第八单元　 数学广角-数与形教学案例

数与形（一）

教学目标1.探究发现图形中隐藏着的数的规律，并尝试用数或算式表达规律，使学生掌握求1+3+5+7这样的连续奇数数列之和的方法，体会数与形的密切联系，并会应用发现的规律解决数学问题。2.经历自主观察、探究、小组合作交流的过程，体会数形结合、归纳推理等基本的数学思想，培养学生数学应用意识。3.使学生获得美好体验，提升数学学习兴趣。教学重难点重点：运用数形结合的方法探索规律，解决实际问题。难点：积累数形结合数学活动经验，体验数学思想方法的价值。教学准备课件、学习单目标落实教师活动学生活动二次备课在数和形之间初步建立联系，激发学生学习兴趣。一、情境导入课件出示图片：同学们，看图，你想到了什么？从图形中，能够看到数，这是一种智慧。出示数字：4那么，由数你能想到形吗？小结：从“形”中我们能看到“数”，由“数”我们能想到“形”，说明“数”与“形”有关系，今天我们就一起来研究数与形。一、发现问题活动：预设1：半圆预设2：分数1预设3：四边形预设4：正方形，有4条边。学生通过自主观察，思考，初步由图形中发现规律，用数或算式进行表达。通过讨论、交流，运用数形结合的方式，进一步理解用数表示图形中的规律，感受数与形的密切联系。小组合作，总结规律，深入理解数与形的关系，感受图形的局限性和数的简洁性，培养学生推理意识。二、引导合作1.发现规律课件出示图片：观察这组图形，你发现规律了吗？能不能用数或者算式表示出你的发现？根据学生回答课件出示：11×1142×21+393×31+3+5164×41+3+5+72.读懂规律同学们，你能读懂这些规律吗？这些数或者算式在表达什么意思？请小组内说一说。哪个小组愿意分享你们的思考成果？根据学生回答出示图片：同学们，你们真善于观察！能够从不同的角度进行思考，用不同的方式表示每幅图有几个正方形，发现了“形”里面藏着“数”。既然这些数或者算式都是在表示每幅图有几个正方形，我们是不是可以这样写：3.总结规律按照这样的规律，你能想象出第5幅图和第100幅图的样子吗？能用算式表达吗？请在学习单上画一画或者写一写。学习单学习单请根据前面发现的规律，画出第5幅图和第100幅图的样子或者写一写算式。展示学生学习单。展示学生画的第5幅图。这个小组画了第5幅图就没有再继续往下画，能给大家说说你们的感受吗？其他小组是因为这个原因，才选择的写算式吗？小结：图形直观，让我们很快就发现了规律，可是画图很麻烦，算式能够更加简洁地表示规律和结果。可是，没有图形，你们怎么知道最后是100的平方？小结：这是一组从1开始的连续奇数相加的算式，第几个加数就表示最外层增加的小正方形的个数。有几个这样的加数，它们的和就是几的平方。有几个这样的加数，拼成的正方形就有几行几列，总数就是每行小正方形的个数的平方。二、探究问题1.活动一：发现规律学生独立观察，用数或者算式表示自己的发现。预设1：1，4，9，16预设2：1×12×23×34×4预设3：11+31+3+51+3+5+72.活动二：读懂规律小组内交流，说出每种表示方法的意思。预设1：1、4、9、16表示了每组正方形的个数。预设2：乘法算式表示了正方形一行有几个，有几行，算出的是正方形的个数。预设3：加法算式表示了由第1幅图依次增加3个、5个、7个得到后面的图形，也在计算每幅图正方形的总个数。增加的正方形是一个“”形图形。3.活动三：总结规律预设：学生能画出第5幅图，无法画出第100幅图。写出算式：1+3+5+7+9=52=25预设1：画图太麻烦了，第5幅图还能画出来，第100幅图需要画100行，每行100个，根本就画不出来。预设2：我们从前面的图和算式中可以发现，第几幅图结果就是几的平方，所以第100幅图就是100的平方。预设3：我们组发现，算式从1开始，有几个奇数相加，它们的和就是几的平方。应用规律，解决问题，获得美好体验，渗透应用意识。三、辅导练习1.基础练习请大家运用发现的规律填空。