2026初升高数学暑假衔接2套（人教版）第27讲 正切函数的性质与图象（教师版）

第27讲正切函数的性质与图象

1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质；

2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题。

一、正切函数的图象与性质

1、定义域：x|xk,kz，

2

2、值域：R

3、周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是

4、奇偶性：正切函数是奇函数，即tanxtanx．

新疆

王新敞

5、单调性：在开区间k,kkz内，函数单调递增奎屯

22

二、正切函数型yAtan(x)(A0,0)的性质

1、定义域：将“x”视为一个“整体”．令xk,kz解得x．

2

2、值域：,

3、单调区间：（1）把“x”视为一个“整体”；（2）A0(A0)时，函数单调性与ytanx(xk,kz)

2

的相同（反）；（3）解不等式，得出x范围．

、周期：T

4

三、求正切函数的定义域的方法及求值域的注意点

1、求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytanx有

意义，即xk,kz。而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解形如tanxa的

2

不等式的步骤如下：

（1）作图象：作在,上的正切函数图象；

22

（2）求界点：求在,上使tanxa成立的值；

22

（3）求范围：求,上使tanxa成立的x范围；

22

（4）定义域：根据正切函数的周期性，写出定义域。

四、求函数yAtan(x)（A,,都是常数）的单调区间的方法

（1）若0，由于ytanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令

kxk,kZ，解得x的范围即可；

22

（2）若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan[(x)]Atan(x)，即先把x的系

数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可。

考点一：正切函数的定义域

例1．ytan2x定义域为（）

kπ

A．x|x,kZB．x|xkπ,kZ

242

C．x|x2k,kZD．x|x2k,kZ

2

【答案】A

k

【解析】因为2xk，所以x,kZ.

224

k

则ytan2x定义域为x|x,kZ故选：A.

24

【变式训练1】函数ytanx的定义域是___________.

4

【答案】x∣xk,kZ

4

【解析】因为ytanx，所以xk，kZ，

442

解得xk，因为kZ，所以xk

44

故答案为：x∣xk,kZ

4

【变式训练2】函数fx2tan2x的定义域是（）

6

k

A．xxB．xxC．xxk,kZD．xx,kZ

612626

【答案】D

k

【解析】由正切函数的定义域，令2xk，kZ，即xkZ，

6226

k

所以函数fx2tan2x的定义域为xx,kZ.故选:D．

626

考点二：正切函数的值域

ππ

例2．函数ytanx,x,的值域为______．

34

【答案】3,1

ππ

【解析】由题知,根据函数图象性质可知,ytanx在，上单调递增,

22

ππ

所以函数在,上单调递增,

34

ππ

因为tan3,tan1,所以该函数的值域为3,1.故答案为:3,1

34

【变式训练1】函数ytanx,x,的值域为______.

663

【答案】0,

【解析】设zx，因为x,，可得z(0,)，

6632

因为正切函数ytanz在0,上的值域为0,，

2

即函数ytanx在,的值域为0,.故答案为：0,.

663

【变式训练2】函数fx2tan2x5tanx2，x,的值域为______．

44

【答案】9,1

【解析】因为x,，所以tanx1,1，

44

2

59

fx2tanx，

48

则当时，，当时，，

tanx1fxmax1tanx1fxmin9

所以函数fx的值域为9,1.故答案为：9,1.

考点三：正切函数的单调区间

ππ

例3．已知函数y2tanx，则（）

63

A．增区间为6k5,6k1，kZB．增区间为6k1,6k5，kZ

C．减区间为6k5,6k1，kZD．减区间为6k1,6k5，kZ

【答案】C

ππππ

【解析】由kπxkπ,kZ，解得6k5x6k1,kZ.

2632

ππ

因此，函数y2tanx的单调递减区间为6k5,6k1，kZ.故选：C.

