小升初数学衔接 第10讲 有理数的乘方（真题拔高检测卷）（教师版）（北师大版）

北师大小升初数学暑期衔接真题汇编拔高检测卷第10讲有理数的乘方一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•南通二模）已知实数a，b满足a2b2+2ab+2a+1＝0，则ab（ab+2）+（b+1）2+2a的最小值为（）A． B．﹣1 C． D．1【思路点拨】首先把ab（ab+2）+（b+1）2+2a化成（a2b2+2ab+2a+1）+[（b+1）2﹣1]，然后把a2b2+2ab+2a+1＝0代入（a2b2+2ab+2a+1）+[（b+1）2﹣1]，再根据偶次方的非负性质，求出ab（ab+2）+（b+1）2+2a的最小值即可．【规范解答】解：∵a2b2+2ab+2a+1＝0，∴ab（ab+2）+（b+1）2+2a＝a2b2+2ab+（b+1）2+2a＝（a2b2+2ab+2a+1）+[（b+1）2﹣1]＝0+[（b+1）2﹣1]＝（b+1）2﹣1，∵（b+1）2≥0，∴（b+1）2﹣1≥﹣1，∴ab（ab+2）+（b+1）2+2a的最小值为﹣1．故选：B．【考点评析】此题主要考查了偶次方的非负性质的应用，解答此题的关键是要明确：任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．2．（2分）（2023春•台江区校级期中）下列运算中，结果可以为（﹣2）4的是（）A．22÷26 B．﹣26÷22 C．﹣2×2×2×2 D．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）【思路点拨】根据有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算法则计算后判断．【规范解答】解：（﹣2）4＝16，22÷26＝≠16，A选项不符合题意；﹣26÷22＝﹣16≠16，B选项不符合题意；﹣2×2×2×2＝﹣16≠16，C选项不符合题意；（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）4，D选项符合题意．故选：D．【考点评析】本题考查了有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算，解题的关键是掌握有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算法则．3．（2分）（2022秋•邹平市期末）设A＝x2﹣5x﹣6，B＝2x2﹣5x﹣3，若x取任意有理数，则A﹣B的值（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定【思路点拨】先计算出A﹣B列出两多项式的差，再根据x取任意有理数，可得﹣x2≤0，进而可得﹣x2﹣3＜0即可解答．【规范解答】解：∵A＝x2﹣5x﹣6，B＝2x2﹣5x﹣3，∴A﹣B＝x2﹣5x﹣6﹣（2x2﹣5x﹣3）＝﹣x2﹣3，∵x取任意有理数，∴﹣x2≤0，∴﹣x2﹣3＜0．故选：C．【考点评析】本题主要考查了整式的减法，利用非负数的性质确定代数式的正负是解题关键．4．（2分）（2022秋•亳州期末）一根1m长的铜丝，第一次剪的去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第2023次剪完后剩下铜丝的长度是（）A． B． C． D．【思路点拨】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案．【规范解答】解：第一次剪去绳子的，剩下是，第二次剪去剩下绳子的，剩下是，⋯⋯第2023次剪完后剩下绳子的长度是．故答案为：C．【考点评析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是正确找出题中的规律．5．（2分）（2022秋•石狮市期末）算式可以表示为（）A． B． C． D．【思路点拨】利用有理数的乘方的法则进行运算即可．【规范解答】解：＝（﹣）3．故选：C．【考点评析】本题主要考查有理数的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．6．（2分）（2022秋•武义县期末）一张纸的厚度为0.09mm，假设连续对折始终都是可能的，那么至少对折n次后，所得的厚度可以超过厚度为0.9cm的数学课本．则n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【思路点拨】一张纸的厚度为0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2＝0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出不等式，求出n的取值范围即可．【规范解答】解：0.9cm＝9mm，∵对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2＝0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm......，∴折一次是这张纸的21，折两次就是这张纸的22，折三次就是这张纸的23，∴这张纸连续对折n次时就是28，设对折n次后纸的厚度超过9mm，则0.09×2n＞9，解得2n＞100．而26＜100＜27，因而n最小值是7．即至少对折7次后，所得的厚度可以厚度为0.9cm的数学课本．故选：C．【考点评析】本题考查的是有理数的乘方，乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．7．（2分）（2022秋•仙居县期末）下列各组的两个数在数轴上表示同一个点的是（）A．23与32 B．（﹣3）2与﹣32 C．