2026初升高数学暑假衔接2套（人教版）第21讲 弧度制（学生版）

第21讲弧度制

1．了解弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性；

2．能进行弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度制；

3．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式，会应用公式解决简单的问题。

一、弧度制

1、角度制：规定周角的1为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.

360

2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这

种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.

3、弧度制与角度制的区别与联系

（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；

区别

（2）定义不同.

联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.

二、角度制与弧度制之间的互化

1、角度制与弧度制的换算

角度化弧度弧度化角度

360°＝2πrad2πrad＝360°

180°＝πradπrad＝180°

π180

1°＝rad≈0.01745rad

1801rad＝π°≈57.30°

π180

度数×＝弧度数

180弧度数×π°＝度数

2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

2353

弧度02

64323462

3、角的集合与实数集R的关系

角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系，

如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应；

反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应。

四、弧长与扇形面积公式

设扇形的半径为r，弧长为l，(02)或n°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：

类别/度量单位角度制弧度制

nr

扇形的弧长llr

180

2

nr112

扇形的面积SSlrr

36022

考点一：角度制与弧度制的概念辨析

例1．下列说法中，正确的是（）

A．1弧度角的大小与圆的半径无关

B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大

C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等

D．用弧度来表示的角都是正角

【变式训练】（多选）下列各说法中，正确的是（）

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角

C．根据弧度的定义，180一定等于π弧度

D．无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关

考点二：角度制化为弧度制

例2．220（）

11π11π11π7π

A．B．C．D．

361896

【变式训练】200的弧度数为（）

7π10π

A．B．C．9πD．10π

109

考点三：弧度制化为角度制

π

例3．若角，则角θ对应的角度数是（）

3

A．30°B．45°C．60°D．90°

3π

【变式训练】把弧度化成角度：rad______

10

考点四：扇形的弧长计算

例4．已知扇形的弧长为2cm，半径为2cm，则该扇形的圆心角______

【变式训练】荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清

远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为120°，则该秋千

最大摆角所对的弧长为（）

1620

A．米B．米C．13.6米D．198米

33

考点五：扇形的面积计算

例5．已知半径为4的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（）

3333

A．B．C．D．

24816

【变式训练】工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇

2π

面展开的中心角为，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为

3

__________cm2

考点六：扇形中的最值问题

例6．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．

（1）若60，R6，求扇形的弧长l；

（2）若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．

【变式训练】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．

（1）若150,r10，求扇形的弧长．

（2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．

1．下列命题中，正确的是（）

A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径长的弧

C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角

2．320用弧度制表示为（）

2π8π16π20π

A．B．C．D．

9999

3．某钟表里分针按正常方式走了2小时20分，则对应时针转过的弧度数为（）

771414

A．πB．πC．πD．π

181833

2π

4．若kπ，kZ，则终边所在象限为（）

3

A．第一象限B．第一、三象限C．第二象限D．第二、四象限

5．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（）

1π5ππ5π

A．1B．C．或D．或

26633

2矢2

6．我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：l弦，公

AB径

式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所

4π

在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的

3

近似值为（）

332431

A．32B．C．D．231

22

7．已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（）

A．10B．15C．20D．25

8．（多选）下列转化结果正确的是是（）

3π10π

A．6730化成弧度是B．化成角度是600

83

7ππ

C．150化成弧度是D．化成角度是5

612

9．（多选）下列转化结果正确的是（）

π10

A．60°化成弧度是B．π化成度是－600°

33

7π

C．－150°化成弧度是πD．化成度是15°

612

10．（多选）已知某扇形的周长为44，圆心角为2，则（）

A．该扇形的半径为11B．该扇形的半径为22

C．该扇形的面积为100D．该扇形的面积为121

11．桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为120，半径为30m，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护

栏的总长度为（结果保留π）________m．

12．已知1920

（1）将写成2kπkZ,02π的形式，并指出它是第几象限角

（2）求与终边相同的角，满足4π0．

1．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（）

ππππ

A．B．C．D．

3366

2．已知扇形的周长为6cm，半径是2cm，则扇形的圆心角的弧度数是（）

A．1B．2C．3D．4

3．下列各对角中终边相同的是（）

π7ππ22π7π11π20ππ

A．和B．和C．和D．和

22339936

4．下列结论错误的是（）

710

A．－150°化成弧度是radB．rad化成度是－600°

63

3

C．6730化成弧度是radD．rad化成度是15°

812

5．两个圆心角相同的扇形的面积之比为1：2，则这两个扇形周长的比为（）

A．1：2B．1：4C．1:2D．1：8

6．下面关于弧度的说法，错误的是（）

A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数

n

B．一个角的角度数为n，弧度数为，则.

180

2

C．长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角的弧度数为