第02讲4.3对数+4.4对数函数(原卷版+解析)

第02讲4.3对数+4.4对数函数目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查指数式与对数式相互转换 1题型二：重点考查对数运算和化简求值 2题型三：重点考查换底公式的应用 4题型四：重点考查有附加条件的对数求值问题 5题型五：重点考查对数（对数型复合函数）函数定义域 6题型六：重点考查对数函数（对数型复合函数）图象问题 7题型七：重点考查求对数函数（对数型复合函数）的值域 9题型八：重点考查根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 12题型九：重点考查对数型复合函数的单调性 13题型一：重点考查指数式与对数式相互转换典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则，，的大小排序为（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·高一课时练习）若，则例题3．（2023秋·全国·高一专题练习）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3)精练核心考点1．（多选）（2023秋·湖南长沙·高二雅礼中学校考开学考试）已知，则a，b满足（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的值为．3．（2023·全国·高一专题练习）已知，求的值．题型二：重点考查对数运算和化简求值典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）计算＝．例题2．（2023·江苏·高一专题练习）计算下列各式的值：(1)；(2)例题3．（2023秋·江苏·高一专题练习）计算下列各式的值(1)；(2)；例题4．（2023春·新疆喀什·高二校考期末）计算下列各式的值：(1)；(2).精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）计算：2．（2023·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2).3．（2023秋·广东湛江·高三校考阶段练习）计算：(1)；(2).4．（2023·全国·高一专题练习）计算：.题型三：重点考查换底公式的应用典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）若，则下列各式的值等于1的是（）A． B． C． D．例题2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·广东揭阳·高一统考期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则的值为（

）A． B．3 C．4 D．82．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，，求.（用表示）（2）已知，，求.（用表示）题型四：重点考查有附加条件的对数求值问题典型例题例题1．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知，则（

）A． B．2 C． D．例题2．（多选）（2023秋·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知实数，，满足，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．例题3．（2023·上海·高一专题练习）（1）已知，，是不等于1的正数，且，，求；（2）已知，且，求．精练核心考点1．（多选）（2023秋·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期中）已知，则（

）A． B． C．D．2．（多选）（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．3．（2023秋·全国·高一专题练习）已知，，求.（用表示）题型五：重点考查对数（对数型复合函数）函数定义域典型例题例题1．（2023秋·宁夏固原·高三校考阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）函数的定义域为．例题3．（2023·上海·高一专题练习）求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)；(4)．精练核心考点1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）函数的定义域为．2．（2023秋·北京通州·高三潞河中学校考阶段练习）函数的定义域为；3．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)．题型六：重点考查对数函数（对数型复合函数）图象问题典型例题例题1．（2023春·云南红河·高一校考期中）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（

）A．B．C． D．例题2．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

例题3．（2023·全国·模拟预测）函数在区间上的大致图象为（

）A． B．C． D．精练核心考点1．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·上海·高一专题练习）函数与（其中）的图象只可能是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023·河南信阳·统考模拟预测）函数的大致图象不可能为（

