现代数字信号处理-使用MATLAB分析与实现（新形态版）习题及答案 第1章课后题答案

1-1已知系统H(z)的单位采样响应hn=δn解：H(z)=1-因果离散时间LTI系统存在稳定因果逆系统的充分必要条件是：H(z)的所有零点（极点）必须在单位圆内（最小相位系统）零点：1-z=两个零点都在单位圆内，因此系统为最小相位系统，存在因果稳定的逆系统。逆系统G(z)=G(z)=其单位采样响应为：g(n)=或写为：g(n)=1-2一个线性移不变系统的传输函数为Hz=z（1）试求实现这个系统的差分方程。（2）试证明这个系统是一个全通系统。（3）H(z)和另一个系统G(z)级联后，整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，试求其单位采样响应解：（1）H(z)=

Y(z)(1-a

y(n)-ay(n-1)=x(n-1)-因此差分方程为：

y(n)=ay(n-1)+x(n-1)-（2）

H(分子项：

e并且对任意复数

β

有

1-β取β=a*因此频率响应分子等于分母，等于1，得证。（3）H(z)G(z)=1

G(z)=

g(n)=1-3证明如下三个系统具有相同的幅频响应，并判断哪一个是最小相位系统，哪一个是最大相位系统，哪一个是混合相位系统。解:

HHH三个系统的幅频响应相同，因为它们的零极点模乘积比例相同最小相位系统：所有零点在单位圆内最大相位系统：所有零点在单位圆外混合相位系统：零点在单位圆内外都有1-4假设Hz和G（1）HzG解：（1）已知Hz和G零极点分布：HzG(z)的零点是H因为H和G的所有零极点都在单位圆内，所以HzG因果稳定性：若H和G均因果稳定，则Hz因此Hz两个最小相位系统的和不一定是最小相位，因为零点会发生变化，可能出现在单位圆外。1-5一个因果线性移不变系统的传输函数为Hz=(1-2z-2解：

HHz1-6试用初值定理证明，如果hmn是最小相位序列，且hn解：设hmn是最小相位因果序列，则它们的z变换之间只相差一个全通函数HapH(z)=由初值定理（对因果序列）：h设最小相位系统函数为H当z∞时，lim取K>0（可通过相位适当选择使hm全通函数为H当z∞lim于是lim因为pk<1（若于是h(0)=取绝对值：h(0)由于c<1且hh(0)1-7表1.7.1所列的所有系统都是同态系统，已知其输入运算，试确定其输出运算。表1.7.1题1-7表序号系统变换T[x(n)]输入运算1y加法2y乘法3x加法4x卷积5x乘法6y乘法7y乘法8y加法9y乘法解：（1）输入加法：x输出：2所以输出运输也是加法。（2）T而T不相等，所以不是输入乘法。（3）x(n)=Z输出运算：加法（在频域上，两个z变换的加法）。（4）Z所以输出运算是乘法。（5）时域乘法z域复卷积Z所以输出运算：复卷积（循环卷积）。（6）检查：

TT两者相等，所以输出运输也是乘法。（7）取绝对值：TT相等，所以输出运算是乘法。（8）TT所以输出运算：乘法。（9）TT与ex通常表述为：输出运算是对数域的乘法映射回原始域的运算，简称为幂运算(⨂)使得a⨂b=exp(lna∙lnb)。序号系统变换T[x(n)]输入运算输出运算1y加法加法2y乘法与第一行相同，应为加法3x加法加法4x卷积乘法5x乘法复卷积（或圆周卷积）6y乘法乘法7y乘法乘法8y加法乘法9y乘法对数域乘法（即⨂：a⨂b=exp(lna∙lnb)）1-8考虑通信系统中的信道均衡场景，接收信号y(n)=h(n)*s(n解：（1）数学模型基于二阶统计量的盲反卷积，接收信号:y其中(n)为独立信号，h(n)为未知FIR信道，v(n)为高斯白噪声。利用自相关R（2）LMS自适应反卷积滤波器设计滤波器输出：s其中ω(n)为均衡器系数，Y(n)=[y(n),y(n-1),...,y(n-M)]恒模准则（CMA）：代价函数：J(瞬时梯度下降（LMS型更新）：ω(n+1)=（3）迭代公式滤波：s误差：e(n)=更新：ω(n+1)=（4）步长

μ

的影响收敛速度：时间常数τ∝1(μ稳定性：需满足0<μ<2稳态失调：失调量Mdis1-9已知卷积同态系统的输入x(n)解：卷积同态系统的一般结构为：y(n)=其中D*为特征系统:时域卷积一频域加法(通过Z变换取复对数实现)L为线性系统(对复倒谱序列进行处理)。D*-1为逆特征系统:频域加法一时域卷积(通过取指数再逆Z变换实现当x(n)=δX(z)=1复倒谱x(n)=0(对所有n)于是：D若L是线性系统，那么L[0]=0。因此:y(n)=而逆特征系统D*-1对零序列的作用：频域Y(z)=0，取指数得Y(z)=1，逆y(n)=1-10什么是倒谱？什么是复倒谱？复倒谱有哪些主要性质？（1）倒谱对信号x(n)的幅度谱取对数，再求傅里叶逆变换得到的序列，称为实倒谱(通常简称为倒谱)定义(实倒谱)：c特点：只保留幅度信息，丢失相位信息。（2）复倒谱对信号x(n)的z变换取复对数，再进行逆z变换(或傅里叶逆变换)得到的序列，保留幅度与相位信息。定义：x其中logX(ejω（3）复倒谱有哪些主要性质卷积性质：若x(n)=h(n)*s(n)，则x(n)=h(n)+能量集中性：最小相位信号的复倒谱