第1讲条件概率、全概率公式、离散型随机变量及其分布列(练透重点题型)(原卷版+解析)

第1讲条件概率、全概率公式、离散型随机变量及其分布列(重点题型方法与技巧)目录类型一：计算条件概率类型二：条件概率性质的应用类型三：全概率公式类型四：贝叶斯公式类型五：列出离散型随机变量的分布列类型六：两点分布类型七：新定义题类型一：计算条件概率典型例题例题1．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件为“取到的两个为同一种馅”，事件为“取到的两个均为豆沙馅”，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023·上海·高三专题练习）小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“4个人去的景点不完全相同”，事件为“小赵独自去一个景点”，则______.例题4．（2023·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.同类题型演练1．（2023·全国·高二专题练习）从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取3次，每次抽1张．若前两次抽到K，则第三次抽到A的概率为（

）．A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件为4名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则（

）A． B． C． D．3．（2022春·陕西宝鸡·高二统考期末）小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了鸡峰山、吴山、天台山、灵山四个景点的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件A为“4个人去的景点互不相同”，事件B为“只有小赵去了吴山景点”，则________．4．（2023·全国·高二专题练习）5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，______．从①抽出的题不再放回，②抽出的题放回这两个条件中任选一个补充在横线上，并作答．(1)求第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；(2)求在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率．类型二：条件概率性质的应用典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）在某次考试中，要从20道题中随机地抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中的5道就获得“优秀”．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得“优秀”的概率为__．例题2．（2023秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考期末）有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.同类题型演练1．（2023·全国·高二专题练习）为迎接建党100周年，某单位准备了五面彩旗，其中粉色一面，黄色、绿色各两面，从中随机任取两面，若取得的两面中有一面是黄色，则另一面是粉色或绿色的概率为______．类型三：全概率公式典型例题例题1．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.①事件，相互独立；②；③；④；⑤．例题3．（2023·高二课时练习）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率为______．例题4．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲､乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为，在第二轮比赛中答对题的概率都为.且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲､乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲､乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.(1)求，的值；(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.同类题型演练1．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（

）A．0.032 B．0.048 C．0.05 D．0.152．（2023·全国·高三专题练习）某射击小组共有25名射手，其中一级射手5人，二级射手10人，三级射手10人，若一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.8，0.4，则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为（

）A．0.48 B．0.66 C．0.70 D．0.753．（2023·全国·高二专题练习）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为______．4．（2023·全国·高三专题练习）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．(1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率；(2)先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．类型四：贝叶斯公式典型例题例题1．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（

）A． B． C． D．例题2．（多选）（2022·全国·高一假期作业）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（

）A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B．任取一个零件是次品的概率为0.053C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为，女性色盲患者出现的概率为.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？同类题型演练1．（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为______．3．（2022·全国·高三专题练习）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．类型五：列出离散型随机变量的分布列典型例题例题1．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）甲、乙两个学校进行球类运动比赛,比赛共设足球、篮球、排球三个项目,每个项目胜方得100分,负方得0分,没有平局,三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.5,各项目比赛互不影响.(1)求乙获得冠军的概率;(2)用表示甲校的总得分,求的分布列例题2．（2023·全国·高三专题练习）灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛都分出了胜负．(1)求比赛结束时乙获胜的概率；(2)比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量，求随机变量的分布列．例题3．（2023·全国·高三专题练习）为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲､乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬币，若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立.(1)求乙同学最终得10分的概率；(2)记为甲同学的最终得分，求的分布列同类题型演练1．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列；2．（2023·全国·高二专题练习）2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游戏，游戏规则如下：参与对战的双方每次从装有3个白球和2个黑球（这5个球的大小、质量均相同，仅颜色不同）的盒子中轮流不放回地摸出1球，摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束，得到最后1个黑球的一方获胜．设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X．(1)求随机变量X的概率分布；(2)求先摸球的一方获胜的概率，并判断这场游戏是否公平．3．（2023·全国·高二专题练习）在某工厂年度技术工人团体技能大赛中，有甲､乙两个团体进行比赛，比赛分两轮，每轮比赛必有胜负，没有平局.第一轮比赛甲团体获胜的概率为0.6，第二轮比赛乙团体获胜的概率为0.7，第一轮获胜团体有奖金5000元，第二轮获胜团体有奖金8000元，未获胜团体每轮有1000元鼓励奖金.（1）求甲团体至少胜一轮的概率；（2）记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为元，求的分布列.类型六：两点分布典型例题例题1．（2022·高二课时练习）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高二专题练习）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列．同类题型演练1．（2022·高二课时练习）设随机变量X服从两点分布，若，则______．2．（2022·高二单元测试）随机变量的分布列如图所示，则_________.01类型七：新定义题1．（2022·高二单元测试）“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，n阶幻方（，）是由前个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数之和为15”为事件A，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件B，则（

