第01讲空间向量及其运算(1.1~1.3)(原卷版+解析)

第01讲1.1空间向量及其运算+1.2空间向量基本定理+1.3空间向量及其坐标运算目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查空间向量共线（三点共线） 1题型二：重点考查空间向量共面（四点共面） 2题型三：重点考查用基底表示向量 4题型四：重点考查空间向量数量积及其应用 6题型五：重点考查空间向量模 7题型六：重点考查空间向量平行，垂直的坐标表示 8题型七：重点考查空间向量夹角 9题型八：重点考查投影向量 10题型九：重点考查空间向量中的新文化新定义题 11题型一：重点考查空间向量共线（三点共线）典型例题例题1．（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，，则（）A．当时，点在棱上 B．当时，点在棱上C．当时，点在线段上 D．当时，点在线段上例题2．（2023·全国·高二专题练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且，，三点共线，求实数的值．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知三点共线，为空间任意一点，，则.2．（2023·全国·高二专题练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为.题型二：重点考查空间向量共面（四点共面）典型例题例题1．（2023·上海·高二专题练习）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（

）A．点是唯一的，且一定与共面B．点不唯一，但一定与共面C．点是唯一的，但不一定与共面D．点不唯一，也不一定与共面例题2．（2023·全国·高二专题练习）在下列条件中，能使与，，一定共面的是（

）A． B．C． D．例题3．（2023秋·新疆·高二校联考期末）已知空间任意一点和不共线的三点，若，则“”是“四点共面”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件例题4．（2023·全国·高二专题练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（

）A．1 B． C．2 D．例题5．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2精练核心考点1．（2023春·高一课时练习）已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（

）A．，共线 B．，共线C．，，共面 D．，，不共面2．（2023·全国·高二专题练习）若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（

）A． B． C． D．3．（多选）（2023·全国·高二专题练习）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（）A． B．C． D．4．（2023秋·全国·高二阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则．5．（2023·全国·高二专题练习）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为．题型三：重点考查用基底表示向量典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，例题2．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（

）A． B．C． D．例题3．（2023·江苏·高二专题练习）在三棱锥中，为内一点，若，，，则（

）A． B．C． D．例题4．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形中，、分别是、的重心，为的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.

精练核心考点1．（2023春·海南海口·高一海南中学校考期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的一个基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2023春·高二课时练习）如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在平行六面体中，P为与的交点，若，，，则（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·高二专题练习）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则．题型四：重点考查空间向量数量积及其应用典型例题例题1．（2023秋·湖北随州·高二随州市第一中学校考阶段练习）若向量、的坐标满足，，则等于（

）A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7例题2．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）正四面体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为（

）A． B． C． D．

例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．例题4．（2023春·安徽六安·高一六安一中校考期末）平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为．精练核心考点1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）如图，在四面体中，，，，.则（

）

A． B． C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高二专题练习）已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高二专题练习）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为.题型五：重点考查空间向量模典型例题例题1．（2023秋·全国·高二期中）如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，，且，则线段的长为（

）

A．9 B． C． D．例题2．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第二十五中学校考开学考试）已知正方体的棱长为3，分别在上，且，则（

）A．3 B． C． D．4例题3．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（

）A． B． C．0 D．例题4．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（

）A．1 B． C． D．2精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则．2．（2023秋·高二课时练习）已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（

）A． B．133 C． D．613．（2023秋·高二课时练习）在正四棱锥中，，在棱上，在直线上，则的最小值是（

）A． B． C． D．4．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点（不含端点），R是直线AD上的点，满足平面，，则的最小值为.

