小升初数学衔接 第8讲 有理数的乘法（真题拔高检测卷）（教师版）（北师大版）

北师大小升初数学暑期衔接真题汇编拔高检测卷第8讲有理数的乘法考试时间：90分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•越秀区校级二模）﹣3的倒数是（）A．﹣3 B．3 C． D．【思路点拨】根据倒数的定义求解即可．【规范解答】解：由题意知，﹣3的倒数是，故选：C．【考点评析】本题考查了倒数的定义．解题的关键在于熟练掌握：乘积是1的两个数互为倒数．2．（2分）（2022秋•雄县校级期末）已知a与4互为相反数，则a的倒数是（）A．4 B．﹣4 C． D．【思路点拨】根据相反数的含义先求解a，再求解a的倒数即可．【规范解答】解：∵a与4互为相反数，∴a＝﹣4，∴a的倒数是．故选：D．【考点评析】本题考查了相反数，倒数的含义，掌握相反数，倒数的含义是解本题的关键．3．（2分）（2022秋•天山区校级期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：①|a|＞3；②ab＜0；③b+c＞0；④b﹣a＞0．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．③④【思路点拨】根据图示，可得：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，据此逐项判断即可．【规范解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，∴|a|＜3，∴选项①不符合题意；∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴选项②不合题意；∵﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，∴b+c＞0，∴选项③符合题意；∵b＞a，∴b﹣a＞0，∴选项④符合题意；∴正确结论有3个：③④．故选：D．【考点评析】本题考查了有理数减法、乘法的运算方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，掌握相关定义是关键．4．（2分）（2022秋•梁山县期末）下面各组数中互为倒数的是（）A．3.1和1.3 B．0.5和2 C．0.25和0.52 D．和【思路点拨】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，判断两个数是不是互为倒数，就是看这两个数的乘积是不是1，据此解答．【规范解答】A．∵3.1×1.3＝4.03，∴3.1和1.3不互为倒数，故不符合题意；B．∵0.5×2＝1，∴0.5和2互为倒数，符合题意；C．∵0.25×0.52＝0.13，∴0.25和0.52不互为倒数，故不符合题意；D．∵，∴和不互为倒数，故不符合题意；故选：B．【考点评析】本题考查了倒数的意义，掌握倒数的意义是关键．5．（2分）（2022秋•泗洪县期末）已知四个互不相等的整数a、b、c、d的乘积等于14，则它们的和等于（）A．﹣5 B．5 C．9 D．5或﹣5【思路点拨】利用有理数的乘法推测这四个数可能是什么，再计算它们的和．【规范解答】解：∵四个互不相等的整数a、b、c、d的乘积等于14，∴这四个数为﹣1，1，2，﹣7，或﹣1，1，﹣2，7，∴它们的和等于﹣5或5，故选：D．【考点评析】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法．6．（2分）（2022秋•察右前旗校级期末）有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错误的是（）A．ab＞0 B．a+b＜0 C．＜1 D．a﹣b＜0【思路点拨】观察数轴可得a、b为负数，且|a|＞|b|，结合选项即可作出判断．【规范解答】解：由题意得，a、b为负数，且|a|＞|b|，A、ab＞0，故本选项不符合题意；B、a+b＜0，故本选项不符合题意；C、＞1，故本选项符合题意；D、a﹣b＜0，故本选项不符合题意．故选：C．【考点评析】本题考查了数轴的知识，掌握负数的性质和绝对值的计算是关键．7．（2分）（2023•都昌县校级模拟）下列结果中，是负数的是（）A．﹣（﹣2） B．﹣|﹣1| C．3×2 D．0×（﹣4）【思路点拨】利用相反数的意义及绝对值的性质化简A、B，再利用乘法法则计算即可得到C、D．【规范解答】解：∵A、﹣（﹣2）＝2，∴A项不符合题意；∵B、﹣|﹣1|＝﹣1，∴B项符合题意；∵C、3×2＝6，∴C项不符合题意；∵D、0×（﹣4）＝0，∴D项不符合题意．