5.4.3正切函数的性质与图象教学设计-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.3正切函数的性质与图象教学设计-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图本节课旨在帮助学生掌握正切函数的性质与图象，通过分析正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性等，使学生能够理解正切函数的基本特征，并能利用这些性质解决实际问题。教学过程中，将结合课本例题和习题，引导学生进行探究，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。核心素养目标分析本节课的核心素养目标包括：培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等能力。通过正切函数性质与图象的学习，学生能够运用数学语言描述函数特征，发展数学抽象思维；通过探究与论证，提升逻辑推理能力；通过解决实际问题，锻炼数学建模和数据分析能力；同时，通过图形与方程的结合，培养学生直观想象能力。重点难点及解决办法重点：正切函数的性质（周期性、奇偶性、单调性）及其图象特征。

难点：正切函数周期性的理解与运用，以及如何根据函数性质绘制准确的图象。

解决办法：

1.重点讲解正切函数周期性的定义和证明，通过实例让学生直观感受周期性。

2.设计问题引导学生分析正切函数的单调区间，通过比较法帮助学生理解函数的单调性。

3.利用数形结合的方法，通过绘制正切函数图象，帮助学生直观理解周期性和奇偶性。

4.通过小组合作，让学生在绘制图象的过程中发现并解决问题，提升解决问题的能力。

5.针对难点，设计变式练习，帮助学生巩固周期性的应用，并尝试解决实际问题。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的方法，首先系统讲解正切函数的基本性质，随后通过小组讨论，引导学生探究周期性和单调性。

2.设计“绘制正切函数图象”的实验活动，让学生动手操作，加深对函数性质的理解。

3.利用多媒体展示正切函数图象，通过动态变化，帮助学生直观理解函数的周期性。

4.安排角色扮演环节，让学生扮演不同角色，如数学家、评论员等，在角色互动中加深对函数性质的记忆。

5.设计“正切函数在实际问题中的应用”案例分析，激发学生学习兴趣，提高应用数学知识解决实际问题的能力。教学流程1.导入新课

详细内容：首先，通过提问“同学们是否熟悉正弦和余弦函数？”来引起学生的兴趣。然后，展示正弦和余弦函数的图象，引导学生思考这两个函数的共同点和不同点。最后，引出本节课的主题：“5.4.3正切函数的性质与图象”，并提出问题：“正切函数有哪些独特的性质呢？它的图象又是什么样的呢？”以此导入新课。

2.新课讲授

（1）讲解正切函数的定义和基本性质，包括周期性、奇偶性、单调性等，结合课本例题进行讲解，用时10分钟。

（2）通过PPT展示正切函数的图象，分析其特征，如渐近线、周期、对称性等，用时5分钟。

（3）介绍正切函数的实际应用，如物理中的角度计算、工程中的三角测量等，用时5分钟。

3.实践活动

（1）让学生在坐标纸上绘制正切函数的图象，并标注出周期、渐近线等关键信息，用时10分钟。

（2）分组进行“正切函数性质应用”的竞赛，每个小组需要解决一个实际问题，如计算给定角度的正切值，用时10分钟。

（3）组织学生进行“正切函数图象变换”的练习，通过变换参数来观察图象的变化，用时10分钟。

4.学生小组讨论

（1）讨论正切函数周期性的来源，举例说明如何计算正切函数的周期，如T=π/|k|，其中k为系数。

（2）分析正切函数的单调性，讨论在不同区间内函数的增减情况，举例说明如何确定函数的单调区间。

（3）探讨正切函数在实际问题中的应用，如如何利用正切函数计算三角形的内角，举例说明解决实际问题的步骤。

5.总结回顾

内容：首先，回顾本节课所学的正切函数的性质和图象特征，强调周期性、奇偶性、单调性等关键点。然后，引导学生思考正切函数在实际问题中的应用，如如何利用正切函数解决物理、工程等领域的问题。最后，提出问题：“如何将正切函数的性质应用于解决实际问题？”以此引导学生进行思考，并总结本节课的重点和难点。

用时：导入新课5分钟

新课讲授20分钟

实践活动30分钟

学生小组讨论15分钟

总计用时：45分钟学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解正切函数的基本性质：通过本节课的学习，学生能够理解和掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性等基本性质。他们能够识别并描述正切函数的图象特征，如周期、渐近线等。

2.应用正切函数解决实际问题：学生在学习过程中，通过实践活动和案例分析，能够将正切函数的知识应用于解决实际问题。例如，他们能够计算给定角度的正切值，利用正切函数计算三角形的内角，或者解决与物理、工程等领域相关的问题。

3.提高数学抽象思维能力：通过对正切函数性质的探究和图象的绘制，学生能够锻炼数学抽象思维能力。他们学会从具体实例中抽象出数学概念，并能够用数学语言描述和理解抽象的数学对象。

4.增强逻辑推理能力：本节课的教学过程中，学生需要通过逻辑推理来论证正切函数的性质。例如，他们需要证明正切函数的周期性，并解释为什么正切函数是奇函数。这种逻辑推理的训练有助于提高学生的逻辑思维能力。