）816357492A． B． C． D．2．（2022秋·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考阶段练习）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A． B． C． D．3．（2022秋·重庆北碚·高三重庆市朝阳中学校考开学考试）宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦.”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，良为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（

）A． B． C． D．4．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有两根阳线”，“有一卦恰有一根阳线”，则（

）,A． B． C． D．5．（2022·高二课时练习）河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（

）A． B． C． D．第1讲条件概率、全概率公式、离散型随机变量及其分布列(重点题型方法与技巧)目录类型一：计算条件概率类型二：条件概率性质的应用类型三：全概率公式类型四：贝叶斯公式类型五：列出离散型随机变量的分布列类型六：两点分布类型七：新定义题类型一：计算条件概率典型例题例题1．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A，“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，则由题意可得，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为．故选：．例题2．（2023·全国·高三专题练习）端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件为“取到的两个为同一种馅”，事件为“取到的两个均为豆沙馅”，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意不妨设2个蜜枣馅为：A，B，3个为腊肉馅为：a,b,c，4个为豆沙馅：1，2，3，4，则事件A为“取到的两个为同一种馅”，对应的事件为:AB,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34,所以，事件AB为“取到的两个为同一种馅，均为豆沙馅”，对应的事件为：12,13,14,23,24,34,所以，所以，故选：C例题3．（2023·上海·高三专题练习）小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“4个人去的景点不完全相同”，事件为“小赵独自去一个景点”，则______.【答案】【详解】小赵独自去一个景点,则有4个景点可选,其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择,可能性为种，所以小赵独自去一个景点的可能性为种,因为4个人去的景点不完全相同的可能性为种,所以.故答案为：.例题4．（2023·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设第1次抽到舞蹈节目为事件，第2次抽到舞蹈节目为事件，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件，从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为，根据分步计数原理有，所以.（2）由(1)知，，所以.（3）由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为.同类题型演练1．（2023·全国·高二专题练习）从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取3次，每次抽1张．若前两次抽到K，则第三次抽到A的概率为（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】法一：因为第三次抽牌时，扑克牌有50张，牌A有4张，所以抽到A的概率为；法二：记“前两次抽到K”为事件B，“第三次抽到A”为事件A，由于不放回的抽牌，故几次抽牌相互独立，故有，，所以.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件为4名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】事件为“名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则，，，故选A.3．（2022春·陕西宝鸡·高二统考期末）小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了鸡峰山、吴山、天台山、灵山四个景点的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件A为“4个人去的景点互不相同”，事件B为“只有小赵去了吴山景点”，则________．【答案】【详解】解：只有小赵去了吴山景点共有种情况，即，4个人去的景点互不相同且小赵去了吴山景点的情况有种，即，故答案为：4．（2023·全国·高二专题练习）5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，______．从①抽出的题不再放回，②抽出的题放回这两个条件中任选一个补充在横线上，并作答．(1)求第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；(2)求在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：若选①设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，则，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率．若选②设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，则，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率．（2）解：若选①由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率．若选②由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.类型二：条件概率性质的应用典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）在某次考试中，要从20道题中随机地抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中的5道就获得“优秀”．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得“优秀”的概率为__．【答案】【详解】设“他能答对其中的6道题”为事件A，“他能答对其中的5道题”为事件B，“他能答对其中的4道题”为事件C，设“他考试通过”为事件D，“他考试获得优秀”为事件E．则由题意可得D＝A∪B∪C，E＝A∪B，且A、B、C两两互斥．．又，，∴．故答案为：．例题2．（2023秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考期末）有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.【答案】【详解】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，又，，，故.故答案为：.同类题型演练1．（2023·全国·高二专题练习）为迎接建党100周年，某单位准备了五面彩旗，其中粉色一面，黄色、绿色各两面，从中随机任取两面，若取得的两面中有一面是黄色，则另一面是粉色或绿色的概率为______．【答案】【详解】设事件A为“其中一面是黄色”，事件B为“另一面是粉色”，事牛C为“另一面是绿色”，事件D为“另一面是粉色或绿色”，则且B与C互斥，又，，，故．故答案为：类型三：全概率公式典型例题例题1．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设事件“冬季去吉林旅游”，事件“夏季去吉林旅游”，事件“去了一眼望三国”，则，，在冬季去了“一眼望三国”的概率，在夏季去了“一眼望三国”的概率，所以去了“一眼望三国”的概率，故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.①事件，相互独立；②；③；④；⑤．【答案】③④⑤【详解】依题意，，和是两两互斥事件，，，又，①②错误；又，，，③④正确；，⑤正确；故答案为：③④⑤.例题3．（2023·高二课时练习）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率为______．【答案】【详解】设B={从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，{提出的一台是第i车间生产的产品}，，则，因为第1，2车间生产的成品比例为2:3，所以，又因为第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，所以，所以，，故答案为：例题4．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲､乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为，在第二轮比赛中答对题的概率都为.且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲､乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲､乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.(1)求，的值；(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.【答案】(1)(2)（1）设分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件.因为在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，所以，即，解得.（2）由已知得，，，，设为“6星队'在一次比赛中的总得分为5分"，则，则，所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是.同类题型演练1．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（