故选：B．【考点评析】本题考查了相反数的意义，绝对值的性质，有理数的乘法法则，掌握绝对值的性质是解题的关键．8．（2分）（2022秋•承德期中）如果xy＝1，那么①；②；③x，y互为倒数；④x，y都不能为零．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】本题考查的是倒数的意义，0是没有倒数的，所以四个选项都是正确的．【规范解答】解：∵xy＝1，∴x，y都不能为零，④是正确的；在xy＝1的两边分别除以x、y得x＝，y＝，∴①，②是正确的；根据倒数的定义得③是正确的．故选：D．【考点评析】正确理解倒数的意义是解决本题的关键，对于基本知识要掌握扎实，这是做对题的重要保障．9．（2分）（2021秋•荣成市期中）已知|x|＝3，|y|＝2，且xy＜0，则x﹣y的值等于（）A．±1 B．1 C．±5 D．5【思路点拨】根据绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．有理数的乘法法则：同号得正，异号得负确定x、y的值，然后再计算即可．【规范解答】解：∵|x|＝3，|y|＝2，∴x＝±3，y＝±2．又xy＜0，∴x＝3，y＝﹣2或x＝﹣3，y＝2．当x＝3，y＝﹣2时，x﹣y＝3﹣（﹣2）＝5，当x＝﹣3，y＝2时，x﹣y＝﹣3﹣2＝﹣5．故选：C．【考点评析】本题考查绝对值的性质和有理数的乘法和减法，关键是掌握绝对值的性质，掌握有理数的计算法则．10．（2分）（2020秋•沙县校级月考）已知a，b为非0有理数，且a，b同号，则的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣1【思路点拨】分两种情况：a＞0，b＞0，和a＜0，b＜0，计算分析即可得解．【规范解答】解：当a＞0，b＞0，此时ab＞0，＝＝1+1﹣1＝1；当a＜0，b＜0，此时ab＞0，＝＝﹣1+（﹣1）﹣1＝﹣3∴值为1或﹣3，故选：C．【考点评析】本题考查了绝对值的性质和有理数的除法，分类讨论是解题的关键．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•丰泽区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：①|a|＞3；②ab＞0；③b+c＜0；④b﹣a＞0．上述四个结论中，所有正确结论是②、④．【思路点拨】根据图示，可得：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，据此逐项判断即可．【规范解答】解：根据题意，可得：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，∵﹣3＜a＜﹣2，∴|a|＜3，∴①不正确；∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴②正确；∵﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，∴b+c＞0，∴③不正确；∵﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，∴b﹣a＞0，∴④正确，∴四个结论中，所有正确结论是②、④．故答案为：②、④．【考点评析】此题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．12．（2分）（2022秋•鼓楼区期末）在数轴上有一点A，将点A向左移动2个单位得到点B，点B向左移动4个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数且这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为4或3．【思路点拨】设a的值为x，则b的值为x﹣2，c的值为x﹣6，根据这三个数的和与其中的一个数相等分情况讨论即可得出答案．【规范解答】解：设a的值为x，则b的值为x﹣2，c的值为x﹣6，①当x+x﹣2+x﹣6＝x时，解得：x＝4，∴a＝4，b＝2，c＝﹣2，∴abc＜0，符合题意；故a的值为：4．②当x+x﹣2+x﹣6＝x﹣2时，解得：x＝3，∴a＝3，b＝1，c＝﹣3，∴abc＜0，符合题意；故a的值为：3．③当x+x﹣2+x﹣6＝x﹣6时，解得：x＝1，∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣5；∴abc＞0，不符合题意；综上所述：a的值为4或3．