5.培养直观想象能力：通过观察正切函数的图象，学生能够培养直观想象能力。他们能够从图象中直观地看出函数的变化趋势，如周期性、单调性等，并将这些直观感受与数学知识相结合。

6.提升数学运算能力：在解决实际问题的过程中，学生需要运用正切函数的运算规则进行计算。这种计算训练有助于提高学生的数学运算能力，使他们能够更熟练地处理涉及正切函数的数学问题。

7.增强合作与交流能力：在小组讨论和竞赛活动中，学生需要与他人合作，共同解决问题。这种合作学习的过程有助于培养学生的团队协作能力和交流能力。

8.增强学习兴趣和动力：通过引入实际应用案例，激发学生对数学的兴趣，使他们认识到数学知识在实际生活中的重要性。这种兴趣和动力的提升有助于学生更加主动地学习数学。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本第X页的练习题，包括正切函数的基本性质的应用题、正切函数图象的绘制题以及正切函数在实际问题中的应用题。

2.设计一个正切函数的性质实验，记录实验步骤、观察到的现象以及得出的结论。

3.选择一个与正切函数相关的生活实例，分析该实例中如何运用正切函数的知识，并撰写一篇简短的报告。

作业反馈：

1.对学生的作业进行及时批改，确保在课后能够反馈给每位学生。

2.对练习题的解答进行逐题分析，针对学生的错误给予具体反馈，如指出错误的原因、纠正错误答案并提供正确解答。

3.对于实验报告和案例分析报告，评价学生的实验设计、数据分析能力和问题解决能力，指出报告中存在的问题，如实验步骤的合理性、数据分析的准确性等。

4.对于作业中体现出的优点和进步，给予肯定和鼓励，以增强学生的学习信心。

5.针对普遍存在的问题，可以组织课堂讨论或小组讨论，共同解决困难，提高整体的学习效果。

6.对于个别学生的个性化问题，提供个性化的反馈和指导，帮助他们克服学习障碍。

7.建立作业反馈记录，定期回顾学生的作业表现，以便跟踪学生的学习进度和调整教学策略。典型例题讲解例题1：求函数y=tan(x)在区间(0,π)内的零点个数。

解答：由于正切函数在(0,π)内是周期性的，每个周期内只有一个零点。因此，我们只需要考虑一个周期内的零点。在(0,π)内，正切函数的周期为π，所以只有一个零点，即x=π/2。

例题2：已知正切函数y=tan(x)在点A(x1,y1)处的切线斜率为2，求点A的坐标。

解答：切线斜率等于正切函数在该点的导数值，即y'=sec^2(x)。因此，sec^2(x1)=2。由于sec(x)=1/cos(x)，我们有cos^2(x1)=1/2。在(0,π)内，cos(x1)=√2/2，所以x1=π/4。因此，点A的坐标为(π/4,1)。

例题3：求函数y=tan(x)在区间[0,2π]内的最大值和最小值。

解答：正切函数在区间[0,2π]内是周期性的，周期为π。在每个周期内，函数在(π/2,3π/2)区间内单调递增，在(3π/2,5π/2)区间内单调递减。因此，最大值出现在x=3π/2，最小值出现在x=π/2。计算得到最大值为tan(3π/2)=-1，最小值为tan(π/2)=undefined（无穷大）。

例题4：证明正切函数y=tan(x)在区间(0,π/2)内是增函数。

解答：正切函数的导数为y'=sec^2(x)。在区间(0,π/2)内，sec(x)>0，因此sec^2(x)>0。由于导数大于0，所以正切函数在区间(0,π/2)内是增函数。

例题5：若tan(x)=2，求x的值。

解答：由于正切函数的周期性，x的值可能存在于多个周期内。首先，我们知道tan(x)=2，因此x=arctan(2)。由于arctan(2)位于第二象限，x的值可以表示为x=arctan(2)+πk，其中k为任意整数。这是x的一个解。此外，由于正切函数的周期性，x还可以表示为x=arctan(2)+πk，其中k为任意整数。因此，x的解集为{x|x=arctan(2)+πk，k为任意整数}。教学反思与总结这节课下来，我觉得整体上还是比较顺利的。学生们对于正切函数的性质和图象有了更深入的理解，这在课堂上的提问和讨论中得到了体现。不过，也有一些地方我觉得可以改进。

首先，我在讲解正切函数的周期性时，可能没有花足够的时间让学生自己去发现和总结。我注意到有些学生对于周期的理解还不够透彻，这可能是因为我没有给他们足够的时间和空间去探索。下次，我会在讲解周期性时，更多地引导学生自己发现规律，而不是直接给出结论。

其次，我在实践活动的设计上，可能过于依赖了课本上的例子。我发现，有些学生对于实际问题的解决能力还有待提高。因此，我打算在今后的教学中，增加一些更具挑战性的实际问题，