小升初数学衔接 第12讲 有理数的混合运算（知识讲练）（学生版）（北师大版）

1.掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算.（重点）2.在运算过程中能合理地使用运算律简化运算.(难点)新课导入新课导入我们目前都学习了哪些运算？请举出一些例子.加法、减法、乘法、除法、乘方.从一副扑克牌(去掉大、小王)中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌只能用一次)，使得运算结果为24或－24.其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11,12,13.只含某一级运算——从左到右依次运算典例探究【例题1】计算1)-2+5-82)-100÷25×(-4)2.不同级运算混合—从高级到低级运算，先算乘除二级;再算加减一级.【例题2】计算14-14÷(-2)+7×(-3)3.带有括号的运算—从内到外依次进行运算，先算小括号;再算中括号;最后算大括号里面的.【例题3】计算-3-｛［-4+(1-1.6×)]÷(-2)｝÷24.带有乘方的运算思考:上式含有哪几种运算?先算什么，后算什么？【归纳总结】有理数混合运算的法则：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减;（2）如有括号，先进行括号里的运算.【学以致用】在运算过程中，一定要注意运算符号.在运算过程中，一定要注意运算符号.讨论交流：你认为哪种方法更好呢？讨论交流：你认为哪种方法更好呢？点拨：在运算过程中，巧用运算律，可简化计算点拨：在运算过程中，巧用运算律，可简化计算有理数的加法运算律有a＋b＝b＋a，a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.乘法的运算律有ab＝ba，a(bc)＝(ab)c，a(b＋c)＝ab＋ac.提示：有理数的运算律可以顺用，也可以逆用．【学以致用】注意运算顺序及符号注意运算顺序及符号本题用乘法分配律进行运算较简单本题用乘法分配律进行运算较简单c【典例分析01】（2022秋•翔安区期末）计算下列各题：（1）2+（﹣2）＝0；（2）1﹣3＝﹣2；（3）（﹣1）×（﹣3）＝3；（4）12÷（﹣3）＝﹣4；（5）＝5；（6）3﹣|﹣2|＝1．【思路点拨】（1）根据有理数的加法进行计算；（2）根据有理数的减法进行计算；（3）根据有理数的乘法进行计算；（4）根据有理数的除法进行计算；（5）根据有理数的乘方与乘法进行计算；（6）根据有理数的减法进行计算即可求解．【规范解答】解：（1）2+（﹣2）＝0，故答案为：0；（2）1﹣3＝﹣2，故答案为：﹣2；（3）（﹣1）×（﹣3）＝3，故答案为：3；（4）12÷（﹣3）＝﹣4，故答案为：﹣4；（5）＝，故答案为：5；（6）3﹣|﹣2|＝3﹣2＝1，故答案为：1．【考点评析】本题考查了有理数的计算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．【典例分析02】（2022秋•秦淮区期末）计算的结果是．【思路点拨】设，化简求解即可．【规范解答】解：设，原式＝＝＝．故答案为：．【考点评析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据题意把看作一个整体．【举一反三01】（2023•兴宁区校级模拟）计算：（﹣2+4）×3+（﹣2）2÷4．【举一反三02】（2022秋•翔安区期末）计算：﹣17+23+（﹣16）；（2）3﹣（﹣2）3÷（﹣3）×9；（3）．一．选择题（共7小题）1．（2023•明水县模拟）定义一种新的运算：如果，则有x▲y＝x+xy+|﹣y|，那么2▲（﹣4）的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣5 D．42．（2023•南京三模）下列算式结果为负数的是（）A．﹣1+2 B．2﹣3 C．﹣1×（﹣2） D．0÷（﹣1）3．（2023春•松北区校级月考）下列计算正确的是（）A．﹣3+7＝﹣4 B．﹣8﹣（﹣5）＝﹣3 C． D．﹣18÷3＝64．（2023•衡水模拟）计算1□2结果为负数，“□”中应填的符号是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷5．（2023•丰润区模拟）与﹣（﹣）互为倒数的是（）A．﹣×5 B．6×5 C．×5 D．﹣6×56．（2022秋•新乡县校级期末）按如图的程序计算，若输出的结果是﹣3，则输入的符合要求的x有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个7．（2022秋•龙亭区校级期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝23，则第2022次“F”运算的结果是（）A．74 B．37 C．92 D．23二．填空题（共5小题）8．（2022•杭州模拟）一天，小明利用温差测量山峰高度，已知此时山脚测得温度是5℃，且该地区高度每增加126米，气温大约降低0.6℃，该山峰的高度大约是2646米，则和山顶温度比较温度升高．9．（2023•阳信县二模）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地势对气温的影响，大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃，有一座海拔1150米的山，在这座山上海拔为150米的地方测得气温是3℃，则此时山顶的气温约为℃．10．（2023•株洲三模）某公园划船项目收费标准如下：某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．船型双人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）8010012015011．（2023春•天宁区校级期中）计算＝．