2与﹣（﹣2） D．﹣（﹣2）与﹣|﹣2|【思路点拨】先把各组数进行化简，再找相等的一组．【规范解答】解：∵23＝8，32＝9；（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9；﹣（﹣2）＝2；﹣|﹣2|＝﹣2，故选：C．【考点评析】本题考查了有理数比较，有理数的化简是解题的关键．8．（2分）（2022秋•天心区期末）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是1005，则m的值是（）A．31 B．32 C．33 D．34【思路点拨】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数1005的是从3开始的第502个数，然后确定出502所在的范围即可得解．【规范解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m3分裂成m个奇数，所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m＝，∵2n+1＝1005，n＝502，∴奇数1005是从3开始的第502个奇数，＝495，＝527，∴第502个奇数是底数为32的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m＝32．故选：B．【考点评析】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．9．（2分）（2022秋•城西区校级期末）已知（2x+1）2+|y﹣2|＝0，那么xy的值是（）A． B．﹣4 C．4 D．【思路点拨】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【规范解答】解：∵（2x+1）2+|y﹣2|＝0，∴2x+1＝0，y﹣2＝0，解得：x＝﹣，y＝2，则xy＝（﹣）2＝，故选：D．【考点评析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．10．（2分）（2022秋•洪山区校级期末）阅读材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为an．如23＝8，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为log28（即log28＝3）．那么log216+log327＝（）A．7 B．11 C．13 D．17【思路点拨】根据新定义进行计算便可．【规范解答】解：∵24＝16，33＝27，∴log216＝4，log327＝3，∴log216+log327＝4+3＝7．故选：A．【考点评析】本题考查了有理数乘方，有理数加法，定义新运算，掌握运算方法是解题的关键．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•青神县期末）若m2＝4，|n|＝1，且m＞n，m﹣n＝1或3．【思路点拨】先确定m，n的值，再分别代入求解．【规范解答】解：∵m2＝4，|n|＝1，∴m＝±2，n＝±1，∵m＞n，∴m＝2，n＝±1，当m＝2，n＝1时，m﹣n＝2﹣1＝1；当m＝2，n＝﹣1时，m﹣n＝2﹣（﹣1）＝3，故答案为：1或3．【考点评析】此题考查了有理数的平方、绝对值的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．12．（2分）（2022秋•自贡期末）计算：（﹣1）2023＝﹣1．【思路点拨】理解乘方的意义，然后再计算．【规范解答】解：原式的意义是2023个（﹣1）相乘，进而得﹣1，故答案为：﹣1．【考点评析】本题考查了有理数乘方，掌握有理数的乘方运算，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值是解题的关键．13．（2分）（2022秋•渠县校级期末）在中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，负数有t个，则m﹣n﹣k+t＝6．【思路点拨】利用有理数，自然数，分数以及负数定义判断出各字母的值，代入原式计算即可求出值．【规范解答】解：，﹣（﹣1）＝1，﹣|8﹣22|＝﹣14，﹣3，﹣32＝﹣9，﹣（﹣）3＝，0，有理数有：，﹣（﹣1），﹣|8﹣22|，﹣3，﹣32，﹣（﹣）3，0，共7个，即m＝7；自然数有：﹣（﹣1），0，共2个，即n＝2；分数有：，﹣（﹣）3，共2个，即k＝2；负数有：﹣|8﹣22|，﹣3，﹣32，共3个，即t＝3，则原式＝7﹣2﹣2+3＝6．故答案为：6．【考点评析】此题考查了有理数的乘方，有理数，绝对值，以及有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2分）（2022秋•灵宝市期末）已知（x﹣1）2+|y+2|＝0，z是最大的负整数，则x+2y+3z的值为﹣6．【思路点拨】首先根据偶次方及绝对值的非负性，列方程即可求得x、y的值，再求代数式的值即可．【规范解答】解：∵（x﹣1）2+|y+2|＝0，（x﹣1）2≥0，|y+2|≥0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，解得x＝1，y＝﹣2，∵z是最大的负整数，∴z＝﹣1，∴x+2y+3z＝1+2×（﹣2）+3×（﹣1）＝1﹣4﹣3＝﹣6故答案为：﹣6．【考点评析】本题考查的是偶次方及绝对值的非负性，代数式求值问题，熟练掌握和运用偶次方及绝对值的非负性是解决本题的关键．15．（2分）（2022秋•沈河区期末）若x，y为有理数，且（5﹣x）4+|y+5|＝0，则（）2023＝﹣1．【思路点拨】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．