（1）1+3+5+7+9=（）2 1+3+5+7+9+11+13+15=（）2（2）1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=（）（3）11+13+15+17+19+21+23+25=（）三、解决问题1.基础练习预设1：第2、3小题找不到与例题的练习，不会做。根据学生回答，课件出示：（2）1+3+5+7+9+1162+9+7+5+3+152（3）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25132-（1+3+5+7+9）52132-52=144小结：大家在运用规律解决问题时，首先要认真审题，观察题目中的算式是否符合“从1开始的连续奇数相加”这一特点，如果不符合，可能要进行适当的变形。2.变式练习你能自己读图，发现规律吗？试一试，有困难的可以小组内互相说一说。如图，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人。（1）照这样接着摆下去，第5个图形有（）张桌子，可以坐（）人。第12个图形有（）张桌子，可以坐（）人。（2）我发现：一张桌子可以坐4人，再增加1张桌子，就增加（）人。如果有n张桌子，那么一共可以坐（）人。谁能结合图来说一说，为什么n张桌子可以坐2n+2人？小结：结合图，可以帮助大家更加直观地发现规律，数可以更加简洁地表示规律，数和形各有优点，互相补充！大家可以根据需要，选择合适的方法进行研究。预设2：直接套用规律，只关注奇数的个数，第2小题有11个数，112=121。预设3：观察数的特点，能够把第（2）小题分成2组，预设4：第（3）小题，这组数不是从1开始的连续奇数，所以先补全，再去掉。预设5：（1）58（2）61（3）1442.变式练习预设1：第1小题会写，第2小题总结规律无从下手或者出错。预设2：第2小题算式不是最简形式，n张桌子，一共可以坐4+2（n-1）人。预设3：（1）5121226（2）22n+2预设4：每张桌子对应了上下2人，所以n张桌子就是2n人，最后再加上左右两边的2人，正好是（2n+2）人。运用图形，理解等差数列求和公式，体会数与形的密切联系。3.提升练习请你根据上面图形与规律接着画一画，填一填。1+2++10=？怎么计算简便？请结合图对1+2+3+4进行思考。出示下图：你们非常善于思考，又一次从图形中发现数的规律，还借助图发现了简算方法。其实，我们刚才发现的这一组数：1、3、6、10、15……也被叫作三角形数。3.提升练习预设1：预设2：1+4表示了每行有几个，乘4表示有4行，除以2是一个三角形中圆形的个数。预设3：所以1+2++10=（1+10）×10÷2=55。回顾反思，总结数与形的关系，体会数形结合的必要性。四、引导反思同学们，通过今天的数学学习，你对数和形有哪些新的认识？同学们，数学知识不是孤立存在的，知识之间都存在着密切联系。数与形的研究、学习还会继续，希望大家有更多的发现！四、提升问题预设1：我发现数和形联系非常密切。预设2：我发现形比较直观，更容易发现规律；数比较简洁，更容易记录。预设3：当图形数量太多不好画的时候，可以借助于数继续研究。板书设计数与形（一）直观简洁从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方

数与形（二）

教学目标1.在解决12+14+182.引导学生经历观察、探究、推理、归纳的过程，体会数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。3.在解决实际问题的过程中，感受数学知识的奥妙，激发学习数学的兴趣。教学重难点重点：经历观察、探究、推理、归纳等活动，在数与形之间建立联系，增强以形助数的意识。难点：体会极限思想，感悟数形结合的价值。教学准备课件、合作单目标落实教师活动学生活动二次备课观察算式，提出问题，激发学习数学的兴趣。一、情境导入同学们，在上一节课的学习中，我们在图形中发现规律，并用数来表示规律，感受到了数与形之间的关系。数和形之间还会有怎样的关系？我们今天来继续进行探究。出示例2：12+14+18+116+1观察这个算式，它有什么特点？