故答案为：4或3．【考点评析】本题考查了数轴，有理数的乘法，考查分类讨论的数学思想，根据这三个数的和与其中的一个数相等分情况讨论是解题的关键．13．（2分）（2023•丰顺县开学）已知|x|＝4，|y|＝3，且xy＞0，则x﹣y的值是±1．【思路点拨】根据绝对值的意义得到x＝±4，y＝±3，而xy＞0，则x＝4，y＝3或x＝﹣4，y＝﹣3，把它们分别代入x﹣y进行计算即可．【规范解答】解：∵|x|＝4，|y|＝3，∴x＝±4，y＝±3，而xy＞0，∴x＝4，y＝3或x＝﹣4，y＝﹣3，当x＝4，y＝3时，x﹣y＝4﹣3＝1；当x＝﹣4，y＝﹣3时，x﹣y＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1．故答案为：±1．【考点评析】本题考查了绝对值的意义，熟记若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0，若a＜0，则|a|＝﹣a是解答此题的关键．14．（2分）在﹣1，﹣2，3三个数中，任意取两个数相乘，最小的积是﹣6，最大的积是2．【思路点拨】根据有理数的乘法运算法则和有理数的大小比较列式计算即可得解．【规范解答】解：最小的积＝﹣2×3＝﹣6，最大的积＝（﹣1）×（﹣2）＝2，故答案为：﹣6，2．【考点评析】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．15．（2分）（2022秋•馆陶县期末）若|m﹣1|+|n+3|＝0，则m的相反数是﹣1，n的倒数是﹣．【思路点拨】先根据非负数的性质列出方程求出m、n的值，再根据相反数、倒数的定义解答即可．【规范解答】解：由题意得，m﹣1＝0，n+3＝0，解得，m＝1，n＝﹣3，则m的相反数是﹣1，n的倒数是﹣．故答案为：﹣1，﹣．【考点评析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16．（2分）（2023•鼓楼区校级模拟）一个数的相反数是﹣0.7，则这个数的倒数是．【思路点拨】先求出这个数，再求这个数的倒数即可．【规范解答】解：﹣0.7的相反数是0.7，0.7的倒数是．故答案为：．【考点评析】本题考查了相反数和倒数，求小数的倒数是先把小数化成分数，然后分子分母颠倒位置即可，这是解题的关键．17．（2分）（2022秋•温州期末）若a2＝4，|b|＝3，且ab＜0，则a+b＝±1．【思路点拨】根据题意求出a、b的值，代入计算即可．【规范解答】解：∵a2＝4，∴a＝±2∵|b|＝3，∴b＝±3，又∵ab＜0，∴a、b异号，∴a＝2，b＝﹣3或a＝﹣2，b＝3，当a＝2，b＝﹣3时，a+b＝2+（﹣3）＝﹣1，当a＝﹣2，b＝3时，a+b＝（﹣2）+3＝1，故答案为：±1．【考点评析】本题考查有理数的加法、乘法，掌握有理数加法、乘法的计算法则是得出正确答案的前提．18．（2分）（2023春•嘉定区期末）﹣的倒数是．【思路点拨】根据倒数的定义，互为倒数的两数积为1．【规范解答】解：﹣2×（﹣）＝1，因此它的倒数是﹣．【考点评析】本题考查倒数的定义，较为简单．19．（2分）（2022秋•朝阳区月考）若a＝，|b|＝2，且ab＜0，则a+b的值为﹣．【思路点拨】根据绝对值的意义和积的符号先确定b的值，再计算a+b．【规范解答】解：∵|b|＝2，∴b＝±2．∵ab＜0，a＝，∴b＜0．∴b＝﹣2．∴a+b＝﹣2＝﹣．故答案为：﹣．【考点评析】本题考查了实数的运算，掌握绝对值的意义和积的符号法则是解决本题的关键．20．（2分）（2022秋•玉州区期中）下列说法：①若a，b互为相反数，则＝﹣1；②如果|a+b|＝|a|+|b|，则ab≥0；③若x表示一个有理数，则|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值为7；④若abc＜0，a+b+c＞0，则的值为﹣2．其中一定正确的结论是②③（只填序号）．【思路点拨】利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可．【规范解答】解：∵0的相反数是0，∴当a，b为0时，相反数的商为0，就不成立，∴①的说法错误；∵当a，b同号或a，b中至少一个为0时，|a+b|＝|a|+|b|，∴如果|a+b|＝|a|+|b|，则ab≥0，∴②的说法正确；∵当﹣5≤x≤2时，根据绝对值的几何意义可得|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值为7，∴③的说法正确；∵若abc＜0，a+b+c＞0，则a，b，c中可能两个正数一个负数或两个负数一个正数，∴当有两个正数一个负数时，设a＞0，b＞0，c＜0，＝1﹣1+1﹣1＝0；∴④的说法错误；综上，正确的说法有：②③，故答案为：②③．