2026年复变函数洛朗展开练习试卷

2026年复变函数洛朗展开练习试卷考试时长：120分钟满分：100分一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.在复平面内，函数f(z)=(z^2-1)/(z-1)在z=1处的洛朗展开式中，负幂次项的项数是（）A.0项B.1项C.2项D.无穷多项2.函数f(z)=1/(z-2)+1/(z+2)在z=0处的洛朗展开式中，-1<|z|<2的展开式为（）A.Σ(z^n)/(2^n)-Σ(z^n)/(-2^n)B.Σ((-1)^nz^n)/(2^(n+1))C.Σ((-1)^nz^n)/(2^(n+1))-Σ((-1)^nz^n)/(-2^(n+1))D.Σ((-1)^nz^n)/(2^(n+2))3.函数f(z)=z/(z^2+1)在0<|z|<1的洛朗展开式中，z^(-3)项的系数是（）A.1/2B.-1/2C.1D.-14.函数f(z)=1/(z(z-1)^2)在0<|z|<1的洛朗展开式中，z^(-2)项的系数是（）A.1B.-1C.1/2D.-1/25.函数f(z)=e^z/(z^2-1)在0<|z|<1的洛朗展开式中，z^(-1)项的系数是（）A.0B.1C.-1D.1/26.函数f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π附近的洛朗展开式中，z^2项的系数是（）A.0B.1C.-1D.1/67.函数f(z)=1/(z^2-z)在0<|z|<1的洛朗展开式中，z^(-3)项的系数是（）A.1B.-1C.1/2D.-1/28.函数f(z)=z/(z^2+1)在1<|z|<∞的洛朗展开式中，z^(-3)项的系数是（）A.1/2B.-1/2C.1D.-19.函数f(z)=1/(z(z-1))在1<|z|<∞的洛朗展开式中，z^(-2)项的系数是（）A.1B.-1C.1/2D.-1/210.函数f(z)=e^z/(z^2-1)在|z|>1的洛朗展开式中，z^3项的系数是（）A.0B.1C.-1D.1/6二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(z)=1/(z-1)在0<|z|<1的洛朗展开式为________。2.函数f(z)=z/(z^2+1)在0<|z|<1的洛朗展开式中，z^(-1)项的系数为________。3.函数f(z)=1/(z(z-1))在0<|z|<1的洛朗展开式中，z^(-2)项的系数为________。4.函数f(z)=e^z/(z^2-1)在0<|z|<1的洛朗展开式中，z^(-1)项的系数为________。5.函数f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π附近的洛朗展开式中，z^0项的系数为________。6.函数f(z)=1/(z^2-z)在1<|z|<∞的洛朗展开式中，z^(-1)项的系数为________。7.函数f(z)=z/(z^2+1)在1<|z|<∞的洛朗展开式中，z^(-2)项的系数为________。8.函数f(z)=1/(z(z-1))在1<|z|<∞的洛朗展开式中，z^(-1)项的系数为________。9.函数f(z)=e^z/(z^2-1)在|z|>1的洛朗展开式中，z^(-1)项的系数为________。10.函数f(z)=1/(z-1)在|z|>1的洛朗展开式为________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(z)=1/(z-1)在0<|z|<1的洛朗展开式为1+z+z^2+...。2.函数f(z)=z/(z^2+1)在0<|z|<1的洛朗展开式中，z^(-1)项的系数为0。3.函数f(z)=1/(z(z-1))在0<|z|<1的洛朗展开式中，z^(-1)项的系数为1。4.函数f(z)=e^z/(z^2-1)在0<|z|<1的洛朗展开式中，z^(-1)项的系数为1/(z-1)+1/(z+1)。5.函数f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π附近的洛朗展开式中，z^0项的系数为-1。6.函数f(z)=1/(z^2-z)在1<|z|<∞的洛朗展开式中，z^(-1)项的系数为-1/z。7.函数f(z)=z/(z^2+1)在1<|z|<∞的洛朗展开式中，z^(-2)项的系数为1/(z^2+1)。8.函数f(z)=1/(z(z-1))在1<|z|<∞的洛朗展开式中，z^(-1)项的系数为1/z-1/(z-1)。9.函数f(z)=e^z/(z^2-1)在|z|>1的洛朗展开式中，z^(-1)项的系数为e^z/(z^2-1)。10.函数f(z)=1/(z-1)在|z|>1的洛朗展开式为1/z+z^{-2}+z^{-3}+...。四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.简述洛朗展开式的定义及其适用条件。2.解释函数f(z)=1/(z-1)在0<|z|<1和|z|>1的洛朗展开式有何不同。3.说明如何确定函数f(z)的洛朗展开式的收敛圆环。4.比较洛朗展开式与泰勒展开式的区别。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.求函数f(z)=1/(z^2-1)在0<|z|<1的洛朗展开式，并指出z^(-1)项的系数。2.求函数f(z)=z/(z^2+1)在1<|z|<∞的洛朗展开式，并指出z^(-3)项的系数。3.求函数f(z)=e^z/(z^2-1)在|z|>1的洛朗展开式，并指出z^3项的系数。4.求函数f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π附近的洛朗展开式，并指出z^2项的系数。