平行四边形复习

第十八章平行四边形复习课第1页本章学习了哪些特殊四边形？是按照什么次序学习这些四边形？请说说这些四边形之间关系．创设情境回顾知识一个角是直角一组邻边相等平行四边形矩形菱形一组邻边相等一个角是直角正方形第2页本章学习了哪些特殊四边形？是按照什么次序学习这些四边形？请说说这些四边形之间关系．创设情境回顾知识矩形菱形

正方形平行四边形第3页整理知识优化知识结构你能把本章知识整理成知识结构图吗？试一试！

你能说一下平行四边形、矩形、菱形和正方形性质和判定吗？

第4页三个角是直角四条边都相等一个角是直角对角线相等一组邻边相等对角线相互垂直两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等两组对角分别相等对角线相互平分四边形

平行四边形

矩形

菱形

正方形正方形一组邻边相等对角线相互垂直对角线相等一个角是直角一组邻边相等一个角是直角本章知识结构图第5页知识概要（平行四边形）性质判定边①对边分别平行两组②两组对边分别相等①两组对边分别平行四边形是平行四边形，②两组对边分别相等四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等四边形是平行四边形角①对角相等，②邻角互补。有两组对角分别相等四边形是平行四边形对角线两条对角线相互平分两条对角线相互平分四边形是平行四边形第6页知识概要性质判定边①两组对边分别平行②两组对边分别相等有一个角是直角平行四边形是矩形角矩形四个角都是直角有三个角是直角四边形是矩形对角线矩形两条对角线相等对角线相等平行四边形是矩形推论直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一假如一个三角形一边上中线等于这边二分之一,那么这个三角形是直角三角形(矩形)第7页知识概要性质判定边菱形四条边都相等.①一组邻边相等平行四边形是菱形.②四条边都相等四边形是菱形.角①对角相等.②邻角互补.对角线菱形两条对角线相互垂直；而且每条对角线平分一组对角.对角线相互垂直平行四边形是菱形.(菱形)第8页性质判定边正方形四条边都相等.有一组邻边相等矩形是正方形.角正方形四个角都是直角有一个角是直角菱形是正方形.对角线正方形两条对角线相等.而且相互垂直平分.每条对角线平分一组对角.①对角线相等菱形是正方形.②对角线相互垂直矩形是正方形.(正方形)知识概要第9页题型分析1.平行四边形判定、性质及其应用例题1.如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CF，DE分别为∠DAB,∠ABC,∠BCD，∠CDA平分线，试猜测（1）EF与AB位置关系；（2）EF与AB和AD数量关系，并说明你结论.FCEDBA第10页∴EF∥AB（1）EF∥AB，理由：延长DE交AB于G，

延长BF交CD于H，∵DE是∠CDA平分线，BF是∠ABC平分线，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，∴∠ABF=∠CDE，∵AB∥CD，∴∠CDE=∠AGD，∴∠AGD=∠ABH，∴DG∥BH，∴AE⊥DG，∴E是DG中点，同理F是BH中点，∵AE、DE分别为∠DAB、∠CDA

平分线，∠CDA+∠DAB=180°，FCEDBAGH∴∠ABF=∠ABC，

∠CDG=∠ADC，

∴四边形BHDG是平行四边形∴DG=HB,DG∥BH∵∠CDE=∠AGD，∠CDE=∠ADG∴∠AGD=∠AGD，∴AD=AG∴EG=BF,EG∥BF∴四边形BFEG是平行四边形第11页FCEDBAGH（2）EF=AB-AD，由（1）可知EF=GB，AG=AD∵GB=AB-AG∴EF=AB-AD第12页C2.矩形判定、性质及其应用例题1.

如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为（）(A)4

(B)6 (C)8

(D)10第13页例题2.已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC垂直平分线EF

分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF长；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和

△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停顿，点Q自

C→D→E→C停顿．在运动过程中，

①已知点P速度为每秒5cm，点Q速度为每秒4cm，运动时

间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点四边形是平行四边形

时，求t值．

②若点P、Q运动旅程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），

已知A、C、P、Q四点为顶点四边形是平行四边形，求a与

b满足数量关系式．FCEDBAOFCEDBAPQ图1图2备用图FCEDBAPQ第14页解：（1）证实：①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形边长AF=CF=xcm，则BF=(8﹣x)cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，

由勾股定理得42+(8-x)2=x2，

解得x=5，

∴AF=5cm．FCEDBAO图1第15页（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能组成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能组成平行四边形．所以只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能组成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P速度为每秒5cm，点Q速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12﹣4t，∴5t=12﹣4t，解得

