第02讲7.4二项分布与超几何分布+7.5正态分布(原卷版+解析)

第02讲7.4二项分布与超几何分布+7.5正态分布题型一：利用二项分布求分布列典型例题例题1．（2023·全国·高二课堂例题）为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X．(1)写出X的分布列；(2)求出计算机网络不会断掉的概率．例题2．（2023下·河北唐山·高二校考期末）某种植户对一块地上的n（n∈N*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种．(1)求每个坑不需要补种的概率；(2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望．精练核心考点1．（2023下·吉林·高二校联考期末）某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为，，.(1)求该产品的次品率；(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X，求随机变量X的分布列与方差.2．（2023下·江苏南京·高二南京市第十三中学校考阶段练习）一盒子中有8个大小完全相同的小球，其中3个红球，4个白球，1个黑球.(1)若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率；(2)若从盒中有放回的取球3次，求取出的3个球中白球个数的分布列和数学期望.题型二：服从二项分布随机变量概率最大值典型例题例题1．（2024上·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.(1)从个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？(2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？(3)当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？例题2．（2024上·河南漯河·高三统考期末）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124214215220225420430(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，记取到第一阶梯电量的户数为，当时对应的概率为，求取得最大值时的值.精练核心考点1.（多选）（2023·新疆·校联考一模）已知任一随机变量，若其数学期望，方差均存在，则对任意的正实数，有，即表示事件“”的概率下限估计值为．现有随机变量，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．C．若，则取最大值时或D．若有不低于的把握使，则的最小值为6252．（2024·云南昆明·统考一模）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.题型三：二项分布的均值和方差典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立.(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.例题3．（2024·湖南邵阳·统考一模）现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为，第2台车床的正品率为，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的.(1)从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；(2)从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计的数学期望.例题4．（2024·全国·模拟预测）某校举行数学答题比赛，比赛规则是：两人一组，每一轮比赛中，小组两人分别答2道题，若两人答对题目总数不少于3道题，则获得1分．已知组由甲、乙两名同学组成，且甲、乙两名同学答对每道题的概率分别是x和y，且每道题答对与否互不影响．(1)若，求A组在一轮比赛中获得1分的概率．(2)若，且每轮比赛互不影响，那么至少要进行多少轮比赛，才能使A组得分的数学期望始终不少于7分？精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20道题，已知该同学每道题答对的概率为0.6，每道题答对与否相互独立．若答对一题得3分，答错一题扣1分，则该同学总得分的数学期望为，方差为．2．（2024上·湖北十堰·高三统考期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图.(1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.3．（2024·全国·模拟预测）某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸引力，促进旅游业的发展，在2023年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持“公平、公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号．评选活动结束后，文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件A，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B，求，；(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区（可以重复），分别向北京、上海、广州、深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X，求X的分布列和数学期望．题型四：超几何分布的均值和方差典型例题例题1．（2024上·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X．(1)写出X的分布列，并求出和的值；(2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值．例题2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）某汽车销售店以万元每辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为万元/辆时，每年可销售辆该品牌的汽车，且每辆汽车的售价每提高千元时，年销售量就减少辆.(1)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆?(2)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为万元;若分期或期付款，其利润为万元;若分期或期付款,其利润为万元.该销售店对最近分期付叙的位购车情况进行了统计，统计结果如下表：付款方式一次性分期分期分期分期频数若X表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.例题3．（2023上·江苏南通·高三海门中学校考阶段练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.精练核心考点1．（2024上·广东潮州·高三统考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑．为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间，，，，内，统计结果如频率分布直方图所示．(1)根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；(2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组，，的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于的人数的分布列和数学期望．