第02讲9.2用样本估计总体(原卷版+解析)

第02讲9.2用样本估计总体题型一：补全频率分布表典型例题例题1．（23-24高一·全国·单元测试）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：分组频数频率4253029102合计100(1)完成频率分布表，并估计纤度落在中的占比及纤度小于1.40的占比；(2)在给定的坐标系中画出频率分布直方图．（请自行标注纵坐标）例题2．（23-24高二·全国·课时练习）有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测，在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下．0.07

0.34

0.95

0.98

1.02

0.98

1.37

1.40

0.39

1.021.44

1.58

0.54

1.08

0.71

0.70

1.20

1.24

1.62

1.681.85

1.30

0.81

0.82

0.84

1.39

1.26

2.20

0.91

1.31(1)完成下面的频率分布表，并绘制频率分布直方图；分组频数频率合计(2)根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律．精练核心考点1．（2023高一·全国·专题练习）为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出频率分布表如下所示：分组频数频率[145.5，149.5）10.02[149.5，153.5）40.08[153.5，157.5）200.40[157.5，161.5）150.30[161.5，165.5）80.16[165.5，169.5]mn合计MN(1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？(2)画出频率分布直方图；(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率．2．（23-24高一·全国·单元测试）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．(1)填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；(2)补全频数分布直方图；(3)若成绩在75.5~85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？题型二：频率分布直方图典型例题例题1．（23-24高二下·上海奉贤·阶段练习）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以分组的频率分布直方图如图：(1)求直方图中的值，并说明在这100户居民中，月平均用电量不低于220度的有多少户？(2)在月平均用电量为的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为的居民中应抽取多少户？例题2．（2023高三上·全国·专题练习）为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸(单位：mm)，并将数据分为七组，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中的x值；(2)根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在[98，100)内的样本数；(3)记产品尺寸在[98，102)内为A等品，每件可获利5元；产品尺寸在[92，94)内为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月共生产3000件产品．以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到11000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造．例题3．（22-23高一下·山西晋中·阶段练习）某制造商为运动会生产一批直径为40mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径（单位：mm，保留两位小数）如下：40.02

40.00

39.98

40.00

39.9940.00

39.98

40.01

39.98

39.9940.00

39.99

39.95

40.01

40.0239.98

40.00

39.99

40.00

39.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；分组频数频率合计

(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数.精练核心考点1．（19-20高一·全国·课后作业）鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购，小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位：箱)在的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量制成下表：采购数x客户数10105205(1)根据表中的数据作出频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数；(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的，估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若不在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元()销售量可增加1000m箱，求小张今年年底收入Y(单位：元)的最大值.2．（21-22高一下·浙江丽水·期末）某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了100名学生的一个学期课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中的值以及在中的学生数；(2)根据频率分布直方图，估计该校学生一个学期课外阅读平均时间．3．（21-22高一下·广东梅州·阶段练习）某校100名学生期中考试化学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分，第60百分位数；(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数．分数段题型三：总体百分位数的估计典型例题例题1．（23-24高三下·河南·阶段练习）高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（

）

A．65 B．75 C．85 D．95例题2．（2024·江苏盐城·模拟预测）2024年某校举行一场射箭比赛，甲乙丙丁戊各射中的环数分别为：9环，6环，7环，8环，10环．则在五个人的成绩的上四分位数是（

）A．8环 B．9环 C．7环 D．6环3．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）样本数据13，12，6，7，14，7，10，13的分位数为．精练核心考点1．（2024·湖南邵阳·二模）一组数据：的第30百分位数为（

）A．30 B．31 C．25 D．202．（23-24高三下·云南·阶段练习）为进一步提升物业管理和服务质量，某小区随机抽取100名住户开展了年度幸福指数测评活动，将其测评得分（均为整数）分成六组：，，…，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.由此估计此次测评中居民幸福指数的第75百分位数为.