63

1

【变式训练1】求函数y＝3tan(x)的单调递减区间．

24

3

【答案】(2k,2k)(k∈Z)

22

11

【解析】y＝3tan(x)可化为y＝－3tan(x)，

2424

13

由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，

224222

3

故函数的单调递减区间为(2k,2k)(k∈Z)．

22

【变式训练2】若函数ytan(x)在,上为严格减函数，则实数的取值范围是_____________．

44

【答案】(2,0)

ππ

【解析】因为函数y2tanx的单调递增区间为kπ,kπ，kZ，

22

且函数y2tanx在,上为严格减函数，

44

42

所以，解得20，即(2,0).故答案为：(2,0).

42

0

考点四：比较正切函数值的大小

例4．下列各式中正确的是（）

5π4π9ππ

A．tan1tan2B．tan735tan800C．tantanD．tantan

7787

【答案】C

ππ2π

【解析】对于A中，由01，且2，由正切函数ytanx性质，

333

π2π

可得0tan1tan3，tan20且tan2tan3，

33

所以tan23，所以tan1tan2，所以A不正确；

对于B中，由tan735tan15,tan800tan80，

由正切函数ytanx单调性可得tan15tan80，即tan735tan800，所以B错误；

π

对于C中，由正切函数ytanx在(,π)上为单调递增函数，

2

4π5π5π4π

因为，所以tantan，所以C正确；

7777

9πππππ

对于D中，由tantan(π)tan，由正切函数的单调性，可得tantan，

88887

9ππ

即tantan，所以D错误.故选：C.

87

【变式训练】（多选）下列结论正确的是（）

433π2π15π13π15π16π

A．tantanB．tantanC．tantanD．tantan

77558745

【答案】AD

34πππ

【解析】对于A，因为0，函数ytanx在,上单调递增，

77222

43

所以tantan．故A正确；

77

3π2π

对于B,tan0tan．故B不正确；

55

15π15π13π13π

对于C，tantanπ2πtan，tantanπ2πtan．

888777

πππππ

又0，函数ytanx在,上单调递增，

87222

ππ15π13π

所以tantan，即tantan．故C不正确；

8787

1515π1616π

对于D，tanπtanπ4πtan，tanπtanπ3πtan．

444555

ππππππ

又，函数ytanx在,上单调递增，

254222

ππ15π16π

所以tantan，即tantan．故D正确.故选：AD.

4545

考点五：正切函数的奇偶性

tanx1

例5．判断函数fxlg的奇偶性．

tanx1

【答案】fx是奇函数

tanx1

【解析】由0，得tanx1或tanx1，

tanx1

则kxk或kxk，kZ；

4224

∴函数fx的定义域为k,kk,kkZ，关于原点对称．

2442

tanx1tanx1tanx1tanx1

又fxfxlglglglg10，

tanx1tanx1tanx1tanx1

∴fxfx，∴fx是奇函数．

【变式训练】判断下列函数的奇偶性.

（1）ytanx；（2）ytanx.

【答案】（1）奇函数；（2）偶函数

【解析】（1）ytanx的定义域为xxk,kZ关于原点对称，fxtanxtanxfx，

2

则函数为奇函数.

（2）ytanx的定义域为xxk,kZ关于原点对称，

2

f(x)tanxtanxfx，则函数为偶函数.

考点六：正切函数的对称性

π

例6．下列是函数fxtan2x的对称中心的是（）

4

πππ

A．,0B．,0C．0,0D．,0

448

【答案】D

πkππkπ

【解析】由2x,kZ可得，x,kZ，

4284

ππkπ

所以，函数fxtan2x的对称中心的是,0，kZ.

484

πkππ3

对于A项，由，可得kZ，故A项错误；

8442

πkππ1

对于B项，由，可得kZ，故B项错误；

8442

πkπ1

对于C项，由0，可得kZ，故C项错误；

842

πkππ

对于D项，由，可得k0Z，故D项正确.故选：D.