2．（2022上·广东广州·高三广州六中校考期末）某地区共有200个村庄，根据扶贫政策的标准，划分为贫困村与非贫困村.为了分析2018年度该地区的（国内生产总值）（单位：万元）情况，利用分层抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，并绘成如图所示的茎叶图.(1)（i）分别求样本中非贫困村与贫困村的的平均值；（ii）利用样本平均值来估算该地区2018年度的的总值.(2)若从样本中的贫困村中随机抽取4个村进行调研，设表示被调研的村中低于（i）中贫困村平均值的村的个数，求的分布列及数学期望.3．（2023·四川成都·统考二模）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植.该县农科所为了对比两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下：(1)从种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为，求的分布列及数学期望；(2)在频率分布直方图中，若平均数大于中位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算判断种茶叶的亩产量属于上述哪种类型.题型五：正态密度函数典型例题例题1．（2023下·高二课时练习）函数(其中)的图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

例题2．（2023上·高二课时练习）已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．(1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式；(2)求此公司人均月收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比．精练核心考点1．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．，B．，C．，D．，2．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率约为.(附：若随机变量服从正态分布，则，，)

题型六：特殊区间的概率典型例题例题1．（2023·全国·模拟预测）在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，记，，，经统计，某零件的尺寸大小（单位：dm）从正态分布，则（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·黑龙江·高二校联考期末）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为.参考数据：若，则.例题3．（2023下·高二课时练习）设，试求：(1)；(2)；(3).精练核心考点1．（2023下·广东广州·高二统考期末）在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.42．（2023下·安徽滁州·高二统考期末）若随机变量，，则．3．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率约为.(附：若随机变量服从正态分布，则，，)

题型七：求指定区间的概率典型例题例题1．（2024上·江西南昌·高二江西师大附中校考期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1例题2．（2023下·全国·高二校联考开学考试）若随机变量，且，则．例题3．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则．精练核心考点1．（2024上·河南焦作·高二统考期末）已知随机变量，且，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.42．（2024上·江西·高二校联考期末）已知随机变量，若，则.3．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，若，则．题型八：正态分布的实际应用典型例题例题2．（2024上·广东湛江·高三统考期末）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且.(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.例题2．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为.(1)求，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值.请根据上述信息，求：①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.参考数据：若，则.例题3．（2023·全国·模拟预测）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表：时间段频数100300mn(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为，求的分布列与期望；(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.参考数据：若，则①；②；③.精练核心考点1．（2024上·江西九江·高二统考期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有件.（注：）2．（2024·全国·模拟预测）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一学生进行“消防安全知识测试”，并且规定测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该年级“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识“达标”；否则该年级知识“不达标”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，经统计得，10名学生的平均成绩为74分，标准差为7．(1)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样本，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识是否“达标”？(2)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做某道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数，求的分布列及数学期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．3．（2023上·全国·高三专题练习）零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：零件直径（单位：厘米）零件个数1025302510已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.参考数据：；若随机变量，则，，.(1)分别求，的值；(2)试估计这批零件直径在的概率；(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数.题型九：3原则典型例题例题1．（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（