3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第25百分位数为.题型四：平均数，众数，中位数的计算典型例题例题1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是（

）A．9 B．8 C．7 D．4例题2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为（

）A．19 B．23 C．21 D．18例题3．（2024高一·全国·专题练习）已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的平均数是．例题4．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10．则的最小值为．精练核心考点1．（23-24高三下·陕西·开学考试）在某知识竞赛中，共设有10道题目，每题1分，经统计，10位选手的得分情况如下表：得分678910人数12421则这10位选手得分的中位数和众数分别为（

）A．9，8 B．8，8 C．9，8.5 D．8.5，92．（2024·黑龙江·二模）为了学习､宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史､知国情､圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生26人，女生24人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为82，86，则该班成绩的平均分是（

）A．82 B．83.24 C．83.92 D．843．（2024·贵州·三模）在某学校的期中考试中，高一､高二､高三年级的参考人数分别为.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一､高二､高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（

）A．92 B．91 C．90 D．894．（多选）（23-24高一下·河北唐山·阶段练习）已知一组数据为，6，8，x，12，且这组数据的众数为6，那么下列说法正确的是（

）A．数据的中位数是6 B．数据的平均数是6C． D．题型五：平均数，众数，中位数的估计典型例题例题1．（2024·陕西西安·一模）某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为．例题2．（23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试）对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率100.2024nmp20.04合计M1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数）例题3．（23-24高一下·甘肃武威·开学考试）2023年暑期，兰州市成为了新的网红打卡城市，各地游客纷至沓来，到兰州品尝以兰州牛肉面为代表的兰州美食．某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来兰州旅游的100名游客进行了有关兰州旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图．(1)求的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）及中位数（结果用分数表示）．例题4．（22-23高一下·重庆綦江·期中）为了解某中学高一年级语文测试情况，抽取了该校高一年级的位学生的语文测试成绩，作出如图所示的频率分布直方图，并知道分段的学生有人．

(1)求参数和；(2)根据直方图提供的信息，估计高一年级语文成绩的平均数、中位数和众数（假设各分段内的成绩均匀分布）．精练核心考点1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）为了解甲、乙两种农药在某种绿植表面的残留程度，进行如下试验：将100株同种绿植随机分成两组，每组50株，其中组绿植喷甲农药，组绿植喷乙农药，每株绿植所喷的农药体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在绿植表面的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：记为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70．(1)求乙农药残留百分比直方图中的值；(2)估计甲农药残留百分比的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)估计乙农药残留百分比的中位数．（保留2位小数）2．（23-24高二下·云南·开学考试）某课题组在某市高一学生中随机抽取100名学生，调查他们11月份整理数学错题的天数情况，并将样本数据分成[0,5），[5,10），[10,15），[15,20），[20,25），[25,30]六段，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值；(2)估计这100名学生整理数学错题的天数的平均数（同一组要自中的数据用该组区间中点值作代表）．3．（22-23高一下·河南新乡·阶段练习）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图．(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)，众数和中位数．(保留整数)4．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，．(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；(2)试估计该校学生满意度打分的众数、中位数（中位数保留小数点后2位）；(3)若采用分层随机抽样的方法，从打分在的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分、中分别抽取的人数.题型六：计算方差，标准差典型例题例题1．（多选）（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）维生素C又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量（单位：mg），得到数据如下．则下列说法不正确的是（

）柚子

112

113

115

116

117

121

121

122

131

132猕猴桃

104

106

107

108

113

116

119

121

132

134A．每100克柚子维生素C含量的众数为121B．每100克柚子维生素C含量的75％分位数为121C．每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数D．每100克猕猴桃维生素C含量的方差高于每100克柚子维生素C含量的方差例题2．（23-24高二上·广东珠海·期末）某学校有男生3000人，女生2000人，为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为8小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7.5小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体均值为小时，总体方差为．例题3．（2024·全国·模拟预测）某杨梅种植户从购买客户中随机抽取20位客户做质量随访调查，其中购买系列（大棚种植）的10位，购买系列（自然种植）的10位，从杨梅的大小、口感、水分、甜度进行综合打分（满分100分），打分结果记录如下：系列（大棚种植）：84

