2026年秋季学期新版新人教版七年级数学上册第三章一元一次方程导学案

各位同学，当我们在生活中遇到诸如“买多少件商品才能享受优惠”、“两车何时相遇”这样的问题时，仅仅依靠算术方法有时会显得绕弯子。而方程，就像一座桥梁，能帮我们更直接、更清晰地找到答案。这一章，我们就来学习一种最基础也最重要的方程——一元一次方程。通过它，你将初步体会代数方法的优越性，为后续更复杂的数学学习打下坚实的基础。3.1从算式到方程学习目标*初步认识方程及其相关概念，感受方程是刻画现实世界的有效模型。*理解一元一次方程的概念，能识别一元一次方程。*能根据简单的实际问题列出方程。课前预习在小学阶段，我们已经接触过用字母表示数，也尝试过用“设未知数”的方法解决一些问题。请回忆一下，你当时是如何用字母表示未知量，并根据数量关系列出式子的？带着这个印象，阅读教材中关于“方程”的引入部分。课堂探究探究一：方程的概念我们来看一个问题：一辆客车和一辆货车同时从相距若干千米的两地出发，相向而行。客车每小时行60千米，货车每小时行50千米，经过3小时相遇。两地之间的距离是多少？如果我们用算术方法，可能会这样想：两车每小时一共行驶（60+50）千米，3小时相遇，所以距离是（60+50）×3。这是我们熟悉的思路。但如果我们换个角度，设两地之间的距离为x千米。那么，客车行驶的路程是60×3千米，货车行驶的路程是50×3千米。由于它们是相向而行后相遇，所以客车行驶的路程加上货车行驶的路程就等于两地的总距离。由此，我们可以得到一个含有未知数x的等式：60×3+50×3=x像这样，含有未知数的等式叫做方程。在这个方程中，x是我们要寻找的未知量，等式左边表示的是两车一共行驶的路程，右边是两地的距离，它们在数量上是相等的。探究二：一元一次方程的概念观察下面的一些方程，它们有什么共同特点？又有什么不同点？1.x+5=82.2x-3=73.x/2+1=54.x²-4=05.x+y=9不难发现，方程1、2、3中，都只含有一个未知数（x），并且未知数的次数都是1（也就是说，未知数没有平方、立方等形式，也没有在分母中出现）。像这样的方程，我们称之为一元一次方程。而方程4中未知数的次数是2，方程5中含有两个未知数，它们都不是一元一次方程。判断一个方程是否为一元一次方程，需要满足三个条件：1.只含有一个未知数；2.未知数的次数是1；3.等号两边都是整式（即分母中不含未知数）。探究三：根据实际问题列方程列方程的关键在于找到问题中的等量关系。一般步骤可以概括为：1.审清题意，找出题目中的已知量和未知量；2.设出适当的未知数（通常用x、y、z等字母表示）；3.分析题目中的数量关系，找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；4.根据这个等量关系，列出方程。例如：某校七年级共有学生若干人，其中男生占总人数的55%，女生有180人。求七年级的总人数。分析：已知女生人数，男生占比，未知的是总人数。设七年级总人数为x人。等量关系：总人数-男生人数=女生人数，或者女生人数占总人数的百分比×总人数=女生人数。若用后者，男生占55%，则女生占（1-55%）=45%。所以可列方程：45%x=180或0.45x=180。典型例题例1：判断下列各式是不是方程，如果是，指出它是否为一元一次方程。(1)3+5=8(2)3x-6(3)2x-5=7(4)x/3+2=x-1(5)x²+3x=1解：(1)不是方程，因为它不含未知数。(2)不是方程，因为它不是等式。(3)是方程，且是一元一次方程（只含一个未知数x，次数是1）。(4)是方程，且是一元一次方程（化简后仍为一元一次）。(5)是方程，但不是一元一次方程，因为未知数的次数是2。例2：根据下列问题，设未知数并列出方程。环形跑道一周长400米，沿跑道跑多少圈，可以跑2000米？解：设沿跑道跑x圈。根据“每圈长度×圈数=总长度”这一等量关系，可列方程：400x=2000随堂练习1.下列方程中，是一元一次方程的是（）A.x+y=5B.x²-5=0C.2x-3=0D.x/2+1=3/x2.设某数为x，根据下列条件列出方程：(1)某数的3倍与5的和等于20。(2)某数的一半比这个数小6。3.甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分。甲队胜了多少场？（设未知数，列出方程即可）课堂小结*本节课我们学习了方程和一元一次方程的概念。方程是含有未知数的等式，一元一次方程则是只含一个未知数且未知数次数为1的整式方程。*列方程解决实际问题的关键在于找到题目中的等量关系，并能用含未知数的式子表示出相关的量。课后作业1.教材对应练习题。2.自编一道可以用一元一次方程解决的生活中的问题，并尝试列出方程（不要求求解）。---3.2等式的性质学习目标*理解并掌握等式的两个基本性质。*能运用等式的性质对方程进行简单变形，为解方程奠定基础。课前预习我们知道，方程是含有未知数的等式。要想求出方程中的未知数，就需要对等式进行变形。那么，等式在什么情况下变形后仍然保持相等呢？请带着这个问题阅读教材中关于等式性质的内容。课堂探究探究：等式的性质我们可以把等式看作是一个平衡的天平，等号两边的式子分别代表天平两边的物体，它们的重量相等，天平才会平衡。性质1：若天平两边同时加上（或减去）相同重量的物体，天平仍然平衡。类比到等式：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。