12．（2023春•佛山月考）观察下列运算并填空：①1×2×3×4+1＝24+1＝25＝52④4×5×6×7+1＝840+1＝841＝22；②2×3×4×5+1＝120+1＝121＝112⑤7×8×9×10+1＝5040+1＝5041＝712；③3×4×5×6+1＝360+1＝361＝192⑥（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1＝三．解答题（共7小题）13．（2023•柳州二模）计算：15﹣8÷4+（﹣3）2×2．（2023•兴宁区校级模拟）计算：（﹣2+4）×3+（﹣2）2÷4．15．（2023•池州三模）一个两位数M，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N，当N＞0时，我们把N放在M的左边，将所构成的新数叫做M的“叠加数”．例如：M＝47，∵N＝（2×4）2﹣72＝15＞0，∴47的“叠加数”为1547；M＝26，∵N＝（2×2）2﹣62＝﹣20＜0，∴26没有“叠加数”．（1）根据定义，求出“35”的“叠加数”；（2）请判断2243是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由．16．（2023•蔚县校级模拟）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“□”表示一个有理数．若“□”表示3，且与输入的数互为相反数，求计算结果；若“□”表示负数，且计算结果为0，求输入的最大整数．17．（2023春•松北区校级月考）计算：（1）8+（）﹣5﹣（﹣0.25）；（2）﹣36×（）；﹣2+2÷×2；（4）﹣3.5××÷．18．（2023•襄都区校级一模）老师在课堂上展示了一个数学问题：请你利用式子“7+□×5﹣〇”编题并解决问题．（1）佳佳：若“□”表示﹣2，“〇”表示﹣4，求算式的计算结果．（2）琪琪：若“□”表示﹣3，且算式的计算结果为2，求“〇”所表示的数．19．（2023•襄都区校级模拟）老师设计了接力游戏．用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：（1）接力中，计算错误的学生有；（2）请给出正确的计算过程．一．选择题（共6小题）1．（2023•阜宁县校级模拟）下列式子的运算结果是负数的是（）A．（﹣1）+（﹣3） B．（﹣1）﹣（﹣3） C．（﹣1）×（﹣3） D．（﹣1）÷（﹣3）2．（2023•滨江区二模）计算下列各式，值最大的是（）A．1﹣（﹣2） B．1+（﹣2） C．1×（﹣2） D．1÷（﹣2）3．（2023•秦淮区一模）下列计算结果是正数的是（）A．2+（﹣3） B．2﹣（﹣3） C．2×（﹣3） D．﹣324．（2023•慈溪市一模）下列计算正确的是（）A．33+3＝34 B．33•3＝34 C．36÷32＝33 D．（32）3＝355．（2023•肇东市模拟）规定一种新运算“※”，如果a，b是有理数，那么a※b＝ab﹣2b，则2※3等于（）A．3 B．6 C．2 D．06．（2023•长安区模拟）若﹣2□2×（﹣1）＝0成立，则“□”中的运算符号是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷二．填空题（共5小题）7．（2023春•北碚区校级期中）﹣14﹣（﹣3）5+|﹣6|＝．8．（2023春•南岗区校级月考）若定义一种新运算：a⊕b＝a+（﹣b），则（﹣3⊕9）⊕（﹣5）＝．9．（2022秋•海林市期末）在数轴上有理数m所表示的点到数2所表示的点的距离为5个单位长度，a、b互为相反数，且都不为0．c、d互为倒数，则多项式3a+3b+m2﹣2cd+的值是．10．（2023•播州区一模）定义新运算：∩，如{a，b，c}∩{c，b，m}＝{b，c}，则{2，8，15，20}∩{3，2，15}＝{}．11．（2022秋•栖霞市期末）计算：＝．三．解答题（共7小题）12．（2023春•沈阳月考）计算：（1）3﹣（+63）﹣（﹣259）﹣（﹣41）；（2）；；（4）；；（6）．13．（2022秋•二七区期末）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．【初步探究】（1）直接写出计算结果：2023②＝；（2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有；（横线上填写序号）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝；（4）计算：﹣1⑧﹣142÷（﹣）④×（﹣7）⑥．14．（2023•阜城县校级模拟）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝．（1）计算3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）的值；（2）若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小．（2022秋•河东区期末）（1）24×；（2）﹣14+（﹣2）3÷4×[5﹣（﹣3）2]．16．（2023•池州模拟）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：所以：＝＝＝问题：计算：①；②．17．（2022春•泰兴市期中）阅读材料：因为21﹣20＝20×（2﹣1），22﹣21＝21×（2﹣1），23﹣22＝22×（2﹣1）⋯所以20+21+22+⋯+210＝（2﹣1）×（20+21+22+⋯+210）＝（2﹣1）×20+（2﹣1）×21+（2﹣1）×22+⋯+（2﹣1）×210＝（21﹣20）+（22﹣21）+（23﹣22）+⋯+（211﹣210）＝211﹣20＝211﹣1仿照以上过程解决问题：（1）填空：51﹣50＝5（）×（5﹣1），52﹣51＝5（）×（5﹣1），53﹣52＝5（）×（5﹣1）⋯（2）探索（