【考点评析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义，对于错误的说法举出反例是解题的关键．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•松北区校级月考）如果|a|＝6，|b|＝5，ab＜0，求a+b的值．【思路点拨】先运用绝对值和有理数乘法知识求得a，b的值，再代入求解．【规范解答】解：∵|a|＝6，|b|＝5，∴a＝±6，b＝±5，∵ab＜0，∴a＝6，b＝﹣5或a＝﹣6，b＝5，当a＝6，b＝﹣5时，a+b＝6﹣5＝1；当a＝﹣6，b＝5时，a+b＝﹣6+5＝﹣1，∴a+b的值是1或﹣1．【考点评析】此题考查了绝对值和有理数乘法、加法的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地讨论、计算．22．（6分）（2022•克东县校级开学）已知：a、b均为有理数，且ab＞0，求+的值．【思路点拨】利用有理数的乘法运算判断a、b的符号，再计算含有绝对值的式子．【规范解答】解：∵a、b均为有理数，且ab＞0，∴a、b同号，∴+＝1+1＝2，或+＝﹣1﹣1＝﹣2，∴+的值为±2．【考点评析】本题考查了有理数的乘法，绝对值，解题的关键是掌握有理数的乘法，绝对值的定义．23．（8分）（2022秋•福清市校级月考）已知|a|＝3，|b|＝5，且ab＜0，求b﹣2a的值．【思路点拨】利用非负数的性质确定a、b的值，再代入b﹣2a求值．【规范解答】解：∵|a|＝3，|b|＝5，∴a＝±3，b＝±5，∵ab＜0，∴a、b异号，∴当a＝3时，b＝﹣5，此时b﹣2a＝﹣5﹣2×3＝﹣11，当a＝﹣3时，b＝5，此时b﹣2a＝5﹣2×（﹣3）＝11，∴b﹣2a的值为±11．【考点评析】本题考查了有理数的乘法和绝对值，解题的关键是掌握有理数的乘法和绝对值的定义．24．（8分）（2022秋•依安县期中）已知：b是最小的正整数，a为b的相反数，c的相反数是﹣5，请回答问题：（1）请直接写出a，b，c的值；（2）a，b，c在数轴上的点为A，B，C，结合数轴请直接写出A与B的距离AB的值，A与C的距离AC的值，B与C的距离BC的值；（3）点P为数轴上一移动的点，其对应的数为x，请你探索|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值．【思路点拨】（1）先根据b是最小的正整数可知b＝1，再由相反数的定义即可得出结论；（2）根据（1）中a，b，c的值可得出结论；（3）根据已知并结合图形可得当点P与点B重合时，代数式取得最小值．【规范解答】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b＝1；∵a为b的相反数，∴a＝﹣1；∵c的相反数是﹣5，∴c＝5．∴a＝﹣1，b＝1，c＝5；（2）∵a＝﹣1，b＝1，c＝5，∴AB＝|﹣1﹣1|＝2，AC＝|﹣1﹣5|＝6，BC＝|1﹣5|＝4；（3）代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，表示点P与点A，B，C这三个点的距离之和，当点P与点B重合时，点P与点A，B，C这三个点的距离之和最小，即当x＝1时，代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值，最小值为：|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝|1﹣（﹣1）|+|1﹣1|+|1﹣5|＝2+0+4＝6．【考点评析】本题考查的是数轴与绝对值的非负性，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．25．（8分）（2022秋•商水县期中）已知a的绝对值等于5，b是平方等于4的有理数，c是立方等于﹣8的有理数．（1）若a＜b＜0，求a+b的值；（2）若abc≥0，求a﹣3b﹣2c的值．【思路点拨】（1）先根据题干求出a，b的值，再代入求解；（2）先根据题干求出a，b，c值，再代入求解．