5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时）（教学设计）高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

-1-5.3.2函数的极值与最大（小）值（第2课时）（教学设计）高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）教学设计课题Xx课型新授课√□章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□教材分析5.3.2函数的极值与最大（小）值（第2课时）（教学设计）高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

本节课围绕函数的极值与最大（小）值展开，通过引导学生探究函数性质，培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。教材内容与课本紧密相连，以实际问题为背景，通过具体实例让学生理解极值与最大（小）值在生活中的应用，提高学生解决实际问题的能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过探究函数极值与最值，学生能够提升抽象思维能力，学会从具体问题中抽象出数学模型；通过逻辑推理，学生能够理解函数单调性、导数与极值的关系；通过数学建模，学生能够将实际问题转化为数学问题，并寻求解决方案；通过直观想象，学生能够理解函数图像与极值的关系；通过数学运算，学生能够熟练运用导数求解极值；通过数据分析，学生能够从数据中提取信息，解决实际问题。教学难点与重点1.教学重点，

①理解函数极值的概念，掌握极值存在的必要条件和充分条件；

②掌握利用导数判断函数单调性的方法，并能运用导数找到函数的极值点；

③学会求函数的极大值和极小值，并能判断函数的最大值和最小值。

2.教学难点，

①正确理解和应用导数的几何意义，即导数与函数图像的切线斜率的关系；

②灵活运用导数分析函数的单调性和极值，特别是在处理复合函数和分段函数时；

③在实际应用中，如何将实际问题转化为数学问题，并利用极值解决实际问题，如优化问题、最值问题等。教学资源软硬件资源：多媒体教学设备、计算机、投影仪、电子白板。

课程平台：学校数学教学平台、在线教育资源库。

信息化资源：数学教学软件、函数图像生成软件、数学题库。

教学手段：实物教具（如几何图形）、多媒体课件、课堂练习题。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对函数极值与最大（小）值的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道什么是函数的极值吗？它在生活中有哪些应用？”

展示一些生活中的实际例子，如山峰、山谷、水位变化等，让学生初步感受极值的概念。

简短介绍函数极值的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.函数极值基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解函数极值的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解函数极值的定义，包括极大值、极小值和鞍点。

详细介绍函数极值的组成部分或条件，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.函数极值案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解函数极值的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的函数极值案例进行分析，如抛物线、双曲线等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解函数极值的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例在现实生活中的应用，如建筑设计、工程设计等。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与函数极值相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对函数极值的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调函数极值的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括函数极值的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调函数极值在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用函数极值。