【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：f(z)=(z^2-1)/(z-1)=z+1，在z=1处只有常数项，无负幂次项。2.B解析：f(z)=1/(z-2)+1/(z+2)=(z+2)/(z^2-4)+(z-2)/(z^2-4)=z/(z^2-4)+4/(z^2-4)，在-1<|z|<2展开为Σ((-1)^nz^n)/(2^(n+1))。3.B解析：f(z)=z/(z^2+1)=z/(z-i)(z+i)，在0<|z|<1展开为Σ((-1)^nz^(2n-1))/(1-z^2)。z^(-3)项系数为-1/2。4.C解析：f(z)=1/(z(z-1)^2)=z^(-1)(1-z)^(-2)，在0<|z|<1展开为z^(-1)Σ(nz^n)，z^(-2)项系数为1/2。5.A解析：f(z)=e^z/(z^2-1)=e^z/(z-i)(z+i)，在0<|z|<1展开为Σ(e^zz^(n-2))/(1-z^2)。z^(-1)项系数为0。6.D解析：f(z)=sin(z)/(z-π)=sin(π+(z-π))/(z-π)=-sin(z)/(z-π)，在z=π附近展开为-1+z^2/6+...，z^2项系数为1/6。7.B解析：f(z)=1/(z^2-z)=1/z(z-1)，在0<|z|<1展开为z^(-1)Σ(z^n)，z^(-3)项系数为-1。8.A解析：f(z)=z/(z^2+1)=z/(z-i)(z+i)，在1<|z|<∞展开为Σ((-1)^nz^(2n-1))/(z^2)，z^(-3)项系数为1/2。9.C解析：f(z)=1/(z(z-1))=1/z-1/(z-1)，在1<|z|<∞展开为Σ((-1)^nz^(-n-1))，z^(-2)项系数为1/2。10.A解析：f(z)=e^z/(z^2-1)=e^z/(z-i)(z+i)，在|z|>1展开为Σ(e^zz^(-n-2))/(z^2)，z^3项系数为0。二、填空题1.1+z+z^2+...解析：f(z)=1/(z-1)=-1/(1-z)，在0<|z|<1展开为Σz^n。2.0解析：f(z)=z/(z^2+1)=z/(z-i)(z+i)，在0<|z|<1展开为Σ((-1)^nz^(2n-1))/(1-z^2)，z^(-1)项系数为0。3.1解析：f(z)=1/(z(z-1))=1/z-1/(z-1)，在0<|z|<1展开为Σz^(-n-1)-Σz^(-n)，z^(-2)项系数为1。4.1/(z-1)+1/(z+1)解析：f(z)=e^z/(z^2-1)=e^z/(z-i)(z+i)，在0<|z|<1展开为Σ(e^zz^(n-2))/(1-z^2)，z^(-1)项系数为1/(z-1)+1/(z+1)。5.-1解析：f(z)=sin(z)/(z-π)=sin(π+(z-π))/(z-π)=-sin(z)/(z-π)，在z=π附近展开为-1+z^2/6+...，z^0项系数为-1。6.-1/z解析：f(z)=1/(z^2-z)=1/z(z-1)，在1<|z|<∞展开为Σ((-1)^nz^(-n-1))，z^(-1)项系数为-1/z。7.1/(z^2+1)解析：f(z)=z/(z^2+1)=z/(z-i)(z+i)，在1<|z|<∞展开为Σ((-1)^nz^(2n-1))/(z^2)，z^(-2)项系数为1/(z^2+1)。8.1/z-1/(z-1)解析：f(z)=1/(z(z-1))=1/z-1/(z-1)，在1<|z|<∞展开为Σ((-1)^nz^(-n-1))，z^(-1)项系数为1/z-1/(z-1)。9.e^z/(z^2-1)解析：f(z)=e^z/(z^2-1)=e^z/(z-i)(z+i)，在|z|>1展开为Σ(e^zz^(-n-2))/(z^2)，z^(-1)项系数为e^z/(z^2-1)。10.1/z+z^{-2}+z^{-3}+...解析：f(z)=1/(z-1)=-1/(1-z)，在|z|>1展开为Σz^(-n-1)。三、判断题1.错解析：f(z)=1/(z-1)在0<|z|<1的洛朗展开式为-Σz^n。2.对解析：f(z)=z/(z^2+1)在0<|z|<1展开为Σ((-1)^nz^(2n+1))/(1-z^2)，z^(-1)项系数为0。3.错解析：f(z)=1/(z(z-1))在0<|z|<1展开为Σz^(-n-1)-Σz^(-n)，z^(-1)项系数为-1。4.对解析：f(z)=e^z/(z^2-1)在0<|z|<1展开为Σ(e^zz^(n-2))/(1-z^2)，z^(-1)项系数为1/(z-1)+1/(z+1)。5.对解析：f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π附近展开为-1+z^2/6+...，z^0项系数为-1。6.错解析：f(z)=1/(z^2-z)在1<|z|<∞展开为Σ((-1)^nz^(-n-1))，z^(-1)项系数为-1/z。7.对解析：f(z)=z/(z^2+1)在1<|z|<∞展开为Σ((-1)^nz^(2n-1))/(z^2)，z^(-2)项系数为1/(z^2+1)。8.对解析：f(z)=1/(z(z-1))在1<|z|<∞展开为Σ((-1)^nz^(-n-1))，z^(-1)项系数为1/z-1/(z-1)。9.错解析：f(z)=e^z/(z^2-1)在|z|>1展开为Σ(e^zz^(-n-2))/(z^2)，z^(-1)项系数为e^z/(z^2-1)。10.对解析：f(z)=1/(z-1)在|z|>1展开为Σz^(-n-1)。四、简答题1.洛朗展开式的定义及其适用条件解析：洛朗展开式是复变函数在环域内的展开式，形如Σ(a_nz^n)，包含正幂次和负幂次项。适用条件为函数在某个圆环内解析。2.函数f(z)=1/(z-1)在0<|z|<1和|z|>1的洛朗展开式有何不同解析：在0<|z|<1展开为-Σz^n，在|z|>1展开为Σz^(-n-1)。3.如何确定函数f(z)的洛朗展开式的收敛圆环解析：根据函数的奇点位置确定，收敛圆环为介于相邻奇点之间或外部。4.比较洛朗展开式与泰勒展开式的区别