用字母表示：如果a=b，那么a±c=b±c。思考：如果天平两边同时加上（或减去）不同的物体，天平还会平衡吗？等式两边如果加（或减）的不是同一个数（或式子），等式还成立吗？性质2：若天平两边的物体重量同时扩大到原来的相同倍数（或缩小到原来的几分之一），天平仍然平衡。类比到等式：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。用字母表示：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。特别注意：在运用性质2进行除法变形时，除数一定不能为0！因为0不能作除数。例如：由x+3=5，利用性质1，两边同时减3，得x+3-3=5-3，即x=2。由2x=6，利用性质2，两边同时除以2，得(2x)/2=6/2，即x=3。由x/4=3，利用性质2，两边同时乘4，得x=12。等式性质的应用：利用等式的性质，我们可以把一个等式变形为我们需要的形式。例如，把方程中的某些项从一边移到另一边，或者把未知数的系数化为1。思考：如何利用等式的性质，把方程3x-4=5变形为x=a的形式？步骤：1.两边同时加4：3x-4+4=5+4→3x=9（利用性质1）2.两边同时除以3：3x/3=9/3→x=3（利用性质2）典型例题例1：利用等式的性质解下列方程：(1)x-5=7(2)4x=3x-4(3)-2x=6(4)x/3-1=2解：(1)两边加5，得x-5+5=7+5，于是x=12。(2)两边减3x，得4x-3x=3x-4-3x，于是x=-4。(3)两边除以-2，得(-2x)/(-2)=6/(-2)，于是x=-3。(4)两边加1，得x/3-1+1=2+1，即x/3=3。两边乘3，得x=9。随堂练习1.填空：(1)如果x-3=6，那么x=6+()，根据是等式性质()。(2)如果3x=2x+5，那么3x-()=5，根据是等式性质()。(3)如果-2x=-6，那么x=()，根据是等式性质()，此时除数不能为()。2.利用等式的性质解下列方程，并检验：(1)x+7=15(2)-5x=30(3)2x-5=1(4)x/4+2=6课堂小结*本节课学习了等式的两个基本性质，它们是我们解方程的依据。*性质1关注“加减”，性质2关注“乘除”（除数不为0）。*在运用性质时，要注意等式两边“同时”进行相同的运算。课后作业1.教材对应练习题。2.小明认为：等式a=b成立，则a/c=b/c也一定成立。你同意他的观点吗？为什么？---3.3解一元一次方程（一）——合并同类项与移项学习目标*学会运用合并同类项的方法解简单的一元一次方程。*理解移项的概念，掌握移项的法则，并能运用移项法解一元一次方程。*进一步体会解方程的目标是将方程转化为“x=a”的形式。课前预习回顾上节课学习的等式性质，思考如何利用等式性质将方程2x+3x=15转化为x=a的形式？这种变形的依据是什么？课堂探究探究一：合并同类项解一元一次方程观察方程：3x+2x-5x=12-6左边都是含x的项，右边是常数项。我们可以先把左边的同类项合并。左边：3x+2x-5x=(3+2-5)x=0x=0右边：12-6=6方程变为：0x=6。显然，这个方程无解，因为0乘以任何数都不可能等于6。再看一个方程：x+2x+4x=140左边合并同类项：(1+2+4)x=7x方程变为：7x=140然后根据等式性质2，两边同时除以7：x=20。归纳：当方程的一边或两边含有多个同类项时，可以先利用合并同类项化简方程，使其变得更简单，再求解。例如：解方程5x-2x=9合并同类项，得3x=9系数化为1（两边除以3），得x=3。探究二：移项我们来看方程：4x+5=2x+11如何将它转化为我们熟悉的“ax=b”的形式呢？根据等式性质1，两边同时减去2x，得：4x+5-2x=11再两边同时减去5，得：4x-2x=11-5左边合并同类项：2x=6系数化为1：x=3。观察上面的变形过程，从“4x+5=2x+11”到“4x-2x=11-5”，相当于把方程右边的“2x”改变符号后移到了左边，把方程左边的“+5”改变符号后移到了右边。这种把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。移项的依据是等式的性质1。通过移项，可以把含有未知数的项移到等号的一边，常数项移到等号的另一边，使方程更易于合并同类项和求解。注意：移项一定要变号！没有移动的项，符号不变。例如：解方程3x-7=5x+3移项（把5x移到左边，-7移到右边）：3x-5x=3+7合并同类项：-2x=10系数化为1：x=-5。解一元一次方程（合并同类项与移项）的一般步骤：1.移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边（记住移项要变号）。2.合并同类项：将方程化为ax=b(a≠0)的形式。3.系数化为1：两边同时除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。典型例题例1：解下列方程：(1)7x-2x-5x=8-6(2)6x-7=4x-5(3)2x+3=5x-6解：(1)合并同类项，得(7-2-5)x=2，即0x=2。此方程无解。(2)移项，得6x-4x=-5+7合并同类项，得2x=2系数化为1，得x=1。(3)移项，得3+6=5x-2x（或2x-5x=-6-3）合并同类项，得9=3x（或-3x=-9）系数化为1，得x=3。例2：某校三年共购买计算机若干台，去年购买数量