81

79

76

95

88

93

86

86

92系列（自然种植）：92

95

80

75

83

87

90

80

85

93(1)分别写出这两个系列综合打分的中位数．(2)分别求出这两个系列综合打分的平均数与方差，通过上述数据结果进行分析，你认为推广哪种系列种植更合适？例题4．（23-24高一下·广西·开学考试）某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年级物理测试中随机抽取名男生和名女生的测试试卷，记录其物理成绩（单位：分），得到如下数据：名男生的物理成绩分别为、、、、、、、、、、、；名女生的物理成绩分别为、、、、、、、.(1)求这名男生物理成绩的平均分与方差；(2)经计算得这名女生物理成绩的平均分，方差，求这名学生物理成绩的平均分与方差.附：分层随机抽样的方差公式：，表示第层所占的比例.精练核心考点1．（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习）某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为．2．（2024高一下·全国·专题练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.3．（23-24高三上·四川·期末）某校有3名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的时间（单位：s）的数据如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次时间/s1212.41212.51211.812.211.511.612(1)计算甲这10次百米短跑的时间的平均数与方差；(2)经过计算，乙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12，0.08，丙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12.4，0.08，若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比赛，请判断该选择谁，说明你的理由．4．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：(1)求a，b的值；(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.（附：方差计算公式：或题型七：平均数，方差的性质典型例题例题1．（2024·湖南长沙·二模）已知样本数据的平均数和标准差均为4，则数据的平均数与方差分别为（

）A． B． C． D．例题2．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，则对于以下数据：，，，，下列选项正确的是（

）A．平均数是，方差是6 B．平均数是，方差是C．平均数是5，方差是 D．平均数是5，方差是12例题3．（多选）（2024·安徽·模拟预测）已知样本数据（，）的方差为，平均数，则（

）A．数据，，，，的方差为B．数据，，，，的平均数大于0C．数据的方差大于D．数据的平均数大于例题4．（22-23高一下·江苏苏州·阶段练习）已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的平均数，方差分别为，精练核心考点1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知样本数据的平均数为､方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）一组数据的平均数和标准差分别为3和1，另一组数据（其中）的平均数和标准差分别为10和4，则（

）A．16 B．8 C． D．3．（23-24高一下·河南·开学考试）已知数据，，…，的方差为，数据，，…，的方差为．则（

）A．1 B．2C． D．4．（多选）（23-24高三上·江苏常州·期末）已知一组样本数据，，，，其中，若由生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据可能相等的量有（

）A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差第02讲9.2用样本估计总体题型一：补全频率分布表典型例题例题1．（23-24高一·全国·单元测试）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：分组频数频率4253029102合计100(1)完成频率分布表，并估计纤度落在中的占比及纤度小于1.40的占比；(2)在给定的坐标系中画出频率分布直方图．（请自行标注纵坐标）【答案】(1)表格见解析，纤度落在、小于1.40的占比分别为、；(2)作图见解析.【分析】（1）根据已知频数求出对应频率，完善频率直方表即可；（2）根据（1）所得直方表画出直方图.【详解】（1）由已知频数求各组对应频率，得频率直方表如下：分组频数频率40.04250.25300.3290.29100.120.02合计1001纤度落在中的占比为，纤度小于1.40的占比．（2）频率分布直方图如下：例题2．（23-24高二·全国·课时练习）有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测，在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下．0.07

0.34

0.95

0.98

1.02

0.98

1.37

1.40

0.39

1.021.44

1.58

0.54

1.08

0.71

0.70

1.20

1.24

1.62

1.681.85

1.30

0.81

0.82

0.84

1.39

1.26

2.20

0.91

1.31(1)完成下面的频率分布表，并绘制频率分布直方图；分组频数频率合计(2)根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律．【答案】(1)答案见解析(2)①该频率分布直方图呈中间高，两边低，大多数鱼身体重汞含量主要集中在区间；②汞含量在区间的鱼最大，汞含量在区间的次之，在区间的最少；③汞含量超过的数据所占比例较大，这说明这批鱼被人食用，对人体产生危害的可能性比较大．【分析】（1）计数各段的频数，计算频率，频率与组距的比值，完成频率分布表，据此画出频率直方图；（2）根据直方图作出一些定性的描述即可.【详解】（1）分组频数频率3101241合计3012频率直方图如图所示：（2）①该频率分布直方图呈中间高，两边低，大多数鱼身体重汞含量主要集中在区间；②汞含量在区间的鱼最大，汞含量在区间的次之，在区间的最少；③汞含量超过的数据所占比例较大，这说明这批鱼被人食用，对人体产生危害的可能性比较大．精练核心考点1．（2023高一·全国·专题练习）为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出频率分布表如下所示：分组频数频率[145.5，149.5）10.02[149.5，153.5）40.08[153.5，157.5）200.40[157.5，161.5）150.30[161.5，165.5）80.16[165.5，169.5]mn合计MN(1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？(2)画出频率分布直方图；(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率．【答案】(1)M=50，m=2，N=1.00，n=0.04；(2)答案见解析；(3)在范围内的人数最多，0.20.【分析】（1）方法一，利用频率总和为1求出，再利用样本容量与各组频率、频数的关系求出作答.方法二，利用1除以组距求出，进而得，由频率总和为1得，再利用频率的意义求出作答.（2）根据已知数表及（1）画出频率分布直方图作答.（3）利用频率分布直方图求出最大频率的分组区间并求出女生的身高在161.5cm以上的频率作答.【详解】（1）方法一N=1.00，，，解得m=2，.方法二，，N=1.00，.（2）作出平面直角坐标系，组距为4，纵轴表示，横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所示．