【规范解答】解：∵（5﹣x）4+|y+5|＝0，∴5﹣x＝0，y+5＝0，解得：x＝5，y＝﹣5，则（）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故答案为：﹣1．【考点评析】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．16．（2分）（2023•武山县一模）阅读材料：如果ab＝N（a＞0，且a≠1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN．例如23＝8，则log28＝3．根据材料填空：log464＝3．【思路点拨】根据乘方运算得到43＝64，然后利用新定义求解．【规范解答】解：∵43＝64，∴log464＝3．故答案为3．【考点评析】本题考查了有理数的乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．也考查了阅读理解能力．17．（2分）（2023•宁江区三模）a是最大的负整数，a2022＝1．【思路点拨】最大的负整数是﹣1，所以a＝﹣1，代入即可求出a2022的值．【规范解答】解：∵最大的负整数是﹣1，∴a＝﹣1，∴a2022＝（﹣1）2022＝1．故答案为：1．【考点评析】本题考查了数的乘方以及有理数的相关知识点，难度不大，计算数的乘方时注意符号即可18．（2分）（2023•黄骅市模拟）已知10a＝2，100b＝50，则＝﹣．【思路点拨】变形已知，按同底数幂的乘法法则计算并求出a+b的值，再代入求值．【规范解答】解：∵10a＝2，100b＝50，∴10a×100b＝2×50．∴10a×102b＝102．∴a+2b＝2．∴a+b＝1．∴＝1﹣＝﹣．故答案为：﹣．【考点评析】本题主要考查了实数及整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则及整体代入的思想方法是解决本题的关键．19．（2分）（2023•商河县一模）对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式23＝8可以转化为对数式3＝log28，对数式2＝log636，可以转化为指数式62＝36．计算log39+log5125﹣log232＝0．【思路点拨】读懂题意利用新定义计算．【规范解答】解：log39+log5125﹣log232＝2+3﹣5＝0．故答案为：0．【考点评析】本题考查了有理数的乘方运算的新定义，解题的关键是读懂题意掌握新定义，利用新定义计算．20．（2分）（2022秋•江夏区期中）下列说法中，正确的序号是①③④．①互为相反数的两个数的同一偶次方相等；②若a＞b，则a的倒数小于b的倒数；③若多项式ax4+bx3+cx2+dx+e＝（x+2）4，则a+b+c+d+e＝81；④若ab＜0，则|a﹣b|＝|a|+|b|．【思路点拨】分别根据有理数的乘方，倒数，有理数的乘法，绝对值判断即可．【规范解答】解：①互为相反数的两个数的同一偶次方相等，故原说法正确；②若a＞0＞b，则a的倒数大于b的倒数，故原说法错误；③若多项式ax4+bx3+cx2+dx+e＝（x+2）4，当x＝1时，a+b+c+d+e＝（1+2）4＝81，故原说法正确；④若ab＜0，则|a﹣b|＝|a|+|b|，故原说法正确．故答案为：①③④．【考点评析】本题考查了有理数的乘方，倒数，有理数的乘法，绝对值等知识，属于概念性基础题目，理解相关概念及运算法则是解题关键．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•河北期末）已知P＝﹣1n﹣6÷m×（﹣）．（1）当n＝100，m＝﹣2时，求P的值；（2）当n＝101，m＝3时，求P的值．【思路点拨】（1）把m、n的值代入计算求P的值；（2）把m、n的值代入计算求P的值．【规范解答】解：（1）∵n＝100，m＝﹣2，∴P＝﹣1n﹣6÷m×（﹣），P＝﹣1100﹣6÷（﹣2）×（﹣），P＝﹣1﹣6××P＝﹣1﹣1∴P＝﹣2；（2）∵n＝101，m＝3，∴P＝﹣1n﹣6÷m×（﹣），P＝﹣1101﹣6÷3×（﹣），P＝﹣1﹣6××（﹣），P＝﹣1+∴P＝﹣．【考点评析】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方．22．（8分）（2022秋•密山市校级期末）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示．（1）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+|b﹣a|；（2）若a的绝对值的相反数是﹣2，b的倒数是它本身，c2＝9，求﹣a+2b+c﹣（a+b﹣c）的值．【思路点拨】（1）根据题意判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果；（2）根据题意确定出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．【规范解答】解：（1）∵a+b＞0，c﹣b＜0，b﹣a＜0，∴原式＝a+b+c﹣b﹣b+a＝2a﹣b+c；（2）由题意，得a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3，∴﹣a+2b+c﹣（a+b﹣c）＝﹣a+2b+c﹣a﹣b+c＝﹣2a+b+2c＝﹣4﹣1﹣6＝﹣11．【考点评析】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握运算法则是关键．23．（6分）（2022秋•大安市期中）计算：﹣（﹣）2﹣[（﹣2）3+（1﹣0.6×）÷（﹣）]．【思路点拨】先算乘方和小括号里面的，再算乘除，后算加减．