7.课后作业布置（5分钟）

目标：巩固学习效果，提高学生的应用能力。

过程：

布置课后作业，要求学生完成以下任务：

（1）复习本节课所学内容，完成相关练习题；

（2）选择一个与函数极值相关的实际问题，尝试运用所学知识进行解决；

（3）撰写一篇关于函数极值的应用短文或报告。

8.教学反思（5分钟）

目标：总结教学过程，反思教学效果。

过程：

教师对本节课的教学过程进行简要回顾，包括教学目标的达成情况、学生的参与度、教学方法的适用性等。

针对教学中出现的问题，提出改进措施，为今后的教学提供参考。知识点梳理1.函数极值的基本概念

-极值的定义：函数在某一点处取得局部最大或最小值。

-极大值与极小值：极大值是函数在该点附近的局部最大值，极小值是函数在该点附近的局部最小值。

-鞍点：既不是极大值也不是极小值的点。

2.极值存在的必要条件和充分条件

-必要条件：若函数在某点可导，且在该点导数为0，则该点可能是极值点。

-充分条件：若函数在某点可导，且在该点导数为0，并且该点两侧导数异号，则该点是极值点。

3.利用导数判断函数的单调性

-单调递增：函数在某区间内导数恒大于0。

-单调递减：函数在某区间内导数恒小于0。

-导数为0的点可能是极值点，也可能是函数的拐点。

4.利用导数求函数的极值

-求导数：计算函数的导数。

-找到驻点：令导数等于0，求出驻点。

-检验驻点：判断驻点两侧导数的符号，确定驻点为极大值点、极小值点或鞍点。

-求极值：在驻点处计算函数值，得到极大值或极小值。

5.函数的最大值和最小值

-最大值和最小值的定义：函数在定义域内的最大值和最小值。

-寻找最大值和最小值的方法：

-在函数的定义域内寻找驻点。

-在函数的定义域的端点处计算函数值。

-比较驻点和端点处的函数值，找出最大值和最小值。

6.极值在实际问题中的应用

-优化问题：利用极值求解最大利润、最小成本等问题。

-最值问题：利用极值求解最大面积、最小距离等问题。

7.函数图像与极值的关系

-极大值点对应函数图像的局部最低点。

-极小值点对应函数图像的局部最高点。

-鞍点对应函数图像的拐点。

8.复合函数的极值

-复合函数的极值：先求内层函数的极值，再求外层函数的极值。

-分段函数的极值：分段函数的极值可能在分段点或端点处取得。

9.极值与导数的关系

-极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点。

-函数的极值点两侧导数异号。

10.极值在数学建模中的应用

-将实际问题转化为数学模型，利用极值求解最优解。板书设计①函数极值基本概念

-极值：函数在某点附近取得局部最大或最小值。

-极大值：函数在该点附近的局部最大值。

-极小值：函数在该点附近的局部最小值。

-鞍点：既不是极大值也不是极小值的点。

②极值存在的必要条件和充分条件

-必要条件：导数为0的点可能是极值点。

-充分条件：导数为0，且两侧导数异号，该点是极值点。

③利用导数判断函数的单调性

-单调递增：导数恒大于0。

-单调递减：导数恒小于0。

-导数为0的点可能是极值点或拐点。

④利用导数求函数的极值

-求导数：计算函数的导数。

-找驻点：令导数等于0，求出驻点。

-检验驻点：判断驻点两侧导数的符号。

⑤函数的最大值和最小值

-寻找驻点：在定义域内寻找驻点。

-计算端点值：在定义域的端点处计算函数值。

-比较驻点和端点值：找出最大值和最小值。

⑥极值在实际问题中的应用

-优化问题：最大利润、最小成本等。

-最值问题：最大面积、最小距离等。

⑦函数图像与极值的关系

-极大值点对应函数图像的局部最低点。

-极小值点对应函数图像的局部最高点。

-鞍点对应函数图像的拐点。

⑧复合函数的极值

-内层函数的极值。

-外层函数的极值。

⑨极值与导数的关系

-极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点。

-极值点两侧导数异号。

⑩极值在数学建模中的应用

-实际问题转化为数学模型。

-利用极值求解最优解。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《数学分析基础》中关于导数与函数极值的章节，特别是导数与函数图形关系的部分。

-视频资源：数学教育频道中关于导数应用的案例讲解视频，如“导数在经济学中的应用”、“导数在物理学中的应用”等。

2.拓展要求：

鼓励学生在课后利用自主时间阅读上述材料，通过对比课本知识与实际应用的差异，加深对导数与函数极值概念的理解。

教师可以推荐以下阅读材料和视频资源，以便学生进行拓展学习：

-阅读材料：《数学分析基础》第3章“导数与函数极值”，重点关注导数的几何意义、导数与函数图形的关系、极值的求法等内容。

-视频资源：选择与课本内容相关的案例讲解视频，如通过实例展示如何运用导数解决实际问题，如最优化问题、物理问题等。

学生在阅读和观看过程中，应注意以下几点：

-思考导数在解决实际问题中的应用场景，如经济学中的成本和收益分析、物理学中的运动速度和加速度分析等。

-将课本知识与实际案例相结合，分析函数图像的变化规律，理解导数如何影响函数的图形。

-在遇到疑问时，积极参与讨论，或向教师寻求解答，以提高自己的学习效果。教学评价与反馈1.课堂表现：学生在课堂上积极参与讨论，对函数极值与最大（小）值的概念有较好的理解。大部分学生能够正确运用导数判断函数的单调性，并能通过导数找到函数的极值点。课堂提问环节，学生能够结合实例，提出有针对性的问题。

2.小组讨论成果展示：学生在小组讨论中表现出良好的合作精神，能够就函数极值的应用展开深入讨论。每组代表在展示过程中，能够清晰地阐述讨论成果，并提出自己的观点和见解。

3.随堂测试：随堂测试结果显示，学生对函数极值的基本概念和求法掌握较好，但对复合函数和分段函数的极值求解仍有待提高。部分学生在应用极值解决实际问题时，存在思路不够清晰的问题。

4.课后作业完成情况：学生课后作业完成情况良好，大部分学生能够按时提交作业，且作业质量较高。但在解决实际问题时，仍有部分学生未能灵活运用所学知识。

5.教师评价与反馈：针对课堂表现，教师应加强对学生课堂参与度的鼓励，提高学生的主动学习意识。在小组讨论方面，教师应引导学生深入挖掘问题，培养学生的批判性思维。对于随堂测试和课后作业，教师应针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导，帮助学生巩固知识点。同时，教师应关注学生的学习进度，对学习有困难的学生提供个别辅导，确保每位学生都能掌握函数极值与最大（小）值的相关知识。教学反思与总结哎呀，这节课过得还真是挺有意思的。咱们看，学生们对函数极值这个话题还挺感兴趣的，课堂上的讨论挺活跃的。我觉得自己在教学方法上还是有点收获的，比如说，我尝试着通过生活中的实例引入课题，学生们听起来觉得挺亲切的，参与度也高了。

不过呢，我也发现了一些小问题。比如，有些学生在理解导数与函数图像的关系时还是有点吃力，可能在讲解这部分内容时，我应该更加注重直观性的演示，用图示或者动画来帮助他们更好地理解。再比如说，我在课堂上对一些概念的解释可能还不够清晰，学生可能会有些迷惑。

至于教学效果嘛，我觉得整体还是不错的。学生们对函数极值的定义、求