）（附：若，则，A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865例题2．（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：旅游消费支出频数1238845213810(1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；(2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.（参考数据：）例题3．（2023上·江西南昌·高二南昌十中校考阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（满分100分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示.组别频数203040603020(1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率.(2)高一学生的这次化学成绩Z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，且这次测试恰有2万名学生参加.（i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：方案1：每人均赠送25小时学习视频；方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多?请根据数据计算说明.参考数据：则，.例题4．（2020下·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）从某技术公司开发的某种产品中随机抽取件，测量这些产品的一项质量指标值(记为)，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)公司规定：当时，产品为正品；当时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利元；若是次品，则亏损元．若将样本频率视为概率，记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望；(2)由频率分布直方图可以认为，服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．①利用该正态分布，求；②某客户从该公司购买了件这种产品，记表示这件产品中该项质量指标值位于区间内的产品件数，利用①的结果，求．附：；若，则，.精练核心考点1．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）某班有45名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布，若的学生人为18，则（

）A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.352．（2024上·云南曲靖·高三校联考阶段练习）为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上．某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示．(1)用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数;(2)将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差s分别作为，的近似值），已知样本的标准差．现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取200人，记这200人中知识竞赛成绩超过89分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望；(3)从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率．参考数据：若，则，，．3．（2023上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩.(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；(2)甲､乙､丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：若，则，4．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）2015年5月，国务院印发《中国制造》，是我国由制造业大国转向制造业强国战略的行动纲领.经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在国际上有影响的制造企业.我国的造船业､光伏产业､5G等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也有了长足发展.已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产品质量指标值服从正态分布，且质量指标值在内的零件称为优等品.(1)求该企业生产的零件为优等品的概率（结果精确到0.01）；(2)从该生产线生产的零件中随机抽取5件，随机变量表示抽取的5件中优等品的个数，求的分布列､数学期望和方差.附：0.9973.第02讲7.4二项分布与超几何分布+7.5正态分布题型一：利用二项分布求分布列典型例题例题1．（2023·全国·高二课堂例题）为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X．(1)写出X的分布列；(2)求出计算机网络不会断掉的概率．【答案】(1)分布列见解析(2)0.999【分析】（1）利用二项分布的定义即可求解；（2）利用（1）的结论及离散型随机变量的分布列的性质即可求解.【详解】（1）可以看出，X服从参数为3，0.9的二项分布，即．因此，，，，从而X的分布列为X0123P0.0010.0270.2430.729（2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即，因此所求概率为．例题2．（2023下·河北唐山·高二校考期末）某种植户对一块地上的n（n∈N*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种．(1)求每个坑不需要补种的概率；(2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为2【分析】（1）先求解每个坑要补种的概率，进而求每个坑不需要补种的概率即可；（2）由题意知X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且，再利用二项分布的概率公式可求出各自对应的概率，从而可得分布列．【详解】（1）由题意可知每个坑要补种的概率，则每个坑不需要补种的概率为．（2）易知X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且，因此，，，，，所以X的分布列为：X01234P.精练核心考点1．（2023下·吉林·高二校联考期末）某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为，，.(1)求该产品的次品率；(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X，求随机变量X的分布列与方差.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式以及对立事件的概率，即可求解.（2）根据二项分布的概率公式即可求解概率，进而可得分布列以及方差.【详解】（1）产品正品的概率为：，所以为次品的概率为（2）由题意得，1，2，3，且,，，，.∴X的分布列如下：X0123P