，

∴以A、C、P、Q四点为顶点四边形是平行四边形时，

秒．

FCEDBAPQ图2第16页②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点四边形是平行四边形时，点P、Q在相互平行对应边上．

分三种情况：

i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；

ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；

iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．

总而言之，a与b满足数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

FCEDBAPQFCEDBAPQFCEDBAPQ图1图2图3第17页

例1.将一张矩形纸对折再对折，然后沿着图中虚线剪下，打开，你会发觉这是一个菱形.你能解释其中道理吗？3.菱形判定、性质及其应用CDBA第18页若展开后菱形纸片ABCD中，两条对角线AC=，BD=4.（1）求菱形ABCD面积；（3）求∠ADC度数.

（2）求菱形ABCD周长；

CDBAO第19页假如想得到一个正方形，该怎么剪？并解释你这么做道理。想一想CDBAO第20页1CBAFE

例题2.如图，是利用四边形不稳定性制作菱形晾衣架.

已知其中每个菱形边长为20cm，在墙上悬挂晾衣

架两个铁钉A,B之间距离为cm,则∠1=

.第21页例题3.如图△ABC三边为BC同侧作等边△ABD,

△BCE,△ACF,请回答以下问题:（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF为矩形？菱形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A,D,E,F为顶点

四边形不存在?EFCBAD第22页解：（1）四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD=BD=AB，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．∴∠DBE=∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE=AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF．同理可证：AD=EF，∴四边形ADEF平行四边形例题3.如图△ABC三边为BC同侧作等边△ABD,

△BCE,△ACF,请回答以下问题:（1）四边形ADEF是什么四边形？EFCBAD第23页EFCBAD例题3.如图△ABC三边为BC同侧作等边△ABD,

△BCE,△ACF,请回答以下问题:（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF为矩形？菱形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A,D,E,F为顶点

四边形不存在?（2）当∠BAC=150°时，

四边形ADEF是矩形∵四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点四边形不存在．第24页4.如图，矩形ABCD面积为20cm²，对角线交于点O.以AB，AO为邻边作平行四边形AOC₁B，它对角线交于点O₁;以AB，AO₁为邻边作平行四边形AO₁C₂B……依次类推，则平行四边形AO₄C₅B面积为（）cm².A.

B.

C.

D.

第25页4.正方形判定、性质及其应用例题1.如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度.ABPQMDCN30第26页例题3.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置三个正方形面积分别是1,2,3，正放置四个正方形面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=

.4第27页经过观察每连续翻转4次为一循环，点P移动4个单位；点P第一次向右移动2个单位，第二次移动1个单位，第三次移动0个单位，第四次移动1个单位.次不是完整循环，而前面完整循环共翻转了次所以平移了个单位，最终一次翻转为一循环中第一次所以移动2个单位.综上一共平移了个单位，但P点一开始时候横坐标为-1所以此时为-1=.例题4.如图，将边长为1正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4…P

…位置，则P横坐标x=__________,

x=

,

x=

,x=

．第28页例题5.正方形ABCD中，点O是对角线AC中点，P是对角线AC上一

动点，过点P作PF⊥CD于点F.如图甲，当点P与点O重合时，

显然有DF＝CF．（1）如图乙，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB

且PE交CD于点E.

①求证：DF＝EF；

②写出线段PC、PA、CE之间一个等量关系，并证实你结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图丙并判断⑴中结论①、②是否分别成

立？若不成立，写出对应结论（所写结论均无须证实）OFCBAD(P).OFCBADPE.OFCBADP.图甲图乙图丙第29页解：（1）①连接PD，

∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，CB=CD，∵PC=PC∴△BCP≌△DCP

∴∠PBC=∠PDC，PB=PD

∵PB⊥PE，∠BCD=90°，

∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°

∴∠PBC=180°-∠PEC而∠PED=180°-∠PEC∴∠PED=∠PBC=∠PDC，

∴PD=PE，

∵PF⊥CD，

∴DF=EF.ODCBA.PFE第30页ODCBA.PFE证实：作PG⊥AD于GG∵∠D=∠PFD=∠PGD=90°②线段PC、PA、CE之间等

量关系是：PC-PA=CE

在Rt△AGP中∵AG=PG∴PG=AP同理：CF=PC∴四边形PGDF是矩形∴PG=DF∵CF-EF=CE∴PC-PA=CE

第31页（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段数量关系是PA-PC=CE.

OFCBADP.E第32页6.探究问题：（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF。感悟解题方法，并完成以下填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，所以，点G，B，F在同一条直线上，∵∠EAF=45°，∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-4