（3）由频率分布直方图知，样本中身高在范围内的人数最多，且身高在161.5cm以上的频率为，由此可估计全体女生中身高在范围内的人数最多，九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率约为0.20.2．（23-24高一·全国·单元测试）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．(1)填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；(2)补全频数分布直方图；(3)若成绩在75.5~85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？【答案】(1)填表见解析(2)作图见解析(3)234（人）【分析】（1）根据表中的数据和频率的求解公式求解即可，（2）由（1）中表格中的数据完成频数分布直方图，（3）根据频率分布表可求出成绩在75.5～80.5分的学生频率为0.10，成绩在80.5～85.5分的学生频率为0.16，从而可得成绩在75.5～85.5分的学生频率为0.26，进而可求得获得二等奖的人数.【详解】（1）（2）频数分布直方图如下图所示：（3）成绩在75.5～80.5分的学生占70.5～80.5分的学生的，因为成绩在70.5～80.5分的学生频率为0.20，所以成绩在75.5～80.5分的学生频率为0.10．成绩在80.5～85.5分的学生占80.5～90.5分的学生的．因为成绩在80.5～90.5分的学生频率为0.32，所以成绩在80.5～85.5分的学生频率为0.16，所以成绩在75.5～85.5分的学生频率为0.26．由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900＝234（人）．题型二：频率分布直方图典型例题例题1．（23-24高二下·上海奉贤·阶段练习）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以分组的频率分布直方图如图：(1)求直方图中的值，并说明在这100户居民中，月平均用电量不低于220度的有多少户？(2)在月平均用电量为的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为的居民中应抽取多少户？【答案】(1)；55(2)5【分析】（1）由直方图的性质可得关于的方程，解方程即可；再根据频数的计算公式即可求解月平均用电量不低于220度的用户数；（2）由（1）可得抽取比例，从而可得要抽取的户数.【详解】（1）因直方图中，各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1，则，得；月平均用电量为的用户有户月平均用电量为的用户有户月平均用电量为的用户有户月平均用电量为的用户有户所以月平均用电量不低于220度的有户（2）由（1）可知，抽取比例所以月平均用电量在的用户中应抽取户例题2．（2023高三上·全国·专题练习）为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸(单位：mm)，并将数据分为七组，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中的x值；(2)根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在[98，100)内的样本数；(3)记产品尺寸在[98，102)内为A等品，每件可获利5元；产品尺寸在[92，94)内为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月共生产3000件产品．以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到11000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造．【答案】(1)0.12(2)36(3)需要对该工厂设备实施升级改造．【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为进行求解即可；（2）根据频率分布直方图中的数据进行求解即可；（3）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出月利润，最后比较大小即可.【详解】（1）由，解得（2）200件样本中尺寸在内的样本数为．（3）由题意可得，这批产品中优等品有(件)，这批产品中不合格品有(件)，这批产品中合格品有(件)，(元)．所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为元，因为，所以需要对该工厂设备实施升级改造．例题3．（22-23高一下·山西晋中·阶段练习）某制造商为运动会生产一批直径为40mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径（单位：mm，保留两位小数）如下：40.02

40.00

39.98

40.00

39.9940.00

39.98

40.01

39.98

39.9940.00

39.99

39.95

40.01

40.0239.98

40.00

39.99

40.00

39.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；分组频数频率合计

(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数.【答案】(1)图表见详解(2)9000【分析】(1)根据所给的频数和样本容量，用频数除以样本容量做出每一组数据对应的频率,填入表中，画出对应的频率分步直方图和频率分布折线图.(2)计算抽样产品在的个数，计算合格率，即可求出这批产品的合格只数.【详解】（1）频率分布表如下：分组频数频率20.10540.2010100.502540.2010合计201.0050频率分布直方图、频率分布折线图如图所示．