∴2．（2023下·江苏南京·高二南京市第十三中学校考阶段练习）一盒子中有8个大小完全相同的小球，其中3个红球，4个白球，1个黑球.(1)若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率；(2)若从盒中有放回的取球3次，求取出的3个球中白球个数的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）设事件“第一次取到红球”，事件“第二次取到红球”，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得；（2）依题意服从二项分布，的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）设事件A=“第一次取到红球”，事件B=“第二次取到红球”，由于是不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，所以第一次取球有8种方法，第二次取球是7种方法，一共的基本事件数是56，由于第一次取到红球有3种方法，第二次取球是7种方法，，一次取到红球有3种方法，第二次取到红球有2种方法，，;（2）由题可知白球个数，且有，，故的分布列为：0123所以的数学期望为：.题型二：服从二项分布随机变量概率最大值典型例题例题1．（2024上·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.(1)从个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？(2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？(3)当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？【答案】(1)(2)(3)或；【分析】（1）不相邻问题插空法；（2）单独一个坑需要补播种的情况有两种，分别计算两粒种子不发芽的概率和三粒种子不发芽的概率，两者概率之和即是答案；（3）由（2）可得个坑要补播种的概率为，应用不等式法求最大概率并确定对应值即可.【详解】（1）先把个坑排好共个空，再把剩下的2个坑往空里放，共有种方案；（2）一个坑需要补播种有两种可能：两粒种子不发芽和三粒种子不发芽两粒种子发芽的概率三粒种子发芽的概率所以一个坑需要补播种的概率（3）3个坑要补播种的概率为，要想有3个坑要补播种概率最大，即满足不等式组解得：，又，所以或时，3个坑要补播种的概率最大，此时.例题2．（2024上·河南漯河·高三统考期末）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124214215220225420430(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，记取到第一阶梯电量的户数为，当时对应的概率为，求取得最大值时的值.【答案】(1)259元(2)分布列见解析，期望为(3)4【分析】（1）依题意，分段计算电价；（2）设取到第二阶梯电量的户数为，可知第二阶梯电量的用户有4户，则可取0，1，2，3，4，分别求其概率，即可列出分布列，计算期望；（3）依题意，服从二项分布，设抽到户概率最大，解不等式组，再根据即可求出.【详解】（1）（元）.（2）设取到第二阶梯电量的户数为，可知第二阶梯电量的用户有4户，则可取0，1，2，3，4，，，故的分布列为0123.（3）据题意，从全市中抽取的10户中用电量为第一阶梯的有户，则服从二项分布，可知，（注：两个不等式写出一个即可.）解得，，.当时用电量为第一阶梯的可能性最大.精练核心考点1.（多选）（2023·新疆·校联考一模）已知任一随机变量，若其数学期望，方差均存在，则对任意的正实数，有，即表示事件“”的概率下限估计值为．现有随机变量，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．C．若，则取最大值时或D．若有不低于的把握使，则的最小值为625【答案】BCD【分析】根据二项分布概率公式直接计算可判断A；根据二项分布期望公式和方差公式计算可判断B；根据题意列不等式组求解可判断C；由可得，然后利用题中结论列不等式求解即可判断D.【详解】因为，所以当时，，A错误；因为，所以，B正确；当时，则，由，解得或，C正确；若，则，，即，由题知，，由解得，D正确.故选：BCD2．（2024·云南昆明·统考一模）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.【答案】(1)0.75(2)6【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件，“一次应答被采纳”为事件，由题意，，，则，.（2）依题意，，，当最大时，有即解得：，，故当最大时，.题型三：二项分布的均值和方差典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解，进而根据二项分布的概率公式求解即可.【详解】因为，所以，解得，所以．故选：C．例题2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立.(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.【答案】(1)0.2(2)分布列见解析，数学期望为0.6【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）根据独立重复实验相关概率计算知识可得答案.【详解】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件，则事件包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，则.（2）由题可知的所有可能取值为，由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则，所以，，故的分布列为01230.5120.3840.0960.008所以.例题3．（2024·湖南邵阳·统考一模）现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为，第2台车床的正品率为，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的.(1)从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；(2)从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计的数学期望.【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件概率求解即可；（2）求出的可能取值，则服从二项分布，由二项分布的均值公式求解即可.【详解】（1）不难知，第1台加工零件的次品率为，第2台加工零件的次品率为.记事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”，事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第台车床加工的”，.则.（2）的可能取值为，且服从二项分布.由（1）知，..例题4．（2024·全国·模拟预测）某校举行数学答题比赛，比赛规则是：两人一组，每一轮比赛中，小组两人分别答2道题，若两人答对题目总数不少于3道题，则获得1分．已知组由甲、乙两名同学组成，且甲、乙两名同学答对每道题的概率分别是x和y，且每道题答对与否互不影响．(1)若，求A组在一轮比赛中获得1分的概率．(2)若，且每轮比赛互不影响，那么至少要进行多少轮比赛，才能使A组得分的数学期望始终不少于7分？【答案】(1)(2)10轮【分析】（1）由相互独立事件的概率公式计算即可得；（2）由相互独立事件的概率公式列式，结合函数性质与二项分布的期望公式计算即可得.【详解】（1）记“组在一轮比赛中获得1分”事件M，则，所以组在一轮比赛中获得1分的概率为．（2）组在一轮比赛中获得1分的概率为：，由，，，解得．所以．所以，又知组在n轮比赛中得分，所以恒成立，所以，解得，因为n为正整数，所以n至少为10，即至少要进行10轮比赛，才能使组得分的数学期望始终不少于7分．精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20道题，已知该同学每道题答对的概率为0.6，每道题答对与否相互独立．若答对一题得3分，答错一题扣1分，则该同学总得分的数学期望为，方差为．【答案】2876.8【分析】根据题意该同学答对的题目数服从二项分布，设该同学得分为，则，根据二项分布的期望和方差公式结合期望、方差的性质即可求解.【详解】设该同学答对题目的数量为，因为该同学每道题答对的概率为，共答道题，所以，所以，．设该同学总得分为，则，，．故答案为：；.2．（2024上·湖北十堰·高三统考期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图.