【规范解答】解：﹣（﹣）2﹣[（﹣2）3+（1﹣0.6×）÷（﹣）]＝﹣﹣[﹣8+（1﹣）×（﹣）]．＝﹣﹣[﹣8+×（﹣）]＝﹣﹣[﹣8﹣]＝﹣+8+＝8．【考点评析】此题考查有理数的乘方以及混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．24．（8分）（2021秋•松山区期末）阅读材料，解决问题我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：23＝2×2×2；24＝2×2×2×2；观察上述算式，23×24＝2×2×2×2×2×2×2＝27；可以得到：23×24＝27；类比上述式子，你能够得到：（1）103×105＝108；（2）a2×a3＝a5．利用由特殊到一般的思想，可以得到：（3）am×an＝am+n（m、n都是正整数）；我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”；知识运用：（4）x3•x＝x4；（5）yn⋅yn+1＝y2n+1；（6）已知xa＝8，xb＝9，则xa+b的值是72．【思路点拨】（1）根据阅读材料：乘方和乘法的运算法则可以得出结果；（2）根据阅读材料：乘方和乘法的运算法则可以得出结果；（3）根据阅读材料：乘方和乘法的运算法则，分析、总结得出规律即可得到结果；（4）根据“同底数幂的乘法”法则即可得到结果；（5）根据“同底数幂的乘法”法则即可得到结果；（6）根据“同底数幂的乘法”法则即可得到结果．【规范解答】解：（1）103×105＝108；故答案为：108；（2）a2×a3＝a5；故答案为：a5；（3）am×an＝am+n；故答案为：am+n；（4）x3•x＝x4；故答案为：x4；（5）yn⋅yn+1＝yn+n+1＝y2n+1；故答案为：y2n+1；（6）因为xa＝8，xb＝9，所以xa+b＝xa•xb＝8×9＝72．故答案为：72．【考点评析】本题考查了有理数的乘方和乘法的运算法则、“同底数幂的乘法”法则，正确理解法则是解题的关键．25．（8分）（2022秋•浠水县校级期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．（1）若a＜b＜0，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣b+c的值．【思路点拨】（1）利用绝对值的意义，平方根的意义解答即可；（2）利用绝对值的意义，平方根的意义和立方根的意义解答即可；【规范解答】解：（1）∵|a|＝5，b2＝4，∴a＝±5，b＝±2，∵a＜b＜0，∴a＝﹣5，b＝﹣2，∴a+b＝﹣5﹣2＝﹣7；（2）∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8，∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，∵abc＞0，∴ab＜0，∴a＝5，b＝﹣2或a＝﹣5，b＝2．当a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2时，a﹣b+c＝5﹣（﹣2）+（﹣2）＝5；当a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2时，a﹣b+c＝﹣5﹣2+（﹣2）＝﹣9，综上，a﹣b+c的值为5或﹣9．【考点评析】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的意义，平方根的意义和立方根的意义，利用绝对值的意义，平方根的意义和立方根的意义求得a，，b，c的值是解题的关键．26．（8分）（2023春•宿州月考）比较下面每小题中两个算式结果的大小（在横线上填“＞”、“＜”或“＝”）．（1）32+42＞2×3×4；（2）22+22＝2×2×2；（3）12+＞2×1×；（4）（﹣2）2+52＞2×（﹣2）×5；（5）＞．通过观察上面的算式，请你用字母来表示上面算式中反映的一般规律．【思路点拨】分别根据有理数的乘方法则求出各数的值，再根据有理数比较大小的法则比较出各数的大小，并总结出规律．【规范解答】解：（1）∵32+42＝25，2×3×4＝24，∴32+42，＞2×3×4；（2）∵22+22＝8，2×2×2＝8，∴22+22＝2×2×2；（3）∵12+＝，2×1×＝，∴12+＞2×1×；（4）∵（﹣2）2+52＝29，2×（﹣2）×5﹣20，∴（﹣2）2+52＞2×（﹣2）×5；（5）∵＝，＝＝，∴＞．故答案为：＞；＝；＞；＞；＞．用字母表示为：a2+b2≥2ab（当a＝b时等号成立）．【考点评析】本题考查的是有理数的乘方及有理数的大小比较，根据有理数的大小比较得出规律是解答此题的关键．27．（8分）（2022春•攸县期末）如果10b＝n，那么b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的b，n两个量之间具有同一关系．（1）根据劳格数的定义，计算d（10）和d（10﹣2）的值；（2）若m，n为正数，则d（m•n）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）．根据运算性质，填空：＝3（a为正数）；若d（2）＝0.3010，则d（4）＝0.6020，d（5）＝0.6990，d（0.08）＝﹣1.0970；．（3）若表中与数x对应的劳格数d（x）有且仅有两个是错误的，请找出错误的劳格数，并将其改正过来．x1.5356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b【思路点拨】（1）根据新定义计算即可；（2）根据新定义计算即可；（3）根据新定义判断即可．【规范解答】解：（1）d（10）＝1，d（10﹣2）＝﹣2，（2）∵d（a3）＝d（a2•a）＝