848

【变式训练1】函数fxtan2x1图象的一个对称中心为（）

3

77

A．,1B．,1C．,1D．,1

1212312

【答案】A

kk

【解析】由2x,kZ，得x,kZ，

3264

k

所以f(x)的对称中心为(,1)，取k1时，得,1.故选：A

6412

【变式训练2】已知fxtanx，则“函数fx的图象关于原点对称”是“kπkZ”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

kπ

【解析】fxtanx的图象关于原点对称，故1kZ，

21

kπ

因为kπkZ可以推出1kZ，

21

kπ

但1kZ推不出kπkZ，

21

所以“函数fx的图象关于原点对称”是“kπkZ”的必要不充分条件.故选：B.

【变式训练3】函数y2tan3x的图像的一个对称中心为点,0，则________.

224

【答案】

4

k

【解析】因为函数ytanx的图像的对称中心为点,0，kZ，

2

k

所以y2tan3x对称中心横坐标为3x，kZ.

2

kk3

代入x得3，kZ，所以，kZ，

44224

因为，所以当k1时，；当k2时，.

2244

所以或.故答案为：.

444

考点七：正切函数的周期性

1

例7．若f(x)tan(x)(0)的最小正周期为1，则f的值为（）

3

33

A．3B．C．D．3

33

【答案】D

π

【解析】f(x)tan(x)(0)的周期为1，

1π

π，即f(x)tanπx，则ftan3，故选：D．

33

【变式训练1】已知函数f(x)tanx(0)的最小正周期为，则的值是（）

32

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】由题意，2.故选：B

2

n

【变式训练2】若f(n)tannN，则f(1)f(2)f(2019)等于（）

3

A．-3B．3C．0D．-23

【答案】C

nT3

【解析】f(n)tan，nN*；

3

3

2

f1tan3，f2tan3，f3tan0，

33

45

f4tan3，f5tan3，f6tan20，；

33

f1f2f3f4f5f60

f1f2f2019f1f2f3f4f5f6f2017f2018f20190

故选：C．

考点八：利用正切函数解不等式

3

例8．解不等式－1tanx.

3

ππ

【答案】x|kπxkπ,kZ.

46

ππ

【解析】作出函数ytanx，x,的图像，如图所示．

22

ππππ

观察图像可得：在,内，满足条件的x为x，

2246

ππ

由正切函数的周期性可知，满足不等式的x的解集为x|kπxkπ,kZ.

46

【变式训练】写出下列不等式的解集．

3

（1）tanx3;（2）tanx1．

3

ππππ

【答案】（1）kπ,kπ,kZ；（2）kπ,kπ,kZ

3264

【解析】（1）由题知tanx3,

ππππ

根据函数ytanx在,上图象可知,tanx3只需x,,

2232

根据ytanx的最小正周期Tπ,

ππ

可得tanx3的解集为:xkπ,kπ,kZ;

32

ππ3ππ

（2）根据函数ytanx在,上图象可知,tanx1只需x,,

22364

根据ytanx的最小正周期Tπ,

3ππ

可得tanx1的解集为:xkπ,kπ,kZ.

364

1．函数y3tan(x)的最小正周期是，则（）

62

A．4B．2C．2D．2或2

【答案】D

【解析】y3tan(x)的最小正周期是，所以，解得2.故选：D

62||2

2．设atan1，btan2，ctan3，则a，b，c的大小关系为（）

A．acbB．abcC．abcD．acb

【答案】A

【解析】由题意得，函数ytanx在(0,)上单调递增且tanx0，

2

在(,)上单调递增且tanx0，

2

因为123，所以tan2tan30，tan10，所以acb.故选：A.

42

3．函数ytanx（x且x0）的值域为

244

A．1,1B．,11,C．,1D．1,

【答案】B

3

【解析】试题分析：且x0，x且x，

42422

由于正切函数的图象及单调性，得：tan(x)1或tan(x)1，

22

即y,11,故选B．

1

4．函数ytan(x)的一个单调递增区间是（）

23

57245

A．(,)B．(,)C．(,)D．(,)

33663366

【答案】A

【解析】因为ytanx在区间k,kkZ上单调递增.