题型六：重点考查空间向量平行，垂直的坐标表示典型例题例题1．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考开学考试）已知空间向量，若，则（）A． B．C． D．例题2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）向量，若，且，则的值为（）A．或1 B．1 C．3或 D．3或1例题3．（2023·全国·高二专题练习）在长方体中，已知，，若在线段上存在点，使得，则实数的取值范围是．精练核心考点1．（2023春·贵州贵阳·高二校考开学考试）设x，,向量，且，则的值为（）A．-1 B．1 C．2 D．32．（2023秋·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（

）.A．1 B． C． D．3．（2023·全国·高二专题练习）向量，，，且，，则.题型七：重点考查空间向量夹角典型例题例题1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二校考期末）已知，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·高二课时练习）已知，，，，，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·高二单元测试）已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是．例题4．（2023春·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）已知向量，，若，的夹角为120°，则．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知，，三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且=x+2x+4，则的夹角为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）已知向量，单位向量满足，则，的夹角为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）已知向量，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为.题型八：重点考查投影向量典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·江西·高一校联考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B．C． D．例题3．（2023春·甘肃武威·高二校考期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是精练核心考点1．（2023春·全国·高一专题练习）已知，，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·高二课时练习）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A． B．C． D．3．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．题型九：重点考查空间向量中的新文化新定义题典型例题1．（2023·全国·高二专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若，，，则（

）

A． B．C． D．3．（2023·江苏·高二专题练习）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．（2023·江苏·高二专题练习）笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形．在如图所示的空间直角坐标系中，为长方体，且，，点是轴上一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（

）A． B．. C． D．

第01讲1.1空间向量及其运算+1.2空间向量基本定理+1.3空间向量及其坐标运算目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查空间向量共线（三点共线） 1题型二：重点考查空间向量共面（四点共面） 3题型三：重点考查用基底表示向量 8题型四：重点考查空间向量数量积及其应用 12题型五：重点考查空间向量模 18题型六：重点考查空间向量平行，垂直的坐标表示 23题型七：重点考查空间向量夹角 25题型八：重点考查投影向量 28题型九：重点考查空间向量中的新文化新定义题 31题型一：重点考查空间向量共线（三点共线）典型例题例题1．（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，，则（）A．当时，点在棱上 B．当时，点在棱上C．当时，点在线段上 D．当时，点在线段上【答案】BCD【详解】当时，，所以，则，即P在棱上，故A错误；同理当时，则，故P在棱上，故B正确；当时，，所以，即，故点P在线段上，故C正确；当时，，故点在线段上，故D正确．故选：BCD．例题2．（2023·全国·高二专题练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且，，三点共线，求实数的值．【答案】.【详解】因为，，则有，又A，B，D三点共线，于是，即，而不共线，因此，解得，所以实数k的值是.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知三点共线，为空间任意一点，，则.【答案】【详解】因为三点共线，∴，即，，又，所以，所以.故答案为：.2．（2023·全国·高二专题练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为.【答案】/【详解】∵，，，∴，又∵A，C，D三点共线，∴，∵，不共线，∴，∴，∴.故答案为：题型二：重点考查空间向量共面（四点共面）典型例题例题1．（2023·上海·高二专题练习）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（

）A．点是唯一的，且一定与共面B．点不唯一，但一定与共面C．点是唯一的，但不一定与共面D．点不唯一，也不一定与共面【答案】A【详解】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使，因为，所以，所以共面，所以四点共面，因为，所以，所以点唯一.故选：A.例题2．（2023·全国·高二专题练习）在下列条件中，能使与，，一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；对于A，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于C，，则，，为共面向量，所以与，，一定共面；对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．故选：C．例题3．（2023秋·新疆·高二校联考期末）已知空间任意一点和不共线的三点，若，则“”是“四点共面”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件【答案】B【详解】当时，，即，，三点共线，四点共面，充分性成立；当四点共面时，，满足条件的数据不止，必要性不成立；“”是“四点共面”的充分不必要条件.故选：B.例题4．（2023·全国·高二专题练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【详解】由题知，四点共面,根据平面向量基本定理,不妨设,，则,，,.故选:B例题5．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】因为，所以，又点D在确定的平面内，所以，即，所以，所以当时，的有最小值.故选：A.精练核心考点1．（2023春·高一课时练习）已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（

