湖南省衡阳市衡阳县部分校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试卷（含解析）

湖南衡阳市衡阳县部分校2025-2026学年高一下学期7月期末校内检测数学试题一、单选题1．函数（）的最小正周期为，则（

）A． B．1 C．2 D．42．已知是虚数单位，若复数满足，则（

）A． B． C． D．3．已知，，且，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．84．当蛋白质分子量达到一定量级时，其分子量与迁移率之间满足，其中为常数.若，则当分子量变为原来的2倍时，现迁移率与原迁移率的差值为（

）A． B． C． D．25．已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，c为斜边，向量.若⊥，则∠B=（

）A． B． C． D．6．某不透明盒子中共有6个大小、质地完全相同的小球，其中有4个红球2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A=“至少摸到一个红球”;B=“至多摸到一个黑球”;C=“摸到2个红球”;D=“摸到2个黑球”，则下列说法正确的是（

）A．A与B是互斥事件 B．B与C是对立事件C．C与D是互斥但不是对立事件 D．A与D是互斥但不是对立事件7．如图，在中，，，点O为AB的中点，以PO为折痕把折叠，使点B达到点的位置，且，则三棱锥的外接球的表面积是A． B． C． D．8．已知单位向量、满足：，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，，下列结论正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若(其中i是虚数单位)是关于x的方程的一个根，则10．设函数的定义域为，，，使得成立，则称为“美丽函数”，下列所给出的函数为“美丽函数”的是（

）A． B． C． D．11．已知圆台下底面圆心为点A，半径为2，上底面圆心为点B，半径为1.点C为圆B上一动点，点D为圆A上一动点，二面角的大小为，下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则AB与CD所成角为D．若，则四面体ABCD的体积为三、填空题12．已知向量，且//，则m的值为_______.13．设、是一个试验中的两个事件，且，，，则______.14．在等腰三角形中，，，CD为AB边上的中线，且，则____.四、解答题15．某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员，根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50)，[50，60)，．．．．，[90，100．)（1）求频率分布直方图中的值；（2）若采用分层抽样的方式从评分在[40，60)，[60，80)，[80，100]的公司职员中抽取10人，则评分在[60，80)内的职员应抽取多少人？（3）该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行内部整顿、用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均分，并据此回答餐厅是否需要进行内部整顿．16．如图，六面体中，四边形为菱形，且平面平面.(1)求证：平面；(2)在上确定一点M，使得平面；(3)若，求点B到平面的距离.17．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2，b=1，M和N是边BC上的点.AN为∠BAC的角平分线，点M满足S△AMB=S△AMC.(1)若，求;(2)当∠BAM最大时，求此时△AMN的面积.18．已知函数(1)若关于x的方程有3个不同的零点，求a的取值范围；(2)，定义集合，求D().19．已知圆柱的底面半径为1，高为，面是圆柱的一个轴截面.一动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示.将轴截面绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点.(1)当时，证明：平面⊥平面；(2)当时，求与圆柱下底面所成角的正切值；(3)是否存在，使得二面角的大小为?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.

参考答案1．A【详解】因为（）的最小正周期为，所以的最小正周期，解得.故选：A.2．B【详解】，故.故选：B.3．D【详解】因为，当且仅当，即时取等号，所以，故选：D.4．A【详解】由题意得，原迁移率，现迁移率，可得.5．C【详解】∵∴，∵是三角形内角，∴，，由题知，∴．6．C【详解】对于A．“至少摸到一个红球”与“至多摸到一个黑球”可以同时发生，所以A与B不是互斥事件，故A错误；对于B，“至多摸到一个黑球”包含一红一黑、两红；与“摸到2个红球”可以同时发生，所以B与C不互斥，也不是对立事件，故B错误；对于C，C与D不可能同时发生，可以同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故C正确；对于D，A与D是对立事件，故D错误．7．A【详解】由题意可得：，且，以为邻边构造棱长为2的正方体，三棱锥与该正方体共外接球因此外接球的半径为，表面积.8．A【详解】根据题意，设单位向量，，，则，，由可得，即到和的距离和为，而，故点表示线段上的动点，因为，所以表示点与线段上的点的距离，如下图所示：当点与点重合时，，当点与点重合时，，因为，故；当时，取最小值，由等面积法可得，所以，即，综上所述，的取值范围是.9．BD【详解】对于A，取，，满足，而，，，故A错误；对于B，设，，a，b，c，，由，得，则，，因此，即，故B正确；对于C，取，满足，但不满足，故C错误；对于D，是关于x的方程的一个根，则，即，所以，解得，D正确．10．BCD【详解】对于A选项，设，该函数的定义域为，，即，这样的实数t不存在，故函数不是“美丽函数”；对于B选项，设，该函数的定义域为，对任意的，若存在，即，可得，可得，符合题意，故函数为“美丽函数”；对于C选项，令，由得，即函数的定义域为，对任意的，若存在，使得，即，所以，整理可得，符合题意，故函数为“美丽函数”；对于D选项，设，则该函数的定义域为，对任意的，不妨取，则，符合题意，故函数为“美丽函数”.11．ABC【详解】由题意可得：，因为，设，所以，因为，，所以，因为，所以，可得：，因为余弦函数在上单调递减，，因此，故A正确；对于B，因为，过作交圆于点，连接，所以，因为，所以是二面角所成平面角，所以，则在中，由余弦定理可得：，则，因为，所以，所以，故B正确；对于C，当时，即，，因为，则AB与CD所成角的余弦值为：，因此AB与CD所成角为，故C正确.对于D，因为，平面，平面，所以平面，所以到平面的距离可看成到平面的距离，设为，所以，，，即，解得：，所以四面体ABCD的体积为：故D错误.12．【详解】，由得，解得.13．【详解】因为，，且与互斥，所以.14．【详解】设，则，因为，，所以，在中，由正弦定理，即，所以，所以,因为，所以，，则，或（舍），所以.15．（1）；（2）5人；（3），不需要.【详解】解：（1）由，解得．（2）由频率分布直方图可知，评分在，，内的师生人数之比为，所以评分在内的师生应抽取（人）．（3）由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分的估计值为：．因为，所以食堂不需要内部整顿．16．(1)由四边形ABCD为菱形，则，由平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD，则平面ACE，

由平面ACE，则，由，，则，由，AD，平面ABCD，则平面ABCD．(2)M为DA的中点(3)【详解】（1）略（2）取的中点为，取的中点为，连接由分别为的中点，则，且平面，平面,所以平面,再由，且，则，故四边形为平行四边形，即，且平面，平面，故平面，且平面，所以平面平面，平面，所以平面；（3）取的中点为，连接，由（1）知平面，且平面，则平面平面，由且为的中点得，因为平面平面，平面，所以平面，由得，，为正三角形，设点B到平面EFC的距离为，则，所以，;17．(1)；(2)【详解】（1）设，，则，由，

化简得，则；（2），

显然为正，依据基本不等式可知，当时，有的最大值为，，．由，解得．18．(1)(2)【详解】（1）设，则，令，要使关于x的方程有3个不同的零点，即方程有个根，由的图象可得：，，当，，则，即，解得：，当，，则，即，无解.当时，方程的根为，对应个，满足题意；当时，方程的根为，对应个，不满足题意；故a的取值范围为.（2）因为，不等式化为，令，则或，解得：或，由函数的图象，有或，解得：．19．(1)当时，有，在圆柱中，平面，平面，则有，

又，，、平面，

所以平面，

又因为平面APB，所以平面平面；

(2)；(3)由于二