一、发现问题活动：预设1：这个算式的分子都是1，分母越来越大，分数就会越来越小。预设2：每个分数都是前一个分数的12预设3：这个算式最后是省略号，说明后面还有很多个分数一直加下去。这个算式都写不完，结果怎么计算？初步尝试、探究，借助图形支撑，直观感受数与形之间的关系。二、引导合作1.自主探究这个算式可以按照大家发现的规律一直加下去，那么结果会是多少呢？我们请图形来帮忙找一找感觉吧。出示学习单：学习单学习单请从下面3个图形中任选一个，然后找到它的12涂色，在12的基础上再找到它的14二、探究问题1.活动一：自主探究预设：学生可能因为分的份数比较多，表示有困难，没有找到结果。也可能感觉结果会越来越接近1，约等于1。还会感觉结果会等于1。借助直观图，初步感受极限思想。经历推理的过程，解决12+14+182.小组汇报哪个小组愿意分享你们的研究结果？其他同学对他的想法有什么疑问吗？你们也是这样研究、表示的吗？展示其他不同图形的研究结果，贴到黑板上。引导学生思考，如果继续往下加，应该加在图中的哪一部分？根据学生回答板书：=1？≈1？3.集体推理同学们，大家虽然意见不一致，但是从图中都能看出来结果和1有关系，这就是图的优势，很直观。到底是等于1，还是约等于1，图能解决这个问题吗？这就是图的局限性，很多时候图不能精确地表示结果，当图解决不了的时候，我们可以借助数进行推理。既然和1有关，我们就从1开始想。课件依次出示下列算式。2.活动二：预设1：我把这个圆看作1，平均分成2份，取出12，涂色，再把空白部分平均分成2份，其中1份就是整个圆的14，再把空白的平均分成2份，其中1份就是整个圆的18，这样一直取下去，越来越接近1预设2：如果继续加，会在空白部分继续每次取12预设3：我认为每次都取空白部分的12，说明每次都会剩下空白部分的12，说明结果是接近1，但还不是3.活动三：集体推理根据教师的讲解，和课件的演示，理解把1逐次分解，每次都把最后一个分数平均分为2份相加。预设1：按照规律继续往下分，可以分无数次。预设2：1可以一直分下去，分无数次，反过来，把分的无数次的结果合起来，就是1。通过归纳总结，感受数与形的关系，以及数与形各自的特点。按照这个规律一直往下分会怎么样呢？我们是不是可以用省略号表示？1=12+14+18+116+1小结：可能有些同学对能够一直分下去的这个算式结果等于1，感到不容易接受，这个问题太难理解了。没关系，我们在初中的学习中还会进行研究。4.回顾总结今天我们进行研究的目的，是在追寻答案的过程中，体会数与形的关系。回顾整个过程，你有什么感觉？4.活动四：回顾总结预设1：我们用图形发现了结果和1有关，又用算式确定答案就是1。预设2：我发现图形对研究数有帮助，数可以让图更加精确。联系旧知，进一步体会数与形密不可分，贯穿整个学习过程。掌握利用图形解决问题的方法，体会其广泛的应用价值。三、辅导练习1.基础练习数与形联系密切，其实在我们以前的学习中，有很多地方都体现了这一点。因为有了图，数的表达更直观、清晰；因为有了数，图的大小更精确。课件出示下图。想一想，你还能举出类似的例子吗？2.变式练习小林、小强、小丽、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小丽下了2盘，小兵下了1盘，小刚一共下了几盘？分别和谁下的？三、解决问题1.基础练习学生回忆所学知识，举例数与形的联系。预设1：应用题中经常画线段图分析数量关系。预设2：有的角需要测量才能判断是锐角还是直角或者钝角。2.变式练习预设1：连线考虑不全，小兵的多连了一条。利用面积模型帮助理解完全平方公式，激发学习兴趣。读题后感觉信息很多，却无从下手。不妨用连线的方法试一试。投影展示，学生边画图，边讲解。小结：画图时结合题目中的数据进行推理，才能更快捷、准确地解决问题。3.综合练习你能利用右面的图发现（a+b）2=a2+2ab+b2这一公式吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。