（2）因为抽样的20只产品中在范围内的有18只，所以合格率为．所以根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为9000．精练核心考点1．（19-20高一·全国·课后作业）鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购，小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位：箱)在的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量制成下表：采购数x客户数10105205(1)根据表中的数据作出频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数；(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的，估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若不在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元()销售量可增加1000m箱，求小张今年年底收入Y(单位：元)的最大值.【答案】(1)直方图见解析，17(2)箱(3)256000元【分析】（1）根据统计表作出频率分布直方图，再根据直方图即可求出；（2）根据统计表和直方图即可求出；（3）没有在网上出售鱼卷，则今年的年底小张的收入为（元，若网上出售鱼卷，则今年的年底的销售量为，求出的最大值，比较即可.【详解】（1）作出频率分布直方图，如图所示

根据上图，可知估计采购量在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数为.（2）去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为(箱)；小张去年年底总的销售量为(箱).（3）若不在网上出售鱼卷，则今年年底小张的收入为(元)；若在网上出售鱼卷，则今年年底的销售量为箱，每箱的利润为，则今年年底小张的收入为，当时，取得最大值256000，∵，∴小张今年年底收入的最大值为256000元.2．（21-22高一下·浙江丽水·期末）某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了100名学生的一个学期课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中的值以及在中的学生数；(2)根据频率分布直方图，估计该校学生一个学期课外阅读平均时间．【答案】(1)；(2)小时【分析】（1）利用频率和为1求得，再利用频数频率总数，可求得在中的学生数；（2）利用频率分布直方图中平均数的计算公式可求解.【详解】（1）由频率分布直方图可知：解得阅读时间在之间的学生人数为（2）该校学生一个学期课外阅读平均时间小时．3．（21-22高一下·广东梅州·阶段练习）某校100名学生期中考试化学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分，第60百分位数；(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数．分数段【答案】(1)(2)平均分73分，第60百分位数为75(3)30【分析】（1）由频率分布直方图的性质列方程求a；（2）利用加权平均数求平均数，再求第60百分位数即可；（3）根据比例分别计算各段人数，再求数学成绩在[50，90）之外的人数即可．【详解】（1）依题意得，，解得．（2）这100名学生化学成绩的平均分为：（分），第60百分位数为；（3）数学成绩在的人数为，数学成绩在的人数为，数学成绩在的人数为，数学成绩在的人数为，所以数学成绩在之外的人数为．题型三：总体百分位数的估计典型例题例题1．（23-24高三下·河南·阶段练习）高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（

）

A．65 B．75 C．85 D．95【答案】C【分析】先利用各矩形的面积之和为1，求得，再利用第75百分位数的定义求解.【详解】因为，所以．参赛成绩位于内的频率为，第75百分位数在内，设为，则，解得，即第75百分位数为85，故选：C．例题2．（2024·江苏盐城·模拟预测）2024年某校举行一场射箭比赛，甲乙丙丁戊各射中的环数分别为：9环，6环，7环，8环，10环．则在五个人的成绩的上四分位数是（

）A．8环 B．9环 C．7环 D．6环【答案】B【分析】根据第p百分位数定义计算判断即可.【详解】将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：6，7，8，9，10，，5人成绩的上四分位数为第四个数:9.故选：B.3．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）样本数据13，12，6，7，14，7，10，13的分位数为．【答案】12【分析】首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】将样本数据从小到大排列为、、、、、、、，其中，所以分位数为从小到大排列的第个数，即为.故答案为：精练核心考点1．（2024·湖南邵阳·二模）一组数据：的第30百分位数为（

）A．30 B．31 C．25 D．20【答案】C【分析】从小到大排列后，由第百分位数的定义求解即可.【详解】将这组数据从小到大排列为，因为，所以第30百分位数为第三个数，即为，故选：C.2．（23-24高三下·云南·阶段练习）为进一步提升物业管理和服务质量，某小区随机抽取100名住户开展了年度幸福指数测评活动，将其测评得分（均为整数）分成六组：，，…，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.由此估计此次测评中居民幸福指数的第75百分位数为.