）A．，共线 B．，共线C．，，共面 D．，，不共面【答案】C【详解】由题知，，是空间两个不共线的向量，，由共线向量定理知，A，B，C三点共线，由共面向量定理知，，，共面.故选：C2．（2023·全国·高二专题练习）若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】平面，，，，四点共面，又，，解得．故选：D．或者根据平面，，，，四点共面，则存在实数，使得，即，又，所以解得故选：D3．（多选）（2023·全国·高二专题练习）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】A：，如下图，，

由的关系不定，则不一定在面上，满足；B：，如下图，此时满足上式，

此时，M与A，B，C不共面，满足；C：因为，所以，所以M，A，B，C共面，不满足.D：，如下图，

此时，M与A，B，C不共面，满足；故选：ABD4．（2023秋·全国·高二阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则．【答案】【详解】法一：由题意，，，因为，，共面，所以存在实数唯一实数对，使得，即，所以，解得．法二：由，，共面得四点共面，则根据四点共面的充要条件可得，，即．故答案为：.5．（2023·全国·高二专题练习）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为．【答案】【详解】依题意，四点共面且任意三点不共线，所以，所以，，，所以，解得.故答案为：题型三：重点考查用基底表示向量典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【详解】向量是不共面的三个向量，对于A，，则向量共面，A不能构成空间基底；对于B，，则向量共面，B不能构成空间基底；对于D，，则向量共面，D不能构成空间基底；对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底.故选：C例题2．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：因为点在上，且，所以，所以故选：D.例题3．（2023·江苏·高二专题练习）在三棱锥中，为内一点，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示：因为，，，所以，所以P是的重心，所以，即，所以，整理得．故选：C例题4．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形中，、分别是、的重心，为的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.

【答案】【详解】由已知得，，因为G是的重心，D为BC的中点，所以，，所以；又因为H是的重心，所以，.精练核心考点1．（2023春·海南海口·高一海南中学校考期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的一个基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【详解】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误；对于B，假设向量共面，则，即，无解，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故B正确；对于C，，因此向量共面，故不能构成基底，故C错误；对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误；故选：B.2．（2023春·高二课时练习）如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【详解】、分别是对边、的中点，，．，因此，．故选：D3．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在平行六面体中，P为与的交点，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】在平行六面体中，因P为与的交点，则点P是中点，所以.故选：B4．（2023·全国·高二专题练习）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则．【答案】【详解】因为，所以．故答案：.题型四：重点考查空间向量数量积及其应用典型例题例题1．（2023秋·湖北随州·高二随州市第一中学校考阶段练习）若向量、的坐标满足，，则等于（

）A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7【答案】B【详解】∵，．∴．故选：B．例题2．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）正四面体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，，则在上，连接，则因为正四面体的棱长为2，所以，所以，设内切球的半径为，则，，解得，当为内切球的直径时，最长，此时，因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为，所以的最大值为，故选：B

例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，因为，，所以，，因此，，于是得，则当时，，此时点Q，所以当取得最小值时，点Q的坐标为.故选：C例题4．（2023春·安徽六安·高一六安一中校考期末）平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为．【答案】/【详解】设，，，

设，则，，则，由，，，可得，，，当时，的最小值为．故答案为：．精练核心考点1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）如图，在四面体中，，，，.则（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】故选：C2．（2023·全国·高二专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】为正三棱椎，为的中心，∴平面，平面，∴，，△ABC是等边三角形，∴，，故，，则．故选：D.

3．（2023·全国·高二专题练习）已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】取中点，则，当为侧面中点时，；的最大值为体对角线的一半，又，，即的取值范围为.故选：B.4．（2023·全国·高二专题练习）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为.【答案】【详解】如图所示，在边长为1的正四面体中，设四面体内切球球心为，内切球半径为，取中点为，则,,所以，因为，所以，所以，因为点P为正四面体表面上的一个动点，所以，即，因为,因为为球O的一条直径，所以,所以，因为，所以，所以，故答案为:.题型五：重点考查空间向量模典型例题例题1．（2023秋·全国·高二期中）如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，，且，则线段的长为（

