训练学生养成读题时圈出要求（如“百分号前保留一位小数”）的习惯。强调四舍五入规则：看要保留位数的下一位，小于5则舍，大于等于5则入。【错误类型5】“增加”与“增加到”混淆案例：某厂去年产值100万元，今年产值120万元，增加了百分之几？学生列式：120÷100=120%，答增加了120%。诊断：混淆了“增加到”与“增加了”。120%是今年产值占去年的百分比，即“增加到120%”，而不是“增加了120%”。纠错策略：明确“增加到”包含基数，“增加了”不包含。可以通过关键词辨析：“增加了”后面通常接具体数量或百分数，表示增量；“增加到”后面接最终数量或百分数。可以设计判断题：“一种商品原价100元，现价120元，增加了20%。（√）”【错误类型6】连续比较中单位“1”未变导致错误案例：甲比乙多20%，乙比丙多20%，甲比丙多百分之几？学生答40%。诊断：误将两个百分数直接相加，忽略了每次比较的单位“1”不同。纠错策略：引导学生用设数法，设丙为100，则乙=120，甲=144，甲比丙多()÷100=44%。通过具体数值让学生看到不是40%。强调单位“1”变化时，必须还原到同一个标准下才能比较。【纠错策略总结】★策略1：画线段图。将抽象的数量关系直观化，标出单位“1”和比较量，线段图能有效避免混淆。★策略2：对比练习。设计一组组对比题，如“甲是乙的百分之几”与“甲比乙多百分之几”对比，强化概念区分。★策略3：错例分析。展示典型错误答案，让学生讨论错在哪里，如何改正，从反面加深理解。★策略4：建立错题本。要求学生将错题整理下来，写出错误原因和正确解法，定期复习。★策略5：口诀记忆。如“求多几，先求差，再除以单位‘1’，最后变百分”，朗朗上口，便于记忆。八、教学建议与学习策略【教学建议】针对五年级学生的认知特点，教学时应注重以下几点：1.情境导入，激发兴趣。从学生熟悉的购物打折、班级人数变化等话题入手，提出问题，引发思考。例如，“学校足球队男生比女生多几人？多百分之几？”从具体的“多几人”过渡到抽象的“多百分之几”，体现知识的递进。2.借助直观，化难为易。充分利用线段图，将单位“1”、比较量和相差量在图上标出。例如，画两条线段分别表示男生和女生人数，用虚线标出差量，让学生直观看出差量占单位“1”的几分之几。3.对比教学，深化理解。将“求一个数是另一个数的百分之几”与“求一个数比另一个数多百分之几”进行对比，将“多百分之几”与“少百分之几”进行对比，通过对比凸显单位“1”的关键作用。4.分层练习，逐步提升。练习设计由易到难，先基础题（直接套公式），再变式题（逆向、转化），最后综合题（连续变化、情境题），让不同层次的学生都能得到发展。5.错例分析，防患未然。收集学生的典型错误，在课堂上分析讨论，让学生自己发现错误原因，加深印象。6.联系实际，学以致用。布置实践性作业，如调查家庭水电费变化、商场促销信息，计算相关的百分数，增强应用意识。【学习策略】学生可以从以下几个方面提高学习效果：1.主动画图。遇到问题不要急于列式，先画线段图，标出单位“1”和已知量，理清关系后再计算。2.记忆公式。熟记“多（少）百分之几=相差量÷单位‘1’×100%”，并理解其含义，做到脱口而出。3.对比归纳。自己尝试将类似的题目归类，总结每类题的解法。例如，将“已知一个数和它比另一个数多（少）的百分比，求另一个数”归为“单位‘1’未知，用除法”的类型。4.错题反思。建立错题本，不仅记录错题，还要写出错误原因和正确思路，定期回顾，避免重复犯错。5.联系生活。在生活中主动寻找百分数的影子，如看新闻中的经济数据、商品标签上的成分百分比等，尝试用所学知识解释或计算，提升数感。6.合作交流。与同学讨论难题，互相讲解，在交流中加深理解，发现自己的思维漏洞。