小结：结合图可以看出来，等式左边是把图形看作一个整体计算，右边是把每一部分的面积加起来求和。左右两边都是计算了整个图形的面积，所以它们是相等的。图形中还藏着数学计算公式，真是奇妙！预设2：先连小林，和每个人都下了1盘棋，这样小兵正好下了1盘棋，就不能再和其他人连线了。小强下了3盘棋，除了小兵，其他人都要连线，这样小丽已经有2条连线，符合下了2盘，不能再连线。所以从图上知道，小刚下了2盘，3.综合练习预设1：无法结合算式的意义进行理解。预设2：根据图中每一部分的数据进行面积计算，理解公式。大正方形的面积：（a+b）×（a+b）=（a+b）2。两个小正方形的面积+两个长方形的面积：a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2，分析可得（a+b）2=a2+2ab+b2。归纳总结，进一步体会数与形的关系。四、引导反思同学们，通过今天的学习，你对数与形又有哪些新的认识？小结：我国著名数学家华罗庚先生有句话：数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。希望大家在今后的学习中，学会数形结合！四、提升问题预设1：在解决问题时，可以画图辅助理解。预设2：数与形密切相关，我们在解决问题时，既要由图想数，又要由数画图。板书设计数与形（二）12+14+18+116+132评价测试一、我会填。(14分)1.一个数由3个1和5个162.在38,3.75%,0.37·5·,3.被减数是56,减数与差的比是3∶4,减数是(),差是()。4.甲数的12和乙数的34相等,若甲数是5.326.甲、乙两圆的周长比是2∶3,其中一个圆的面积是18cm2,另一个圆的面积可能是(),也可能是()。7.甲、乙两数的比是2∶5,甲数比乙数少()%,乙数比甲数多()%。二、我会选。(10分)1.一个数除以16A.缩小为原来的16 B.扩大为原来的6倍 C.增加6倍 D.缩小2.已知大圆半径是小圆半径的3倍,则大圆面积是小圆面积的()。A.3倍 B.6倍 C.9倍 D.12倍3.一个半圆,直径是d,它的周长是()。A.12πd B.πd+d C.12πd+d D.4.已知m的倒数是n,则5×(m×n)的结果是()。A.5 B.5m C.5n D.15.一根长为5m的绳子,剪去15后,又剪去15m,求还剩多少米的正确列式是(A.5-15−15 B.C.5×1-15−15三、我会判。(正确的画“✔”,错误的画“×”)(5分)1.小王加工99个零件,合格99个,这批零件的合格率为99%。()2.圆的面积一定比半圆的面积大。()3.某班男、女生人数的比是7∶8,则男生人数占全班人数的715。(4.在3∶5中,将比的前项加上15后,要使比值不变,后项应加上6。()5.把200g糖加入2kg水中,糖占糖水的111。(四、我会算。(27分)1.口算。(6分)25×40%=16+56= 179×7= 720÷67= 34÷82÷13×1= 1×13+1÷13−132.解方程。(4分)34x+12×34=3.化简比并求比值。(3分)15∶9014∶0.456千米∶3004.脱式计算。(能简算的要简算)(8分)89×8976-67×42 75.列式计算。(6分)(1)甲数的23相当于乙数的15%,乙数是20(2)比一个数的80%大6的数是665五、我会画,我能算。(16分)1.如图,刘大爷想借自家的院墙用篱笆围一个半圆形的菜园。(7分)(1)这个菜园的面积最大是多少?请你在图中画出来,并算一算。(4分)(2)篱笆长多少米?(3分)2.下面是实验小学六年级(6)班学生上网情况的调查结果:(9分)上网查资料:45%上网玩游戏:20%上网聊天:35%(1)请用扇形统计图表示上面的调查结果。(4分)(2)若上网玩游戏的有8人,则全班共有多少人?上网查资料比聊天的多多少人?(5分)六、我会解答。(28分)1.这件衣服的价格比原来降低了百分之几?(4分)2.右面是李伟家附近部分街道平面图。请你根据图示说一说李伟从家到大港小学行走的方向和路程。(5分)3.小军读一本故事书,