2025-2026学年宁夏银川一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年宁夏银川一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量AB=(1,a,−2)，AC=(−3,6,6)，若A，B，C三点共线，则a=(

)A.−2 B.2 C.±2 D.−2.已知复数z=2+i3，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为(

)A.9 B.10 C.11 D.124.已知α，β表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，(

)A.若b//a，a⊂α，则b//α

B.若a⊂α，b⊂α，c⊥a，c⊥b，则c⊥α

C.若a⊂α，b⊂α，a//β，b//β，则α//β

D.若a⊥α，a//b，则b⊥α5.一组样本数据x1，x2，x3，…，x8的平均数为x−，标准差为2.另一组样本数据x1，x2，x3，…，x8，A.x−=y−，s<2 B.x−=y−，s>2 C.6.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为12，23，34且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为A.14 B.724 C.1124 7.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b2+c2A.(−1,1) B.(−1,1] C.(−3,1)8.图①是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线l顺时针旋转45°，得图②，若△BEF为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为(

)A.(8+22)π B.(8+42)π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A，B是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是(

)A.如果P(A)+P(B)=1，那么A与B相互对立

B.若A，B是互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)

C.从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件

D.已知事件A，B发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=15且P(AB)=110.关于空间向量，以下说法正确的是(

)A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.若两个非零向量a,b的夹角〈a,b〉是钝角，则a⋅b<0

C.已知AB=(−1,12,0)11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，E、F、G分别为棱AD，AB，A.B1D1//平面EFG

B.若P为线段B1D1上一点，则三棱锥F−EGP的体积为定值

C.若AP=2，则点P的轨迹长度为π

D.过三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.某个班共有54名学生，其中男女生人数比为5：4，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学

人.13.在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，∠BAA1=30°，14.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别为线段PC，PB上一点，若PM：MC=4：1，且AN//平面BDM，则PN：NB=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活.相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善.为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]分段，并得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；

(2)若分数在区间[60,70)的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．16.(本小题15分)

在△ABC中，BC=32，∠BAC=π3．

(1)若AC=23，求sinC；

(2)若D为边BC上的点且AD平分∠BAC，17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形.∠ABC=∠BCD=∠ADP=90°，且AB=PB=2，PA=22，BC=CD=1，E为PA中点．

(1)证明：PB⊥平面ABCD；

(2)在线段PD上是否存在一点M，使得平面MAB与平面ABCD夹角的余弦值为5518.(本小题17分)

某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为12，乙队每位球员罚进点球的概率均为23.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．

(1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；

(2)求经过3轮罚球后，比赛结束的概率；

(3)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以2：0领先，求甲队第19.(本小题17分)

如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P−BCED．

(1)设平面PDE∩平面PBC=l，证明：l//平面BCED；

(2)当PB⊥PC时，求平面PDE与平面PDB夹角的余弦值；

(3)若点P在平面BCED的射影在四边形BCED的内部，四棱锥P−BCED的体积V∈(332,22)，设点Q在线段BC上运动(不含端点)，记直线PQ与平面PDE所成的角为φ，四棱锥1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】BD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】10

13.【答案】314.【答案】3：1

15.【答案】解：(1)由题意，5×(0.010+0.020+a+0.060+0.050+0.020)=1，

解得a=0.040，

由0.010×5+0.020×5+0.040×5=0.35，0.35+0.060×5=0.65，可得此次问卷调查分数的中位数在[75,80)上，

设中位数为x，则0.35+0.06(x−75)=0.5，

解得x=77.5，

所以此次问卷调查分数的中位数为77.5；

(2)[60,65)的市民人数为0.010×5×40=2人，

[65,70)的市民人数为0.020×5×40=4人，

则抽出的两位市民来自不同打分区间的概率为P=C216.【答案】解：(1)法1:在△ABC中，

∵BC=32，∠BAC=π3，AC=23，

∴(32)2=c2+(23)2−2⋅23⋅c⋅cosπ3，

∴c2−23c−6=0，

∴c=3±3，又c>0，

∴c=3+3，

∵csinC=32sinπ3，

∴sinC=2+64．

法2:在△ABC中，

∵BC=32，∠BAC=π17.【答案】证明：记AB中点为G，连接BD，DG，

则四边形BCDG为正方形，且根据勾股定理得BD=AD=2，

所以BD2+AD2=4=AB2，则∠ADB=90°，所以AD⊥BD．

又AD⊥PD，BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PBD，

所以AD⊥平面PBD．

因为PB⊂平面PBD，所以AD⊥PB，

易知PB2+AB2=8=PA2，所以PB⊥AB，

又因为18.【答案】甲、