）A．

B．

C．

D．

题型七：重点考查求对数函数（对数型复合函数）的值域典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，在上的值域为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；(2)若函数的值域为，求实数的取值范围.例题3．（2023秋·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考期末）求函数的值域.例题4．（2023春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考开学考试）已知函数.(1)设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式;(2)当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值.例题5．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·高二校联考期末）已知（且），且.(1)求a的值及的定义域；(2)求在上的值域.精练核心考点1．（2023秋·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知函数.(1)求方程的根；(2)求在上的值域.2．（2023秋·高一课时练习）求函数的值域．3．（2023秋·宁夏银川·高一银川二中校考期末）设（且）.(1)若，求实数的值及函数的定义域；(2)若，求函数的值域.4．（2023春·北京·高一校考期中）已知函数．(1)判断的奇偶性；(2)若，求的取值范围；(3)当时，求的值域．5．（2023秋·河南郑州·高一校考阶段练习）求函数，的值域.题型八：重点考查根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数典型例题例题1．（2023春·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则的取值范围是．例题3．（2023秋·河北保定·高一校考期末）已知函数（且）的图像与函数的图像关于直线对称．(1)若点在函数的图像上，求实数的值；(2)已知，函数．若的最大值为8，求实数的值．精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）若函数的值域为R，则实数m的取值范围是．2．（2023秋·四川成都·高一成都实外校考期末）函数的值域是，则的定义域可以是3．（2023秋·湖南常德·高二校考期中）若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为.4．（2023春·江西宜春·高一校联考期中）已知是对数函数，且.(1)求的解析式；(2)解不等式；(3)若对于任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围.题型九：重点考查对数型复合函数的单调性典型例题例题1．（2023秋·江西上饶·高三上饶市第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考开学考试）函数的单调递减区间是．例题3．（2023·全国·高一专题练习）求函数单调减区间.例题4．（2023秋·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）若函数且在是减函数，则实数的取值范围是．精练核心考点1．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）若幂函数过点，则函数的单调减区间是.3．（2023秋·重庆·高三校联考开学考试）若函数在上单调递减，则a的取值范围.4．（2023秋·上海松江·高三校考阶段练习）若函数在区间上为严格减函数，则的取值范围是.

第02讲4.3对数+4.4对数函数目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查指数式与对数式相互转换 1题型二：重点考查对数运算和化简求值 3题型三：重点考查换底公式的应用 7题型四：重点考查有附加条件的对数求值问题 9题型五：重点考查对数（对数型复合函数）函数定义域 11题型六：重点考查对数函数（对数型复合函数）图象问题 14题型七：重点考查求对数函数（对数型复合函数）的值域 17题型八：重点考查根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 23题型九：重点考查对数型复合函数的单调性 27题型一：重点考查指数式与对数式相互转换典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则，，的大小排序为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】方法一：设.则，，，又，所以，可得.方法二：由.得，即，可得.故选：D例题2．（2023秋·高一课时练习）若，则【答案】【详解】解：由，可得，所以，故答案为：．例题3．（2023秋·全国·高一专题练习）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3)【答案】(1)；(2)；(3).【详解】（1）由，可得，∴.（2）由，可得.∴.（3）由，可得，∴，∴.精练核心考点1．（多选）（2023秋·湖南长沙·高二雅礼中学校考开学考试）已知，则a，b满足（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】由，则，则，所以，所以A正确；，所以B不正确；由，因为，故等号不成立，则，故C正确；因为，故等号不成立，故D正确.故选：ACD.2．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的值为．【答案】【详解】因为，所以，所以.故答案为：3．（2023·全国·高一专题练习）已知，求的值．【答案】-1【详解】由可得：，故.题型二：重点考查对数运算和化简求值典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）计算＝．【答案】25【详解】故答案为：25例题2．（2023·江苏·高一专题练习）计算下列各式的值：(1)；(2)【答案】(1)1(2)．【详解】（1）原式．（2）例题3．（2023秋·江苏·高一专题练习）计算下列各式的值(1)；(2)；【答案】(1)98；(2).【详解】（1）原式.（2）.例题4．（2023春·新疆喀什·高二校考期末）计算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)；(2)3.【详解】（1）原式.（2）原式.精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）计算：【答案】/【详解】,故答案为：2．（2023·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【详解】（1）原式.（2）原式.3．（2023秋·广东湛江·高三校考阶段练习）计算：(1)；(2).【答案】(1)3(2)2【详解】（1）（2）4．（2023·全国·高一专题练习）计算：.【答案】13【详解】因为.题型三：重点考查换底公式的应用典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）若，则下列各式的值等于1的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，所以，，所以.故选：B.例题2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，，由，所以，由，而，则，所以，综上：.故选：B例题3．（2023春·广东揭阳·高一统考期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，，根据对数的性质可得，即，注意到，于是，故，解得，故.故选：A精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则的值为（

）A． B．3 C．4 D．8【答案】B【详解】由，可得，则故选：B2．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当，时，有，则，所以.所以，所以，即．故选：B.3．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，，求.（用表示）（2）已知，，求.（用表示）【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为，所以，所以.（2）因为，所以，所以.题型四：重点考查有附加条件的对数求值问题典型例题例题1．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知，则（