(1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，即可得出这份样本数据的平均值；（2）由题意可知，，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值.【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，份样本数据的平均值为.（2）解：竞赛成绩不低于分的频率为，低于分的频率为.由题意可知，，，，，，，所以的分布列为期望.3．（2024·全国·模拟预测）某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸引力，促进旅游业的发展，在2023年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持“公平、公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号．评选活动结束后，文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件A，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B，求，；(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区（可以重复），分别向北京、上海、广州、深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)，(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）利用条件概率的公式及全概率公式求解即可；（2）随机变量符合二项分布的两个特点“独立性”和“重复性”，故可建立二项分布模型，按二项分布求解即可.【详解】（1）由古典概型的计算公式可得，，，由条件概率的计算公式得：，同理，则．（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4，且，；；；；．所以X的分布列为01234的数学期望．题型四：超几何分布的均值和方差典型例题例题1．（2024上·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X．(1)写出X的分布列，并求出和的值；(2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值．【答案】(1)分布列见解析，，(2)，;【分析】（1）利用组合数公式和超几何分布，先求分布列，再求数学期望和方差；（2）根据题意得，利用期望与方差的性质即可得解.【详解】（1）依题意，得，，，，所以随机变量的分布列为012；.（2）依题意，得，则，.例题2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）某汽车销售店以万元每辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为万元/辆时，每年可销售辆该品牌的汽车，且每辆汽车的售价每提高千元时，年销售量就减少辆.(1)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆?(2)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为万元;若分期或期付款，其利润为万元;若分期或期付款,其利润为万元.该销售店对最近分期付叙的位购车情况进行了统计，统计结果如下表：付款方式一次性分期分期分期分期频数若X表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)万元/辆(2)分布列见解析，【分析】（1）设销售价格提高了万元/辆，年利润为万元，表示出利润，即可得出结果；（2）利用超几何分布结合古典概型求概率，得出分布列即可求解数学期望.【详解】（1）设销售价格提高了万元/辆，年利润为万元．则由题意得年销售量为，．故当时，取最大值．此时售价为万元/辆．所以当售价为万元/辆时，年利润最大．（2）由图表可知，利润为万元的有辆，利润为万元的有辆，万元的有辆．所以，，，所以的分布列为：所以的数学期望．例题3．（2023上·江苏南通·高三海门中学校考阶段练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为【分析】（1）由题意分析可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，进而结合组合数运算求解；（2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望.【详解】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，所以.（2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，则有：，，可得的分布列为0123所以.精练核心考点1．（2024上·广东潮州·高三统考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑．为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间，，，，内，统计结果如频率分布直方图所示．(1)根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；(2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组，，的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于的人数的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；（2）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.【详解】（1）根据频率分布直方图得：．（2）由题意可知，和的频率之比为：，故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，随机变量的取值可以为，，，，，故的分布列为：0123所以.2．（2022上·广东广州·高三广州六中校考期末）某地区共有200个村庄，根据扶贫政策的标准，划分为贫困村与非贫困村.为了分析2018年度该地区的（国内生产总值）（单位：万元）情况，利用分层抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，并绘成如图所示的茎叶图.(1)（i）分别求样本中非贫困村与贫困村的的平均值；（ii）利用样本平均值来估算该地区2018年度的的总值.(2)若从样本中的贫困村中随机抽取4个村进行调研，设表示被调研的村中低于（i）中贫困村平均值的村的个数，求的分布列及数学期望.【答案】(1)（i）非贫困村的的平均值为万元；贫困村的的平均值为万元；（ii）万元(2)分布列见解析，数学期望为【分析】（1）（i）由平均数公式求解即可；（ii）由题意直接列式计算即可；（2）首先结合超几何分布的概率公式求概率，进而可得分布列，再由数学期望公式求数学期望即可.【详解】（1）（i）非贫困村的GDP的平均值为（万元）.贫困村的GDP的平均值为（万元）.（ii）∵贫困村与非贫困村的抽样比为2∶3，∴该地区贫困村的个数为80，非贫困村的个数为120，∴该地区2018年度的GDP的总值约为（万元）.（2）由题意及（i）知GDP低于贫困村GDP平均值的村有3个，则X的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，∴X的分布列为X0123P.3．（2023·四川成都·统考二模）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植.该县农科所为了对比两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下：(1)从种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为，求的分布列及数学期望；(2)在频率分布直方图中，若平均数大于中位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算判断种茶叶的亩产量属于上述哪种类型.