）

A．9 B． C． D．【答案】C【详解】由，.因为底面是矩形，，，，所以，，因为，所以所以，故选：C.例题2．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第二十五中学校考开学考试）已知正方体的棱长为3，分别在上，且，则（

）A．3 B． C． D．4【答案】A【详解】依题意，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，因为，所以，所以，故.故选：A..例题3．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（

）A． B． C．0 D．【答案】C【详解】取一三棱锥，，且，，所以，，设，因为，所以，即，所以在以为直径的球上，球半径为，设球心为，又由同理可知在以为直径的球上，球半径为，设球心为，球心距，所以两球相交，即点与点可以重合，又，所以.故选：C.例题4．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，于是，即有，向量是平面的一个法向量，，则，而，于是，因为平面，则，即，化简得，即，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：C精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则．【答案】【详解】因为，且两两夹角为，所以，所以，所以.故答案为：.2．（2023秋·高二课时练习）已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（

）A． B．133 C． D．61【答案】A【详解】因为，，，所以故选：A．3．（2023秋·高二课时练习）在正四棱锥中，，在棱上，在直线上，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图所以，连接AC，BD，记，连接OP，由正四棱锥的性质可知OC，OD，OP两两垂直，则以O为原点，分别以，，的方向为轴、轴和轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，，，，则，,设，则，从而，故点A到直线CE的距离，即AF的最小值是.故选：D.4．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点（不含端点），R是直线AD上的点，满足平面，，则的最小值为.

【答案】/【详解】作于点S，则，又平面，平面，所以平面，又因为平面，，平面，所以平面平面，因为平面平面，平面平面，所以．分别以直线，，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，，则，则，由得，所以，于是，时取等号．故答案为：．

题型六：重点考查空间向量平行，垂直的坐标表示典型例题例题1．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考开学考试）已知空间向量，若，则（）A． B．C． D．【答案】B【详解】根据题意，由，设，即解得：，则有，由此得．故选：B.例题2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）向量，若，且，则的值为（）A．或1 B．1 C．3或 D．3或1【答案】A【详解】由，则，可得，又，则，可得，当，则；当，则；所以的值为或1.故选：A例题3．（2023·全国·高二专题练习）在长方体中，已知，，若在线段上存在点，使得，则实数的取值范围是．【答案】【详解】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，（）则，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为t>0所以实数t的取值范围是，故答案为：精练核心考点1．（2023春·贵州贵阳·高二校考开学考试）设x，,向量，且，则的值为（）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】A【详解】由得：，解得，故，故选：A.2．（2023秋·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（

）.A．1 B． C． D．【答案】D【详解】，，因为与互相垂直，所以，所以，所以.故选：D.3．（2023·全国·高二专题练习）向量，，，且，，则.【答案】【详解】因，，而，则有，解得，即又，且，则有，解得，即，于是得，，所以.故答案为：题型七：重点考查空间向量夹角典型例题例题1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二校考期末）已知，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由已知得，所以,因为空间向量的夹角范围是，所以向量与的夹角为，故选：D.例题2．（2023春·高二课时练习）已知，，，，，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，所以，解得，，故,,，又因为，所以，即，解得．所以,4,，,,，所以,2,，,,，所以，，，设与的夹角为，则．故选：A.例题3．（2023春·高二单元测试）已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是．【答案】【详解】解：因为与的夹角为钝角，所以且不共线，由，可得，解得：，故答案为：例题4．（2023春·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）已知向量，，若，的夹角为120°，则．【答案】【详解】因为向量，，，的夹角为120°，所以（），化简得解得或（舍去），故答案为：精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知，，三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且=x+2x+4，则的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为四点共面，又，所以，可得，所以，，则，，所以，，，所以，由，所以，即的夹角为.故选：C2．（2023秋·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）已知向量，单位向量满足，则，的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，故，因此，故即，故即，故，而，故，故选：C.3．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）已知向量，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意可得，，即则，且，所以与的夹角为故选:D4．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为.【答案】【详解】解：因为向量，，且与的夹角为钝角，所以，且，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：题型八：重点考查投影向量典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案