【答案】82【分析】由百分位数的定义和频率分布直方图求解即可.【详解】因为所有小矩形的面积之和为1，所以，所以，测评得分落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为，由，解得，故第75百分位数为82.故答案为：3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第25百分位数为.【答案】29.5【分析】根据百分位数的求法求第25百分位数.【详解】将得分从小到大排列有，由知，第25百分位数为.故答案为：题型四：平均数，众数，中位数的计算典型例题例题1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是（

）A．9 B．8 C．7 D．4【答案】D【分析】借助众数定义即可得.【详解】由数据可知，其中服务次数为4的个数最多，故众数为4.故选：D.例题2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为（

）A．19 B．23 C．21 D．18【答案】C【分析】根据中位数的定义即可求解.【详解】将这10个数据从小到大排列为：12，13，15，17，19，23，29，31，38，43，所以这组数据的中位数是．故选：C．例题3．（2024高一·全国·专题练习）已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的平均数是．【答案】【分析】根据题意，由众数的定义即可得到，再由平均数的计算公式，即可得到结果.【详解】∵数据0，2，x，4，5的众数是4，，∴这组数据的平均数是.故答案为：.例题4．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10．则的最小值为．【答案】/【分析】根据平均数的概念可求的值，再利用不等式可求的最小值.【详解】因为各个个体的值是有小到大排列的，所以，又总体平均值为，所以.所以（当且仅当时取“”）.故答案为：精练核心考点1．（23-24高三下·陕西·开学考试）在某知识竞赛中，共设有10道题目，每题1分，经统计，10位选手的得分情况如下表：得分678910人数12421则这10位选手得分的中位数和众数分别为（

）A．9，8 B．8，8 C．9，8.5 D．8.5，9【答案】B【分析】将这10位选手的得分从小到大排列计算中位数与众数.【详解】由题，将这10位选手的得分从小到大排列，6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，可知第5个和第6个得分，分别为8，8，所以中位数为，且8出现的次数最多，故众数为8.故选：B.2．（2024·黑龙江·二模）为了学习､宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史､知国情､圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生26人，女生24人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为82，86，则该班成绩的平均分是（

）A．82 B．83.24 C．83.92 D．84【答案】C【分析】求得班级得分总和再求平均数.【详解】根据题意，可得该班成绩的平均分是.故选：C3．（2024·贵州·三模）在某学校的期中考试中，高一､高二､高三年级的参考人数分别为.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一､高二､高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（

）A．92 B．91 C．90 D．89【答案】C【分析】利用分层抽样的特点及平均数公式即可求解.【详解】由题意，总样本平均数为.故选：C.4．（多选）（23-24高一下·河北唐山·阶段练习）已知一组数据为，6，8，x，12，且这组数据的众数为6，那么下列说法正确的是（

）A．数据的中位数是6 B．数据的平均数是6C． D．【答案】ABC【分析】根据众数、中位数、平均数的定义可得答案.【详解】众数是指出现次数最多的数据，所以，将这组数据按从小到大的顺序排列：，6，6，8，12，中位数是指处于中间位置的数，即为6，平均数为．故选：ABC.题型五：平均数，众数，中位数的估计典型例题例题1．（2024·陕西西安·一模）某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为．【答案】【分析】利用频率分布直方图计算、估计数学成绩的中位数.【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间的频率为，数学成绩在区间的频率为，因此数学成绩的中位数，且，解得，所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为.故答案为：例题2．（23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试）对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率100.2024nmp20.04合计M1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数）【答案】(1)，，(2)144(3)，18.1，18.3【分析】（1）借助频数、频率与总数之间的关系计算即可得；（2）以所得频率估计概率计算即可得；（3）借助众数、中位数及平均数的定义计算即可得.【详解】（1）由分组对应的频数是10，频率是0.20，知，所以，所以，解得，所以，；（2）估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数为；（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是．因为，所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足：，解得，所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1，由，所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是18.3.例题3．（23-24高一下·甘肃武威·开学考试）2023年暑期，兰州市成为了新的网红打卡城市，各地游客纷至沓来，到兰州品尝以兰州牛肉面为代表的兰州美食．某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来兰州旅游的100名游客进行了有关兰州旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图．(1)求的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）及中位数（结果用分数表示）．【答案】(1)；(2)平均数10.64，中位数.【分析】（1）根据频率之和为，结合频率分布直方图，列式计算即可；（2）根据频率分布直方图中平均数和中位数的求解方法，列式计算即可.【详解】（1），所以.（2）设这100名游客调查问卷中得分的平均值为，则；因为，，所以中位数在8和12之间，设中位数是，所以，可得．例题4．（22-23高一下·重庆綦江·期中）为了解某中学高一年级语文测试情况，抽取了该校高一年级的位学生的语文测试成绩，作出如图所示的频率分布直方图，并知道分段的学生有人．