【规范解答】解：由题意得：a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，（1）∵a＜b＜0，∴a＝﹣5，b＝﹣2，∴a+b＝﹣7；（2）∵abc≥0，∴当a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝﹣7，当a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝15．【考点评析】本题考查了有理数的运算，根据条件求字母的值是解题的关键．26．（8分）（2022秋•高安市期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当a＞0时，则＝1；当b＜0时，则＝﹣1．（2）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．（3）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值．【思路点拨】（1）直接根据绝对值的性质求解即可；（2）a+b+c＝0，abc＜0可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a＞0，b＞0，c＜0解答；（3）分三个数同时大于0；三个数同时小于0；一个数大于0，两个数小于0；两个数大于0，一个数小于0四种情况解答．【规范解答】解：（1）∵a＞0，|a|＝a，∴＝1；∵b＜0，∴|b|＝﹣b，∴＝＝﹣1．故答案为：1，﹣1；（2）∵a+b+c＝0，abc＜0，∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a＞0，b＞0，c＜0∴a＝﹣（b+c），b＝﹣（a+c），c＝﹣（a+b），∴原式＝++＝﹣1﹣1+1＝﹣1；（3）①三个数同时大于0时，原式＝1+1+1＝3；②三个数同时小于0时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；③一个数大于0，两个数小于0时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；④两个数大于0，一个数小于0时，原式＝1+1﹣1＝1．综上所述，代数式的值为：3或﹣3或1或﹣1．【考点评析】本题考查的是绝对值，在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解．27．（8分）（2022秋•青岛期中）问题一：如图1，数轴上的点A表示2，点B表示5，点C表示7，易得2+5＝7，我们记为A+B＝C．（1）现将数轴的原点向左拖动1个单位长度，如图2所示，此时A+B＝C还成立吗？若不成立，怎样移动点C就能使之成立？（2）若将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使A+B＝C成立，应该怎样移动点C？（3）若点A表示m，点B表示n，点C表示t，如果m+n＝t，那么仍然有A+B＝C．现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，①为了使A+B＝C成立，应该怎样移动点C？②为了使A+B＝C成立，应该怎样移动点B？问题二：如图3，数轴上的点A表示﹣3，点B表示1，点C表示5，易得﹣3+5＝2×1，我们记为A+C＝2B．（1）现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，A+C＝2B还成立吗？请说明理由．（2）若点A表示m，点B表示n，点C表示t，当m，n，t满足什么关系时，都能使A+C＝2B成立？【思路点拨】问题一：（1）根据将数轴的原点向左拖动1个单位长度则点A表示3，点B表示6，点C表示8即可解答；（2）根据（1）中各数值的变化即可得出结论；（3）①根据原点向左移动就是数轴向左移动解答；②根据（2）中的结论即可解答．问题二：（1）当数轴的原点向左拖动x个单位长度时，则点A表示﹣3+x，点B表示1+x，点C表示5+x，再代入A+C＝2B检验即可；（2）根据点A表示﹣3，点B表示1，点C表示5，易得﹣3+5＝2×1即可得出结论．【规范解答】解：问题一：（1）不成立．∵将数轴的原点向左拖动1个单位长度则点A表示3，点B表示6，点C表示8，∴A+B＝C不成立．把点C向右移动一个单位长度时，A+B＝C成立；（2）由（1）可知，将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使A+B＝C成立，应该把点C向右移动x个单位长度；（3）①∵点A表示m，点B表示n，点C表示t，m+n＝t，A+B＝C．∴将