）A． B．2 C． D．【答案】D【详解】，，，.故选：D.例题2．（多选）（2023秋·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知实数，，满足，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】因为，，，所以，，，对于A选项：因为，则，即，所以，故A选项正确；对于B选项：，故B选项正确；对于C选项：，因为，所以，又，所以，即，所以，故C选项错误；对于D选项：因为，，所以，故D选项正确；故选：ABD.例题3．（2023·上海·高一专题练习）（1）已知，，是不等于1的正数，且，，求；（2）已知，且，求．【答案】（1）1；（2）【详解】（1）设，，，，，，，即．（2），，，且，，又，则．精练核心考点1．（多选）（2023秋·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期中）已知，则（

）A． B． C．D．【答案】ABD【详解】由题意可知：，对于选项A：因为，则，即，可得，即，所以，故A正确；对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立，又因为，则，解得，所以，故B正确；对于选项C：因为，所以，故C错误；对于选项D：设，则，所以，故D正确．故选：ABD.2．（多选）（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】对A，由，可得，所以A错误；对B，由，得，因为，所以，所以B正确；对C，由，，可得，，所以，所以C正确；对D，由，，可得，因为，所以等号不成立，所以，又，所以，所以D正确.故选：BCD3．（2023秋·全国·高一专题练习）已知，，求.（用表示）【答案】【详解】因为，所以，所以.题型五：重点考查对数（对数型复合函数）函数定义域典型例题例题1．（2023秋·宁夏固原·高三校考阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得，解得，所以函数的定义域为.故选：A.例题2．（2023秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）函数的定义域为．【答案】【详解】要使有意义，则，即，解得或，即函数的定义域为.故答案为：.例题3．（2023·上海·高一专题练习）求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）令，得，所以函数的定义域为；（2）函数的定义域需满足，解得：，所以函数的定义域为；（3）令，得，所以函数的定义域为；（4）令，即，得，所以函数的定义域为.精练核心考点1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）函数的定义域为．【答案】【详解】由题知，，，解得所以函数的定义域为.故答案为：.2．（2023秋·北京通州·高三潞河中学校考阶段练习）函数的定义域为；【答案】【详解】由函数有意义，则满足，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.3．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3).【详解】（1）要使函数有意义，则，即，故，即函数的定义域为；（2）函数若有意义，需满足，解得，故函数的定义域为；（3）由题意得，解得，故函数的定义域为.题型六：重点考查对数函数（对数型复合函数）图象问题典型例题例题1．（2023春·云南红河·高一校考期中）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（

）A．B．C． D．【答案】C【详解】由题意，根据函数的图象，可得，根据指数函数的图象与性质，结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合.故选：C.例题2．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】的定义域为且，因为，所以为奇函数，排除A，D，当时，，B错误，故选：C.例题3．（2023·全国·模拟预测）函数在区间上的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，且，所以函数为奇函数，故排除A，B．当时，，，，所以；当时，，，，所以．故排除D．故选：C．精练核心考点1．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】函数定义域为，，所以是非奇非偶函数，排除A、B，函数的零点是，当时，，排除D．故选：C．2．（2023·上海·高一专题练习）函数与（其中）的图象只可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【详解】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误；对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意；对于C，时，为上增函数，图象错误；对于D，时，为上增函数，图象错误；故选：B3．（2023·河南信阳·统考模拟预测）函数的大致图象不可能为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【详解】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，当时，为减函数，且过定点，故函数的大致图象不可能为BCD选项.故选：BCD.题型七：重点考查求对数函数（对数型复合函数）的值域典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，在上的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数，，令，则.所以原函数转化为,又对称轴为，所以当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值为，所以所求函数的值域为，

