2025-2026学年内蒙古呼和浩特市铁路局呼和浩特职工子弟一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年内蒙古呼和浩特市铁路局呼和浩特职工子弟一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=3−5i1−i，则下列说法正确的是(

)A.z的虚部为1 B.z的共轭复数为4−i

C.|z|=5 D.z在复平面内对应的点在第四象限2.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是(

)

A.6 B.32 C.12 3.在△ABC中，A=30°，AB=2，且△ABC的面积为3，则△ABC外接圆的半径为(

)A.233 B.4334.下列命题正确的是(

)A.复数的模是正实数

B.虚轴上的点与纯虚数一一对应

C.实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数

D.相等的向量对应着相等的复数5.在△ABC中，B=60°，b2=ac，则cosA=(

)A.0 B.12 C.226.将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为(

)A.1：1 B.2：1 C.3：1 D.4：17.已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠A=60°，b=43，若此三角形有且只有一个，则a的取值范围是(

)A.0<a<43 B.a=6

C.a≥43或

8.如图，点P在正方体ABCD−A1B1C1A.DP//平面AB1D1

B.平面A1CP⊥平面PBD

C.三棱锥二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，BC=3，A=π3，△ABC的面积为23A.△ABC外接圆的面积为3π B.sinBsinC=23

C.△ABC是等边三角形 D.△ABC10.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l//α，m⊥β，则下列命题中正确的是(

)A.若α//β，则m⊥α B.若α//β，则l⊥m

C.若l⊥m，则l//β D.若m//α，则α⊥β11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下命题中正确的是(

)A.若a=9，b=10，A=π3，则符合条件的三角形有两个

B.若a2tanA=b2tanB，则△ABC为等腰或直角三角形

C.若S△ABC=b2sinB，则cosB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足(1+i)⋅z=1−i2025，其中i为虚数单位，则z的虚部为

13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π3，a=3，sinC=2sinB，∠A的平分线交BC于点D，则线段AD的长度为

．14.已知三棱锥S−ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，三棱锥S−ABC的体积为3，则三棱锥S−ABC的外接球半径等于

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设实部为正数的复数z，满足|z|=5，且复数(1+3i)z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上．

(I)求复数z；

(II)若复数z+m16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(a+c)(sinA−sinC)=(3a−b)sinB．

(1)求角C的值；

(2)若sinAsinB=3417.(本小题15分)

如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1．

(1)将△ABC绕直线BC旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积；

(2)如图所示，在三角形内挖去半圆(圆心O在边BC上，半圆与BC相交于N，与AB相切于点M)，图中阴影部分绕直线BC旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积．

18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA(cos2A+2)=cosA(sin2A−3)+3．

(1)求A；

(2)若b=3，c=8，∠A的平分线交BC于点D，求线段AD的长；

(3)若△ABC是锐角三角形，且b=119.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，AD=23，点E在线段PD上，且PE=1．

(1)设平面PBC∩平面PAD=m，证明：BC//m；

(2)证明：AE⊥平面PCD；

(3)线段CA上是否存在点M，使得EM//平面PBC？若存在，请证明，并求出AM的长；若不存在，请说明理由．

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】−1

13.【答案】2

14.【答案】311815.【答案】解：(I)设z=a+bi(a,b∈R且a>0)，

由|z|=5，得a2+b2=5，

又复数(1+3i)z=(a−3b)+(3a+b)i在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上．

则a−3b=3a+b，即a=−2b，

又a>0，∴a=2，b=−1，则z=2−i；

(II)∵z+16.【答案】解：(1)∵(a+c)(sinA−sinC)=(3a−b)sinB，

∴由正弦定理可得：(a+c)(a−c)=(3a−b)b，整理可得：a2+b2−c2=3ab，

∴cosC=a2+b2−c22ab=3ab17.【答案】(1)3π

(2)518.【答案】A=π3；

AD=2431119.【答案】证明：因为四边形ABCD为矩形，

所以BC/​/AD，

由AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，

得BC/​/平面PAD．

又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=m，

所以BC//m

证明：因为PA⊥平面ABCD，

又CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA．

又底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD．

PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，

所以CD⊥平面PAD．

又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE．

在Rt△PAD中，PA=2，AD=23，

所以PD=PA2+AD2=22+(23)2=4，

cos∠APE=PAPD=12，

在△APE中，由余弦定理可得AE2=AP2+PE2−2AP⋅PE⋅cos∠APE

=22+1−2×2×1×12，

所以AE=3，

因为PA2=PE2+AE2，所以AE⊥PD．

因为AE⊥CD，AE⊥PD，CD，PD⊂平面P