）A．0.032 B．0.048 C．0.05 D．0.15【答案】B【详解】设事件为“此人是流感患者”，事件分别表示此人来自三个地区，由已知可得，，由全概率公式得故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）某射击小组共有25名射手，其中一级射手5人，二级射手10人，三级射手10人，若一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.8，0.4，则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为（

）A．0.48 B．0.66 C．0.70 D．0.75【答案】B【详解】设表示选到i级射手的事件，B表示任选一名射手能通过选拔进入比赛的事件，则,,故任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为,故选：B3．（2023·全国·高二专题练习）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为______．【答案】0.625##【详解】解：设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，则，，，．故答案为：0.625．4．（2023·全国·高三专题练习）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．(1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率；(2)先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．【答案】(1)(2)（1）解：依题意从个球中取4个球有中取法，其中4个球中恰好有个红球，即恰好有个红球、个白球，有种取法，所以4个球中恰好有2个红球的概率；（2）解：记为从乙袋中取出个红球、个白球，为从乙袋中取出个红球，为从甲袋中取出个红球，所以，，所以，，所以类型四：贝叶斯公式典型例题例题1．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为抽到的次品可能来自于，两条生产线，设“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品来自生产线”，“抽到的一件产品是次品”，则，由全概率公式得，所以它来自生产线的概率是.故选：B例题2．（多选）（2022·全国·高一假期作业）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（