九、知识关联与网络【本课在知识体系中的位置】本课“求一个数比另一个数多百分之几”是小学阶段百分数应用题的核心内容之一，在知识体系中处于承上启下的关键位置。前置知识：三年级下册初步认识分数和小数；四年级下册学习小数加减法和简单的分数加减法；五年级上册学习百分数的意义、百分数与分数小数的互化、求一个数是另一个数的百分之几。这些知识为本课提供了概念基础和计算技能。后续知识：六年级上册将进一步学习百分数的应用，包括折扣、成数、税率、利率等实际问题，以及用百分数解决较复杂的应用题（如浓度问题、工程问题）。本课所学的数量关系和解题方法将直接应用于这些内容。【知识网络构建】（1）百分数的意义→求一个数是另一个数的百分之几（基础）→求一个数比另一个数多（少）百分之几（发展）→百分数的实际应用（折扣、成数、税率、利率等）（深化）。（2）分数应用题（如“求一个数比另一个数多几分之几”）与百分数应用题本质上相同，只是表现形式不同。分数应用题中的“几分之几”可以转化为百分数，反之亦然。因此，掌握本课内容也有助于分数应用题的学习。（3）比和比例的知识也与百分数紧密相关。百分数可以看作两个数的比，例如25%就是1:4。在解决百分数问题时，有时可以转化为比例问题，利用比例的性质求解。【核心概念关联】单位“1”的概念贯穿始终。在分数应用题中，单位“1”同样重要。百分数应用题实际上是分数应用题的特殊形式（分母固定为100）。因此，本课所学的找单位“1”、画线段图等方法，可以迁移到分数应用题乃至其他类型的比较问题中。十、综合测评与自我检测【自我检测题】（共10题，涵盖各种题型）1.填空题：40比50少（）%，50比40多（）%。2.判断题：甲比乙多10%，则乙比甲少10%。（）3.选择题：一种商品先涨价10%，再降价10%，现价与原价相比（）。A.提高了B.降低了C.不变D.无法确定4.解答题：某工厂今年计划生产零件1200个，实际生产了1500个。实际比计划增产百分之几？5.解答题：一种电视机原价2500元，现在降价到2000元，降价了百分之几？6.解答题：某校六年级有男生80人，女生比男生少20%，女生有多少人？7.解答题：小明的体重是40千克，比小华轻20%，小华的体重是多少千克？8.解答题：一件商品先提价20%，再降价20%，现价是原价的百分之几？9.拓展题：甲数比乙数多25%，那么乙数比甲数少百分之几？10.情境题：根据下面的统计图回答问题：某小学五年级学生喜欢的运动项目统计，喜欢篮球的有30人，喜欢足球的有24人。喜欢篮球的人数比喜欢足球的多百分之几？喜欢足球的人数比喜欢篮球的少百分之几？【参考答案与解析】1.40比50少：(5040)÷50=10÷50=20%；50比40多：(5040)÷40=10÷40=25%。2.错误。设乙为100，则甲为110，乙比甲少()÷110≈9.1%，不是10%。3.B。设原价为1，涨价后为1.1，再降价后为1.1×0.9=0.99，比原价低。4.()÷1200=300÷1200=0.25=25%。答：增产25%。5.()÷2500=500÷2500=0.2=20%。答：降价20%。6.女生比男生少20%，即女生是男生的(120%)=80%，女生人数=80×80%=64人。7.小明比小华轻20%，即小明是小华的(120%)=80%，所以小华体重=40÷80%=50千克。8.设原价为1，提价20%后为1.2，再降价20%后为1.2×0.8=0.96，0.96÷1=96%。答：现价是原价的96%。9.设乙为100，则甲为125，乙比甲少()÷125=25÷125=20%。答：乙比甲少20%。10.篮球比足球多：(3024)÷24=6÷24=0.25=25%；足球比篮球少：(3024)÷30=6÷30=0.2=20%。