5.3.2 正切函数的图像与性质 教学设计-高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

PAGE课题5.3.2正切函数的图像与性质教学设计-高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册课程基本信息1.课程名称：5.3.2正切函数的图像与性质教学设计

2.教学年级和班级：高一（1）班

3.授课时间：2022年9月25日上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.数感：通过探索正切函数的性质，提升学生对周期性函数的理解和数感，学会从几何直观中提取数学信息。

2.逻辑推理：培养学生运用归纳、演绎等推理方法，理解正切函数的单调性、周期性和奇偶性。

3.应用意识：将正切函数应用于实际问题，如三角函数在物理、工程等领域中的应用，增强学生的数学应用能力。

4.创新精神：鼓励学生在学习过程中提出问题，尝试解决新问题，培养学生的创新思维和解决问题的能力。教学难点与重点1.教学重点

-理解正切函数的周期性：重点讲解正切函数的周期性，包括周期公式和周期图象的绘制方法，强调学生能够通过函数表达式直接确定周期。

-掌握正切函数的单调性：通过实例分析，使学生理解正切函数在特定区间内的单调增减规律，并能判断给定区间内函数的单调性。

-应用正切函数的性质解决实际问题：例如，利用正切函数的单调性解决几何证明问题，或通过周期性解决周期性问题。

2.教学难点

-正切函数图象的绘制：学生可能难以理解如何从正切函数的定义出发，绘制出其图象，特别是如何处理周期性和奇偶性。

-正切函数在特定区间内的单调性判断：学生可能难以把握正切函数在不同区间的单调性变化，需要通过反复练习和教师指导来克服。

-将正切函数的性质与实际问题结合：学生可能难以将抽象的正切函数性质应用到具体的物理或工程问题中，需要通过实例分析和实际操作来提升应用能力。教学方法与策略1.采用讲授与探究相结合的教学方法，通过讲解正切函数的基本概念和性质，引导学生主动探究。

2.设计小组讨论活动，让学生在小组内分享对正切函数图像的理解，并解决绘制图象时的困难。

3.利用多媒体展示正切函数的动态变化，帮助学生直观理解周期性和单调性。

4.通过实际操作，如使用计算器绘制正切函数图象，让学生亲身体验函数性质的应用。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

