第03讲第二章一元二次函数、方程和不等式章节综合测试(原卷版+解析)

第03讲第二章一元二次函数、方程和不等式章节综合测试本试卷满分150分，考试用时120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023秋·云南大理·高一大理白族自治州民族中学校考开学考试）如果，那么下列运算正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·广东潮州·高三校考阶段练习）下列不等式中，解集为或的不等式是（

）A． B． C． D．3．（2023春·浙江绍兴·高二校考期中）已知，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．4．（2023秋·高一课时练习）若存在，使得成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．5．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，则（

）A． B． C． D．不能确定6．（2023·全国·高一课堂例题）若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值是（

）A．10 B．12 C．13 D．148．（2023春·浙江台州·高二统考期末）数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若，，为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，.实际上任意实系数次方程都有类似结论.设方程的四个实数根为，，，，则（

）A． B．C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023春·贵州贵阳·高二统考期末）下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）下列结论正确的是（

）A．不等式的解集为或B．不等式的解集为或C．不等式的解集为或D．不等式的解集为或11．（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）设区间的长度为．已知一元二次不等式的解集的区间长度为，则（

）A．当时， B．的最小值为4C．当时， D．的最小值为512．（2023秋·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知，且，则（

）A．的最小值是B．的最小值是4C．的最小值是8D．的最小值是三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023秋·高一单元测试）不等式的解集为．14．（2023·全国·高三专题练习）若和分别是一元二次方程的两根，则的是.15．（2023秋·高一单元测试）已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为．16．（2023·全国·高三专题练习）设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是，全部不等式的整数解的和为.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023秋·高一课时练习）比较大小：(1)和；(2)和，其中．18．（2023秋·高一课时练习）已知.(1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.19．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知关于的不等式的解集是．(1)求，的值；(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．20．（2023秋·高一课时练习）某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.

(1)设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式；(2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值．21．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式的解集(1)．(2)（）22．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．例如，已知，求证：．证明：原式．波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．请根据上述材料解答下列问题：(1)已知，求的值；(2)若，解方程；(3)若正数满足，求的最小值．

第03讲第二章一元二次函数、方程和不等式章节综合测试本试卷满分150分，考试用时120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023秋·云南大理·高一大理白族自治州民族中学校考开学考试）如果，那么下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为，所以，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D.2．（2023秋·广东潮州·高三校考阶段练习）下列不等式中，解集为或的不等式是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】A选项，，即，所以或，解得或，A正确；B选项，或，解得或，B错误；C选项，等价于，解得或，C错误；D选项，变形为，解得或，D错误.故选：A3．（2023春·浙江绍兴·高二校考期中）已知，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【详解】由，则，仅当时等号成立，所以函数最小值为4.故选：B4．（2023秋·高一课时练习）若存在，使得成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为恒成立，所以原不等式等价于有解，即有解，所以，解得，即实数的取值范围为，故选：C5．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，则（

）A． B． C． D．不能确定【答案】C【详解】因为，，则，又因为，所以，所以，可得，所以．故选：C6．（2023·全国·高一课堂例题）若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】不等式在时有解，等价于当时，.由二次函数的图象知，当时，，所以.

故选：A.7．（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值是（

）A．10 B．12 C．13 D．14【答案】A【详解】令，，当且仅当，即时取等号.故选：A8．（2023春·浙江台州·高二统考期末）数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若，，为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，.实际上任意实系数次方程都有类似结论.设方程的四个实数根为，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由可得，所以，即，由题中所给方法知，，，故选：D二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023春·贵州贵阳·高二统考期末）下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AD【详解】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确；对于B选项，例如：，，但是，所以B错误；对于C选项，当时，，所以C错误；对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确.故选：AD．10．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）下列结论正确的是（

）A．不等式的解集为或B．不等式的解集为或C．不等式的解集为或D．不等式的解集为或【答案】AD【详解】由得，解得或，由得，即，解得或，故选：AD11．（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）设区间的长度为．已知一元二次不等式的解集的区间长度为，则（

）A．当时， B．的最小值为4C．当时， D．的最小值为5【答案】BC【详解】因为一元二次不等式的解集为，所以．当时，．因为，所以（当且仅当时，等号成立），所以的最小值为4．故选：BC.12．（2023秋·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知，且，则（

）A．的最小值是B．的最小值是4C．的最小值是8D．的最小值是【答案】BC【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则A错误；由题意可得，当且仅当时，等号成立，则B正确；因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确；由题意可得，此时，．因为，所以不存在，使得，则D错误．故选:BC.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023秋·高一单元测试）不等式的解集为．【答案】或【详解】不等式可化为，解得或，∴原不等式的解集为或.故答案为：或.14．（2023·全国·高三专题练习）若和分别是一元二次方程的两根，则的是.【答案】【详解】解：由韦达定理：，，.故答案为：.15．（2023秋·高一单元测试）已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为．【答案】【详解】因为，故，所以，当且仅当，即时等号成立，即有，所以，即a的最小值为，故答案为：16．（2023·全国·高三专题练习）设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是，全部不等式的整数解的和为.【答案】-2或-1/-1或-2-10【详解】若，则原不等式为，即，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故.设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解，所以，即，所以，又，所以或，若，则不等式为，解得，因为为整数，所以；若，则不等式为，解得，因为为整数，所以.所以全部不等式的整数解的和为.故答案为：-2或-1；-10.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023秋·高一课时练习）比较大小：(1)和；(2)和，其中．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以，所以.18．（2023秋·高一课时练习）已知.(1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由题意知：只有当二次函数与直角坐标系中的轴无交点时，才能满足题意；其相应方程此时应满足，解得：，实数的取值范围为.（2）若对任意，恒成立，则满足题意的函数的图象如图所示，

由图象可知，此时应该满足，则，不等式组无解，不存在实数满足：对任意，恒成立.19．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知关于的不等式的解集是．(1)求，的值；(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）由题意，方程的两根为和，由韦达定理可得，，解得.所以，（2）由（1）知，对任意，恒成立，即任意，恒成立，令，则成立，因为函数在上为减函数，所以当时，，即，所以实数的取值范围为.20．（2023秋·高一课时练习）某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.

(1)设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式；(2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值．【答案】(1)(2)时，（元）【详解】（1）解：设，则，所以，由，可得，所以总造价（单位：元）关于的函数解析式为：.（2）解：令，则且，因为函数，当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以总造价的最小值为元.21．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式的解集(1)．(2)（）【答案】见解析【详解】（1）方程：且解得方程两根：；当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：综上所述,当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：【2】当时，，∴，则的解集为当时，解，得，①当时，，则的解集为.②当时，（1），即，则可化简为，无解；（2），即，则的解集为；（3），即，则的解集为；综上：（1）时，解集为；（2）当时，解集为；（3）当时，无解；（4）当时，解集为；（5）当时，解集为.22．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发