【答案】(1)分布列见解析，(2)种茶的亩产属于“左拖尾分布”.【分析】（1）先计算亩产不低于56千克频数，然后根据超几何分布概率公式求出概率，可得分布列，再由期望公式可得；（2）根据直方图分别估算平均数和中位数，然后即可作出判定.【详解】（1）亩产不低于56千克频率为，所以，亩产不低于56千克的数据共有个，故的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为012的数学期望（2）根据以上直方图数据，茶叶亩产平均数为：，设中位数为由得，因为，所以种茶的亩产属于“左拖尾分布”.题型五：正态密度函数典型例题例题1．（2023下·高二课时练习）函数(其中)的图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项..【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D；又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.故选：A.例题2．（2023上·高二课时练习）已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．(1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式；(2)求此公司人均月收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比．【答案】(1)，.(2)34.14%【分析】（1）结合密度曲线可得，可写出密度函数的表达式；（2）由，求此公司人均月收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比．【详解】（1）设公司人均月收入为，结合题图可知，.此公司人均月收入的正态分布密度函数表达式为:，.（2），则，所以.故公司人均月收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比为34.14%.精练核心考点1．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论.【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义，结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得；且都在的右侧，即，比较和图像可得，其形状相同，即，又的离散程度比和大，所以可得；故选：B2．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率约为.(附：若随机变量服从正态分布，则，，)

【答案】30.1359【分析】直接由密度函数解析式可得的值，再由与原则求解长度误差落在内的概率.【详解】由图中密度函数解析式，可得；又由图象可知，则长度内的概率为：.故答案为：；.题型六：特殊区间的概率典型例题例题1．（2023·全国·模拟预测）在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，记，，，经统计，某零件的尺寸大小（单位：dm）从正态分布，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正态分布的对称性即可得所求.【详解】由题意知，，则，，，.结合正态曲线的对称性可得.故选：C.例题2．（2024上·黑龙江·高二校联考期末）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为.参考数据：若，则.【答案】0.84/【分析】根据题意确定，根据正态分布的对称性结合已知区间的概率，即可求得答案.【详解】由题意知，该产品服从，则，所以，即抽到“可用产品”的概率为0.84，故答案为：0.84例题3．（2023下·高二课时练习）设，试求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】根据原则和正态分布曲线的对称性依次求解即可.【详解】（1），，，.（2）.（3）.精练核心考点1．（2023下·广东广州·高二统考期末）在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】C【分析】根据正态分布对称性相关知识求解.【详解】因为服从正态分布，，所以，所以.故选：C2．（2023下·安徽滁州·高二统考期末）若随机变量，，则．【答案】【分析】根据正态分布的性质即可求解.【详解】由题意知，，，所以，，故答案为：3．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率约为.(附：若随机变量服从正态分布，则，，)

【答案】30.1359【分析】直接由密度函数解析式可得的值，再由与原则求解长度误差落在内的概率.【详解】由图中密度函数解析式，可得；又由图象可知，则长度内的概率为：.故答案为：；.题型七：求指定区间的概率典型例题例题1．（2024上·江西南昌·高二江西师大附中校考期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】D【分析】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果.【详解】由题知，曲线关于直线对称，又，所以，由曲线的对称性可知，，故选：D.例题2．（2023下·全国·高二校联考开学考试）若随机变量，且，则．【答案】0.26/【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】因为，所以．故答案为：0.26.例题3．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则．【答案】0.2【分析】随机变量服从正态分布,得到对称轴为，再由,可得,根据正态分布曲线的特点，即可得到结果.【详解】随机变量服从正态分布，可得到对称轴为，又由，则，所以.故答案为：精练核心考点1．（2024上·河南焦作·高二统考期末）已知随机变量，且，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】B【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，即可求解.【详解】根据正态分布曲线的对称性，可得.故选：B.2．（2024上·江西·高二校联考期末）已知随机变量，若，则.【答案】0.14/【分析】由正态分布的对称性即可求解.【详解】因为，所以，故答案为：0.14.3．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，若，则．【答案】0.4/【分析】根据正态分布的均值和方差画出略图，利用正态分布图的对称性即可求得.【详解】由可得，则，故，所以．故答案为：0.4.题型八：正态分布的实际应用典型例题例题2．（2024上·广东湛江·高三统考期末）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且.(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.【答案】(1)(2)2001【分析】（1）根据正态分布的性质求出的值，再结合二项分布的概率计算，即可得答案；（2）根据正态分布的对称性求出的值，确定，结合正态分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意知每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且，所以，则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为.（2）因为，所以，依题意可得，所以，因为，所以，又为正整数，所以的最小值为2001.例题2．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为.(1)求，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值.