-创设情境：以生活中常见的旋转现象引入，如钟表的指针运动，提问学生如何描述指针的运动规律。

-提出问题：引导学生思考如何用数学语言描述指针的运动，引出正切函数的概念。

-学生回答：邀请学生回答，教师总结并引出正切函数的定义。

二、讲授新课（15分钟）

-正切函数的定义：讲解正切函数的定义，强调与正弦、余弦函数的关系。

-周期性：讲解正切函数的周期性，展示周期公式，通过实例演示如何绘制周期图象。

-单调性：讲解正切函数的单调性，分析函数在不同区间的单调增减规律，通过图象和公式进行说明。

-奇偶性：讲解正切函数的奇偶性，展示奇函数的对称性，并引导学生进行验证。

三、巩固练习（10分钟）

-练习绘制正切函数图象：分发练习题，要求学生独立完成正切函数图象的绘制。

-讨论交流：学生分组讨论，分享绘制图象的经验和遇到的困难，教师巡视指导。

-课堂展示：邀请学生展示自己的作品，教师点评并总结绘制图象的要点。

四、课堂提问（5分钟）

-提问1：正切函数的周期是多少？如何计算？

-提问2：正切函数在哪些区间内是单调递增的？

-提问3：如何判断一个函数是否是奇函数或偶函数？

五、师生互动环节（5分钟）

-教师提问：引导学生思考正切函数在物理、工程等领域的应用。

-学生回答：邀请学生分享自己对正切函数应用的看法，教师总结并拓展知识。

六、解决问题（5分钟）

-教师提出问题：如何利用正切函数解决实际问题？

-学生尝试解答：学生尝试用正切函数的知识解决实际问题，教师给予指导。

七、核心素养拓展（5分钟）

-教师引导学生思考：正切函数的学习对我们有什么意义？

-学生讨论：学生分组讨论，分享正切函数学习的心得和体会。

八、总结与作业布置（5分钟）

-总结：教师总结本节课的重点内容，强调正切函数的性质和应用。

-作业布置：布置相关练习题，要求学生课后完成，为下一节课做好准备。

教学过程设计完毕。知识点梳理1.正切函数的定义：

-正切函数是直角三角形中对边与邻边的比值。

-正切函数的定义域为所有实数，值域为实数集。

2.正切函数的周期性：

-正切函数的周期为π，即函数表达式为tan(x+π)=tan(x)。

-周期图象上，每隔π个单位，函数图象重复出现。

3.正切函数的单调性：

-在每个周期内，正切函数在(-π/2,π/2)区间内是单调递增的。

-在每个周期的两端点，函数值为无穷大或无穷小。

4.正切函数的奇偶性：

-正切函数是奇函数，即满足tan(-x)=-tan(x)。

5.正切函数的图像特点：

-正切函数图像在x轴上无限接近，但不接触。

-图象在y轴的两侧无限向上和向下延伸。

-图象在每个周期的两端有垂直渐近线。

6.正切函数的应用：

-在三角学中，正切函数用于解决直角三角形的边角关系问题。

-在物理学中，正切函数用于描述旋转物体的角速度。

-在工程学中，正切函数用于计算斜面的倾斜角度。

7.正切函数的性质：

-正切函数的导数为sec²(x)，即正切函数是可导的。

-正切函数的积分可以表示为arctan(x)+C，其中C是积分常数。

8.正切函数的特殊值：

-当x=0时，tan(x)=0。

-当x=π/4时，tan(x)=1。

-当x=π/6时，tan(x)=√3/3。

-当x=π/3时，tan(x)=√3。

9.正切函数的逆函数：

-正切函数的逆函数是arctan(x)，也称为反正切函数。

-arctan(x)的值域为(-π/2,π/2)。

10.正切函数的极限：

-当x趋近于π/2时，tan(x)趋近于无穷大。

-当x趋近于-π/2时，tan(x)趋近于负无穷大。教学反思今天上了关于正切函数的图像与性质的一节课，整体感觉挺不错的。我发现，同学们对于正切函数的周期性和单调性这部分内容掌握得比较好，但是在绘制图像和理解奇偶性上还是有些吃力。我注意到，有些学生在绘制图像时，对于周期性的理解不够清晰，导致他们在确定函数的起点和终点时出现了一些错误。

在教学过程中，我尽量通过生活中的例子来帮助他们理解，比如用钟表的指针运动来类比正切函数的周期性。这样的教学方法似乎挺有效的，因为学生们对这种类比感到亲切，理解起来也更加容易。

在课堂提问环节，我发现学生们对于正切函数在现实生活中的应用兴趣很高。他们提出了很多有趣的问题，比如如何用正切函数来计算斜坡的倾斜度。这让我意识到，我们应该更多地联系实际，让学生看到数学的应用价值。

不过，我也发现了一些问题。比如，在讲解正切函数的奇偶性时，有的学生还是不能很好地理解奇函数和偶函数的区别。这让我思考，是否应该通过更多的实例或者更直观的演示来帮助学生理解这一点。

另外，我在课堂上的互动似乎还不够充分。有些学生可能因为害羞或者不自信而不愿意参与到讨论中来。我需要思考如何更好地调动每个学生的积极性，让课堂氛围更加活跃。典型例题讲解1.例题：已知正切函数y=tan(x)的图像经过点P(π/4,1)，求函数的周期T。

解答：由于tan(π/4)=1，且正切函数的周期为π，所以T=π。

2.例题：在直角三角形ABC中，∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，求BC边上的高AD的长度。

解答：由于∠A=∠B=45°，所以三角形ABC是等腰直角三角形。设AB=AC=x，则BC=x√2。在直角三角形ABD中，tan(45°)=AD/AB，即1=AD/x，所以AD=x=BC/√2=x√2/2。

3.例题：求函数y=tan(x+π/6)在区间[0,π]上的最大值和最小值。

解答：函数y=tan(x+π/6)的周期为π，所以在区间[0,π]上，函数会经历一个完整的周期。最大值出现在x=π/3时，此时y=tan(π/2)=∞（趋向无穷大）。最小值出现在x=5π/6时，此时y=tan(2π/3)=-√3。

4.例题：已知函数f(x)=tan(x)在区间[0,π]上的图像与直线y=k相交于点A和B，求k的值。

解答：正切函数在区间[0,π]上单调递增，且在x=π/2时趋向无穷大。因此，直线y=k与正切函数图像相交，k的值应在(-∞,0)之间。由于正切函数在x=π/2时取无穷大，所以k=0。

5.例题：证明正切函数tan(x)在其定义域内是奇函数。

解答：要证明tan(x)是奇函数，需要证明对于所有x，有tan(-x)=-tan(x)。由正切函数的定义，tan(-x)=sin(-x)/cos(-x)=(-sin(x))/(cos(x))=-tan(x)。因此，tan(x)是奇函数。板书设计①正切函数的定义

-定义：直角三角形中对边与邻边的比值

-定义域：所有实数

-值域：实数集

②正切函数的周期性

-周期公式：T=π

-周期图象：每隔π个单位重复

③正切函数的单调性

-单调递增区间：(-π/2,π/2)

-单调递减区间：无

-端点值：无穷大或无穷小

④正切函数的奇偶性

-奇函数：tan(-x)=-tan(x)

⑤正切函数的图像特点

-无限接近x轴但不接触

-y轴两侧无限延伸

-垂直渐近线

⑥正切函数的应用

-直角