故选：A．例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；(2)若函数的值域为，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1），因为函数的定义域为，所以，恒成立.当时，，解得，不满足题意，当时，a>0Δ=9−4a<0，解得.综上：.（2）设，值域为，因为函数的值域为，所以.当时，，，，符合题意.当时，，所以.综上：.例题3．（2023秋·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考期末）求函数的值域.【答案】【详解】当时，，令，则，这是一个开口向上的二次函数，对称轴为，所以当时，取得最小值为；当时，取得最大值为.所以函数的值域为，也即函数的值域为.例题4．（2023春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考开学考试）已知函数.(1)设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式;(2)当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，当时，，∴又∵为奇函数，∴当时，，又∵是定义域在上的奇函数，∴，综上所述，函数的解析式为.（2）当时，，，∴令，当时，，设，，∵，∴由二次函数知识知，当时，最小值为，令，解得（舍）或，∴当时，函数（其中）的最小值为，则实数的值为.例题5．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·高二校联考期末）已知（且），且.(1)求a的值及的定义域；(2)求在上的值域.【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：由得，即，所以，解得，所以，由，解得，故的定义域为；（2）解：由（1）及条件知，设，，则当时，，当时，；当时，，所以当时，，即，所以，，所以在的值域为.精练核心考点1．（2023秋·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知函数.(1)求方程的根；(2)求在上的值域.【答案】(1)(2)【详解】（1），故，，所以，解得；（2）令，当时，，故，由于在上单调递增，故，由复合函数单调性可知，在上单调递增，故.2．（2023秋·高一课时练习）求函数的值域．【答案】【详解】，解得，又因为，所以，故，则函数的值域为.3．（2023秋·宁夏银川·高一银川二中校考期末）设（且）.(1)若，求实数的值及函数的定义域；(2)若，求函数的值域.【答案】(1)，定义域为；(2).【详解】（1）由，解得，所以，由解得，所以定义域为.（2）由（1）可知函数的定义域为，因为，因为函数在单调递增，单调递减，又因为，所以在单调递增，单调递减，且，所以函数的值域为.4．（2023春·北京·高一校考期中）已知函数．(1)判断的奇偶性；(2)若，求的取值范围；(3)当时，求的值域．【答案】(1)奇函数(2)(3)【详解】（1）由得，故的定义域为，而，故为奇函数，（2）由，得，解得，故原不等式的解集为（3）当时，，故的值域为5．（2023秋·河南郑州·高一校考阶段练习）求函数，的值域.【答案】【详解】.设，且，故，则且，图象的对称轴为，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴当时，，当时，.∴的值城为.题型八：重点考查根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数典型例题例题1．（2023春·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，为开口向上的抛物线，对称轴为函数在区间上有最小值，则在上先减后增，所以，解得.故选：A.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则的取值范围是．【答案】【详解】对任意的，，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，因为函数的值域为，则，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.例题3．（2023秋·河北保定·高一校考期末）已知函数（且）的图像与函数的图像关于直线对称．(1)若点在函数的图像上，求实数的值；(2)已知，函数．若的最大值为8，求实数的值．【答案】(1)(2)或【详解】（1）因为函数（且）的图像与函数的图像关于直线对称，所以，又因为点在函数的图像上，所以，解得.（2），令，当时，由可得，二次函数的对称轴为，所以最大值为，解得或（舍去）；当时，由可得，二次函数的对称轴为，所以最大值为，解得（舍去）或；综上，实数的值为或.精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）若函数的值域为R，则实数m的取值范围是．【答案】【详解】依题意，函数的值域为R，所以，解得.故答案为：2．（2023秋·四川成都·高一成都实外校考期末）函数的值域是，则的定义域可以是【答案】（答案不唯一）【详解】由，解得.令，则，令，画出的图象如下图所示，，由解得，要使的值域为，的范围可取，其中则，解得，所以的定义域为，，取定义域为，故答案为：（答案不唯一）3．（2023秋·湖南常德·高二校考期中）若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为.【答案】/【详解】由题意知，，解得，因为，因为，则，又因为的最小值为－4，则，所以，即，得，因为，所以.故答案为：.4．（2023春·江西宜春·高一校联考期中）已知是对数函数，且.(1)求的解析式；(2)解不等式；(3)若对于任意的实数，都有恒成立，求