22

15

所以kxk,kZ2kx2k,kZ

223233

15

所以ytan(x)的单调递增区间为2k,2k,kZ.

2333

5

当k0时:区间为：,.故选：A.

33

π7π

5．已知函数fxAtanx0,，yfx的部分图象如图，则f（）

224

3

A．23B．3C．D．3

3

【答案】C

3πππTπ

【解析】由图象可知，，所以T.

88422

ππ

由T可得，2，所以fxAtan2x.

2

3π3π

又f0，所以Atan0，

84

3π3π

所以kπ,kZ，所以kπ,kZ.

44

πππ

因为，所以，fxAtan2x.

244

ππ

又f01，所以AtanA1，所以A1，所以fxtan2x，

44

7π7ππ5π3

所以ftan2tan.故选：C.

2424463

6．（多选）下列选项中结论正确的是（）

A．函数ytanx在定义域内单调递增

ππ

B．函数ytan2x的周期为

32

C．函数ytanx是偶函数

ππ3π

D．函数ytanx的单调递增区间为kπ,kπkZ

444

【答案】BC

ππ

【解析】对于A，函数ytanx在每个单调区间(kπ,kπ),kZ内单调递增，

22

π

在定义域{x|xkπ,kZ}内不单调递增，A错误；

2

ππ

对于B，由于正切函数ytanx的最小正周期为π，故函数ytan2x的周期为，正确；

32

对于C，函数yf(x)tanx满足f(x)|tan(x)||tanx|f(x)，故为偶函数，正确；

ππππ

对于D,对于函数ytanx，令kπxkπ,kZ，

4242

π3π

则kπxkπ,kZ，

44

ππ3π

即ytanx的单调递增区间为(kπ,kπ),kZ，D错误，故选：BC

444

7．（多选）下列关于函数ytan(x)的说法正确的是（）

3

5

A．在区间,上单调递增B．最小正周期是

66

C．图像关于,0成中心对称D．图像关于直线x成轴对称

66

【答案】BC

57

【解析】因为x,，所以x,，

66366

7

又正切函数ytanx在,和,上单调递增，

6226

7

但在,上不是单调递增，故A错误；

66

函数ytan(x)的周期为T，故B正确；

31

kk

由x,x,kZ可知，当k1时，x，

32236

即其图像关于,0成中心对称，故C正确；

6

因为正切函数ytanx无对称轴，故D错误；故选：BC

πx

8．函数ytan的最小正周期为___________．

53

【答案】3π

π

πx3π

【解析】由题意函数ytan的最小正周期为1，故答案为：3π

53||

3

9．函数f(x)tan2xtanx2,x,的值域是________

44

9

【答案】,0

4

【解析】x,，tanx[1,1]

44

2

219

f(x)tanxtanx2tanx

24

99

f(x)0，故答案为：,0

44

ππ

10．已知函数fxtan3x的图象关于点,0对称，则__________.

49

1

【答案】/

66

ππ

【解析】因为fxtan3x的图象关于点,0对称，

49

πkππkπ

所以,kZ，所以,kZ，

3232

πππ

因为，所以.故答案为：．

466

11．不等式tanx3的解集是______.

ππ

【答案】xkπxkπ,kZ

33

【解析】tanx3，则3tanx3，

ππ

则kπxkπ,kZ，

33

ππ

故答案为：xkπxkπ,kZ.

33

π

12．已知函数fx3tanx，则函数fx的定义域为______．

6

ππ

【答案】{x|kπxkπ+,kZ}

32

ππ

【解析】由题得3tanx0,tanx3，

66

πππππ

所以kπxkπ+,kZkπxkπ+,kZ.

26332

ππ

所以函数的定义域为{x|kπxkπ+,kZ}.

32

ππ

故答案为：{x|kπxkπ+,kZ}

32

1．下列函数最小正周期为的是（）

1111

A．ysinxB．ycos2xC．y2tanxD．ytan2x

2222

【答案】B

2

11T4

【解析】对于A，ysinx的最小正周期1，故A错误；

22