(1)求参数和；(2)根据直方图提供的信息，估计高一年级语文成绩的平均数、中位数和众数（假设各分段内的成绩均匀分布）．【答案】(1)，(2)平均数为分，中位数为分，众数为分【分析】（1）根据频率分布直方图所有直方图面积之和为，可求得的值，利用成绩在分段的学生有人，结合频率、总容量、频数之间的关系可求得的值；（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得乘积全部相加可得高一年级语文成绩平均数；利用中位数左边的矩形面积和为，可求得中位数的值；利用最高矩形底边的中点值可得出高一年级语文成绩的众数.【详解】（1）解：在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，则，解得，因为成绩在分段的学生有人，则.（2）解：由频率分布直方图可知，高一年级语文成绩的平均数为（分），设中位数为，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，则，由中位数的定义可得，解得，众数为.精练核心考点1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）为了解甲、乙两种农药在某种绿植表面的残留程度，进行如下试验：将100株同种绿植随机分成两组，每组50株，其中组绿植喷甲农药，组绿植喷乙农药，每株绿植所喷的农药体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在绿植表面的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：记为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70．(1)求乙农药残留百分比直方图中的值；(2)估计甲农药残留百分比的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)估计乙农药残留百分比的中位数．（保留2位小数）【答案】(1)；(2)4.05；(3)6.07.【分析】（1）由的估计值为0.70，可得，求得值，再由整体频率为即可求得；（2）根据平均数的定义，取组区间的中点值进行计算即可得解；（3）中位数在使得直方图面积为处取得，经计算即可得解.【详解】（1）为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70．则由频率分布直方图得：,解得,所以乙农药残留在表面的百分比直方图中．（2）估计甲农药残留百分比的平均数为：．（3）设乙农药残留百分比的中位数为，则,解得，所以估计乙农药残留百分比的中位数约为.2．（23-24高二下·云南·开学考试）某课题组在某市高一学生中随机抽取100名学生，调查他们11月份整理数学错题的天数情况，并将样本数据分成[0,5），[5,10），[10,15），[15,20），[20,25），[25,30]六段，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值；(2)估计这100名学生整理数学错题的天数的平均数（同一组要自中的数据用该组区间中点值作代表）．【答案】(1)0.06(2)17【分析】（1）根据频率分布表直方图，利用频率和为1求出；（2）利用频率分布直方图求出平均数即可.【详解】（1）由，解得；（2）这100名学生整理数学错题的天数的平均数的估计值为．3．（22-23高一下·河南新乡·阶段练习）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图．(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)，众数和中位数．(保留整数)【答案】(1)第四组的频率0.3，频率直方图见解析(2)及格率75%；众数75分，中位数约为73.3分【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出第4组的频率，从而可补全频率分布直方图，（2）求出60分及以上的频率可得及格率，由众数的定义可求得众数，先判断中位数在内，然后列方程求解.【详解】（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率为：，补全频率分布直方图如图所示：

（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组频率和为，所以抽样学生成绩的及格率是75%，众数为最高小矩形底边的中点，是75分；因为，，所以中位数在内，设中位数为x，则，解得；所以估计中位数是分.4．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，．(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；(2)试估计该校学生满意度打分的众数、中位数（中位数保留小数点后2位）；(3)若采用分层随机抽样的方法，从打分在的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分、中分别抽取的人数.【答案】(1)；680(2)75，76.43;(3)4，6【分析】（1）由频率分布直方图的频率和为1求出的值，再由频数=总数×频率得出打分不低于70分的人数；（2）由众数、中位数的定义求解；（3）先求出打分在的学生人数，再用分层抽样求出打分在和中的人数即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得.该校学生满意度打分不低于70分的人数为：.（2）由频率分布直方图可估计众数为：75；，，所以中位数为在内，设为，则：.所以估计中位数为：76.43.（3）由题意打分在的学生人数为：人，所以打分在和中的人数应分别抽取：4人，6人.题型六：计算方差，标准差典型例题例题1．（多选）（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）维生素C又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量（单位：mg），得到数据如下．则下列说法不正确的是（