十一、数学文化与背景知识【百分号的由来】百分号“%”的起源可以追溯到15世纪的意大利。当时商人常用“percento”表示“每百”，后来简写为“pcento”，再后来演变为一个斜线加两个小圆圈，最终形成现在的“%”。有趣的是，早期的手写体中，百分号有时写作“pc”加上一条斜线，经过几百年的演变才标准化。数学符号的演变反映了人类追求简洁高效的过程。【百分数在历史上的应用】早在古罗马时期，就有征收“百分之一”税的做法，但那时没有百分号，而是用分数表示。中世纪欧洲商业兴起，为了计算利润、利息等，人们开始广泛使用“每百”的概念。例如，借款100元，一年后需还105元，那么利率就是5%。这种表示方法比分数更直观，因此逐渐普及。【生活中的趣味百分数】你知道吗？人体中水分约占体重的60%~70%；地球表面约71%被水覆盖；蜜蜂的翅膀每秒振动约200次，但振动频率变化幅度可能只有几个百分点。百分数无处不在，帮助我们量化世界。【数学故事】著名数学家阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬动地球。”如果从百分数的角度看，支点的位置决定了力臂的比例，这个比例可以用百分数表示，比如力臂是阻力臂的10倍，那么用10%的力就能撬动。百分数在这里体现了杠杆原理中的倍数关系。十二、课程思政与核心素养【思政渗透】通过百分数的学习，培养学生严谨求实的科学态度和理性精神。在解决实际问题时，如计算我国高铁速度的提升百分比、森林覆盖率的增加百分比等，可以结合我国现代化建设成就，增强学生的民族自豪感和爱国情怀。例如，中国高铁营业里程从2012年的不足1万公里增加到2023年的4.5万公里，增长了百分之多少？通过计算，学生能直观感受到国家发展的巨大成就。同时，在讨论统计数据时，要引导学生客观分析，不夸大不缩小，培养实事求是的品质。【核心素养落实】数学抽象：能够从具体情境中抽象出“多百分之几”的数学关系，并用符号表示。例如，从“男生比女生多5人”抽象出“多百分之几”需要知道女生人数，进而抽象出模型。逻辑推理：能够根据已知条件，推导出未知量。例如，已知甲比乙多20%，且甲为120，能推出乙=100，这个过程需要严谨的推理。数学建模：能够将实际问题转化为数学问题，建立“多百分之几”的数学模型，并求解。例如，商品打折问题中，降价百分之几就是典型的数学模型。数学运算：能够准确进行百分数计算，包括小数、分数的互化，除法运算以及四舍五入。直观想象：能够借助线段图、示意图等直观手段理解数量关系，将抽象的文字描述转化为形象的图形。数据分析：能够从统计图表中读取数据，计算百分数，并对结果进行解释。例如，分析班级成绩分布，计算优秀率、及格率等。十三、学习资源推荐【教材资源】青岛版（五四学制）五年级下册数学教材第31课相关内容，配套的练习册、单元检测卷。教材中的例题和习题是基础，必须熟练掌握。【线上资源】国家中小学智慧教育平台（原国家教育资源公共服务平台）上有许多优秀的微课视频，搜索“求一个数比另一个数多百分之几”即可找到相关课程。此外，一些教育类APP如“作业帮”、“小猿搜题”等也有知识点讲解和习题库，但需注意合理使用，避免过度依赖。【实践资源】鼓励学生开展“家庭小调查”：记录本月家庭用水、用电量，与上月比较，计算节约或超支的百分比；或者去超市调查某种商品的价格变化，计算涨跌幅度。这样的实践活动能将数学知识应用于生活，加深理解。【阅读资源】推荐阅读《数学故事百分数》《生活中的数学》等科普读物，了解百分数在历史、科学、经济等领域的应用，拓宽视野。十四、疑难问题解答【问】为什么求“多百分之几”要用差除以单位“1”，而不是直接除以另一个数？【答】因为“多百分之几”的含义是“多的部分