）A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B．任取一个零件是次品的概率为0.053C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为【答案】BCD【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，对于选项，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故错误；对于选项，任取一个零件是次品的概率为，故正确；对于选项，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为，故正确；对于选项，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为，故正确；故选：．例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为，女性色盲患者出现的概率为.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？【答案】【详解】解：以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.由题意，知，，.由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为.所以此人是男性的概率是.同类题型演练1．（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设事件：第一次取出的是语文书，事件：第二次取出的是数学书，则.故选：D2．（2023·全国·高二专题练习）李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为______．【答案】【详解】设事件表示“邻居记得浇水”，表示“邻居忘记浇水”，表示“花还活着”，由题意得，，，，，则．故答案为：.3．（2022·全国·高三专题练习）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．【答案】【详解】设表示“中途停车修理”，表示“经过的是货车”，表示“经过的是客车”，则，由题意得，，，，，由贝叶斯公式得，．类型五：列出离散型随机变量的分布列典型例题例题1．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）甲、乙两个学校进行球类运动比赛,比赛共设足球、篮球、排球三个项目,每个项目胜方得100分,负方得0分,没有平局,三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.5,各项目比赛互不影响.(1)求乙获得冠军的概率;(2)用表示甲校的总得分,求的分布列【答案】(1)0.5(2)分布列见解析【详解】（1）解:由题知,乙获得冠军时,需要乙在两个项目中获胜或三个项目均获胜,乙在两个项目中获胜的概率,乙在三个项目均获胜的概率,故乙获得冠军的概率;（2）由题分析可得,的所有可能取值为0,100,200,300,,,,,所以的分布列如下：01002003000.120.380.380.12例题2．（2023·全国·高三专题练习）灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛都分出了胜负．(1)求比赛结束时乙获胜的概率；(2)比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量，求随机变量的分布列．【答案】(1)(2)答案见解析（1）比赛结束时，乙获胜有三种情况：①第一局甲胜，第二局乙胜，第三局乙胜，②第一局乙胜，第二局甲胜，第三局乙胜，③第一局，第二局2胜，∴比赛结束时乙获胜的概率；（2）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，，，．∴X的分布列为X012例题3．（2023·全国·高三专题练习）为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲､乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬币，若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立.(1)求乙同学最终得10分的概率；(2)记为甲同学的最终得分，求的分布列【答案】(1)(2)分布列见解析【详解】（1）记“乙同学最终得10分”为事件A，则可能情况为甲回答两题且错两题；甲､乙各答一题且各对一题；乙回答两题且对一题错一题，则，所以乙同学得10分的概率是.（2）甲同学的最终得分X的所有可能取值是0，5，10，15，20.，，，，.X的分布列为X05101520P同类题型演练1．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列；【答案】(1)(2)答案见解析（1）因为第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，所以;（2）由题意，可取0，1，2.P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝.故ξ的分布列为：ξ012P2．（2023·全国·高二专题练习）2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游戏，游戏规则如下：参与对战的双方每次从装有3个白球和2个黑球（这5个球的大小、质量均相同，仅颜色不同）的盒子中轮流不放回地摸出1球，摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束，得到最后1个黑球的一方获胜．设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X．(1)求随机变量X的概率分布；(2)求先摸球的一方获胜的概率，并判断这场游戏是否公平．【答案】(1)答案见解析(2)不公平【详解】（1）（1）由题可得，X的所有可能取值为2，3，4，且，，，X的分布列为X234P（2）（2）先摸球的一方获胜，包括以下几种情况：双方共摸3次球，出现白黑黑、黑白黑、白白白这三种情况，即，双方共摸4次球，出现的恰好是三白一黑且前三次必定出现一次黑球的情形，概率为，所以先摸球的一方获胜的概率为．因为，所以这场游戏是不公平的．3．（2023·全国·高二专题练习）在某工厂年度技术工人团体技能大赛中，有甲､乙两个团体进行比赛，比赛分两轮，每轮比赛必有胜负，没有平局.第一轮比赛甲团体获胜的概率为0.6，第二轮比赛乙团体获胜的概率为0.7，第一轮获胜团体有奖金5000元，第二轮获胜团体有奖金8000元，未获胜团体每轮有1000元鼓励奖金.（1）求甲团体至少胜一轮的概率；（2）记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为元，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析.【详解】（1）第一轮甲胜第二轮乙胜的概率为，第一轮乙胜第二轮甲胜的概率为，第一轮甲胜第二轮甲胜的概率，故甲团体至少胜一轮的概率为；（2）由已知可得的可能取值为2000，6000，9000，13000，则，，，，所以的分布列如下：200060009000130000.180.120.420.28类型六：两点分布典型例题例题1．（2022·高二课时练习）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，因为，所以故选：C例题2．（2023·全国·高二专题练习）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列．【答案】分布列见解析【详解】解：由题设知服从两点分布，且，．所以的分布列为01同类题型演练1．（2022·高二课时练习）设随机变量X服从两点分布，若，则______．【答案】0.6【详解】随机变量X服从两点分布，则，又，联立解得．故答案为：0.6.2．（2022·高二单元测试）随机变量的分布列如图所示，则_________.01【答案】【详解】解：由题意可得，，则，所以，．故答案为：．类型七：新定义题1．（2022·高二单元测试）“幻方”最早记载于我国公元前5