）柚子

112

113

115

116

117

121

121

122

131

132猕猴桃

104

106

107

108

113

116

119

121

132

134A．每100克柚子维生素C含量的众数为121B．每100克柚子维生素C含量的75％分位数为121C．每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数D．每100克猕猴桃维生素C含量的方差高于每100克柚子维生素C含量的方差【答案】BC【分析】由众数、百分位数的概念可直接判断AB，由平均数、方差的计算公式可分别判断CD.【详解】对于A选项，每100克柚子维生素C含量的众数为121，A对：对于B选项，每100克柚子维生素C含量的75%分位数为122，B错；对于C选项，每100克猕猴桃维生素C含量的平均数为，每100克柚子维生素C含量的平均数为，C错；对于D选项，每100克猕猴桃维生素C含量的方差为，每100克柚子维生素C含量的方差为，D对．故选：BC．例题2．（23-24高二上·广东珠海·期末）某学校有男生3000人，女生2000人，为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为8小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7.5小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体均值为小时，总体方差为．【答案】7.80.86【分析】根据给定条件，利用分层抽样的平均数和方差公式计算即得.【详解】依题意，估计总体均值为（小时），总体的方差为.故答案为：7.8；0.86例题3．（2024·全国·模拟预测）某杨梅种植户从购买客户中随机抽取20位客户做质量随访调查，其中购买系列（大棚种植）的10位，购买系列（自然种植）的10位，从杨梅的大小、口感、水分、甜度进行综合打分（满分100分），打分结果记录如下：系列（大棚种植）：84

81

79

76

95

88

93

86

86

92系列（自然种植）：92

95

80

75

83

87

90

80

85

93(1)分别写出这两个系列综合打分的中位数．(2)分别求出这两个系列综合打分的平均数与方差，通过上述数据结果进行分析，你认为推广哪种系列种植更合适？【答案】(1)系列，系列(2)系列平均数，方差，系列平均数，方差，推广系列种植更合适【分析】（1）将两个系列的数从小到大排列后，根据中位数的定义求解即可；（2）根据平均数和方差的定义求解即可，再根据方差的大小即可决定要推广的系列.【详解】（1）解：系列的打分结果从小到大排列为76，79，81，84，86，86，88，92，93，95，所以系列综合打分的中位数为．系列的打分结果从小到大排列为75，80，80，83，85，87，90，92，93，95，所以系列综合打分的中位数为．（2）解：系列综合打分的平均数，方差．系列综合打分的平均数，方差．因为两个系列综合打分的中位数相等，平均数相等，方差满足，所以推广系列种植更合适．例题4．（23-24高一下·广西·开学考试）某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年级物理测试中随机抽取名男生和名女生的测试试卷，记录其物理成绩（单位：分），得到如下数据：名男生的物理成绩分别为、、、、、、、、、、、；名女生的物理成绩分别为、、、、、、、.(1)求这名男生物理成绩的平均分与方差；(2)经计算得这名女生物理成绩的平均分，方差，求这名学生物理成绩的平均分与方差.附：分层随机抽样的方差公式：，表示第层所占的比例.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用平均数和方差公式可求得、的值；（2）利用分层抽样的平均数和方差公式可求得和的值.【详解】（1）解：这名男生物理成绩的平均分为，方差为.（2）解：这名学生物理成绩的平均分为，方差为.精练核心考点1．（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习）某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为．【答案】【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差.【详解】依题意，，，，∴（分），∴全班学生的平均成绩为分．全班学生成绩的方差为故答案为：2．（2024高一下·全国·专题练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.【答案】(1)；(2)84；(3)，.【分析】（1）利用每组小矩形的面积之和为1即可求得a的值.（2）利用频率分布直方图结合第75百分位数的求法即可求得答案.（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；根据由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差.【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，所以.（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，显然第75百分位数，由，解得，所以第75百分位数为84.（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为.3．（23-24高三上·四川·期末）某校有3名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的时间（单位：s）的数据如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次时间/s1212.41212.51211.812.211.511.612(1)计算甲这10次百米短跑的时间的平均数与方差；(2)经过计算，乙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12，0.08，丙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12.4，0.08，若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比赛，请判断该选择谁，说明你的理由．【答案】(1)平均数为12，方差为0.09；(2)选乙，理由见解析.【分析】（