请根据上述信息，求：①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.参考数据：若，则.【答案】(1)，75万元(2)①0.683；②0.0015【分析】（1）确定以及，根据二项分布的均值公式，即可求得答案；（2）由题意确定，求出产品利润为50~100万元时X的范围以及产品亏损时的X的范围，结合正态分布的特殊区间的概率，即可求得答案.【详解】（1）由题可知，则，记该公司今年这一款保险产品利润为变量，则，所以万元.（2）因为，当较大且较小时，，则.由于较大，，其中，若该公司今年这一款保险产品利润，则，；若该公司今年这一款保险产品利润，则，.答：（1），该公司今年这一款保险产品利润的期望为75万元；（2）①该公司今年这一款保险产品利润为万元的概率为0.683；②亏损的概率为0.0015.例题3．（2023·全国·模拟预测）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表：时间段频数100300mn(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为，求的分布列与期望；(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.参考数据：若，则①；②；③.【答案】(1)分布列见解析，期望为(2)【分析】（1）根据分层抽样、超几何分布等知识求得分布列并求得数学期望.（2）先求得，然后根据正态分布的对称性求得正确答案.【详解】（1）因为，，所以，.由分层随机抽样可知，抽取的10辆车中，在9：00~9：40通过的车辆数位于时间段，这两个区间内的车辆数为，车辆数的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，所以X的分布列为所以.（2）这1000辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值，即9：04，，所以.估计在这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，，所以估计在这一时间段内通过的车辆数为.精练核心考点1．（2024上·江西九江·高二统考期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有件.（注：）【答案】【分析】根据正态分布的对称性来求得正确答案.【详解】满足正态分布，，直径在之间的零件大约有件.故答案为：2．（2024·全国·模拟预测）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一学生进行“消防安全知识测试”，并且规定测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该年级“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识“达标”；否则该年级知识“不达标”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，经统计得，10名学生的平均成绩为74分，标准差为7．(1)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样本，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识是否“达标”？(2)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做某道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数，求的分布列及数学期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】(1)高一学生知识“达标”(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）首先由题得，，再根据正态分布的对称性计算出，最后得到不合格人数，得到合格率.（2）的可能取值为0，2，5，分别计算出其概率，得到分布列，最后得到期望.【详解】（1）由，得的估计值为的估计值为7，，．高一学生知识“达标”．（2）由题意得，的可能取值为，，的分布列为0253．（2023上·全国·高三专题练习）零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：零件直径（单位：厘米）零件个数1025302510已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.参考数据：；若随机变量，则，，.(1)分别求，的值；(2)试估计这批零件直径在的概率；(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数.【答案】(1)，;(2)0.8186(3)1637【分析】（1）根据平均数与方差的公式即可求解.（2）根据正态分布的性质，结合正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.（3）根据区间上的概率计算即可.【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得：故，.（2）设表示零件直径，则，即.，由对称性得，，即.同理，，，即..故这批零件直径在的概率为0.8186.（3）由（2）知，，所以在这2000个零件中，零件的直径在的有个.题型九：3原则典型例题例题1．（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（

）（附：若，则，A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865【答案】B【分析】正态随机变量的均值方差可由二项分布的均值方差公式来近似，根据题中所给数据运算即可得解.【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为，则.由题意，且，因为，即，所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为.故选：B.例题2．（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：旅游消费支出频数1238845213810(1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；(2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.（参考数据：）【答案】(1)15.925万(2)【分析】（1），旅游费用支出在7000元以上的概率为，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7000元以上；（2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，再由独立事件的乘法公式求解即可.【详解】（1），所以旅游费用支出在7000元以上的概率为，，估计有15.925万市民旅游费用支出在7000元以上（2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，设3人总得分为4分为事件，则即3人总得分为4分的概率.例题3．（2023上·江西南昌·高二南昌十中校考阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（满分100分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示.组别频数203040603020(1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率.(2)高一学生的这次化学成绩Z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，且这次测试恰有2万名学生参加.（i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：方案1：每人均赠送25小时学习视频；方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生