第01讲集合(原卷版+解析)

第01讲集合目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查元素与集合的关系 1题型二：重点考查集合元素的互异性的应用 2题型三：重点考查集合的列举法和描述法 2题型四：重点考查根据集合中元素的个数求参数 3题型五：重点考查子集（真子集）的个数问题 4题型六：重点考查根据集合包含关系求参数 5题型七：重点考查根据集合的运算结果求集合或参数 7题型八：重点考查集合中新定义题 9题型一：重点考查元素与集合的关系典型例题例题1．（2023秋·江西·高二宁冈中学校考开学考试）已知集合，，则（

）A． B． C．或 D．例题2．（2023·全国·高一假期作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．精练核心考点1．（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）已知，求实数x的值．2．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）集合，若，则题型二：重点考查集合元素的互异性的应用典型例题例题1．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）若，则的值是（

）A．0 B．1 C．-1 D．例题2．（2023·高三课时练习）设集合，，且，求实数、的值.精练核心考点1．（2023春·四川宜宾·高二统考期末）已知集合，，若，则（

）A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．32．（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）若集合，实数的值为题型三：重点考查集合的列举法和描述法典型例题例题1．（2023·全国·高一课堂例题）指出下列集合的含义：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．例题2．（2023·全国·高一课堂例题）用列举法表示下列集合：（1）；（2）．精练核心考点1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知集合，则（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高一课时练习）已知集合，用列举法表示集合，则.3．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）集合的元素个数是．题型四：重点考查根据集合中元素的个数求参数典型例题例题1．（2023春·河北保定·高三校考期中）已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（

）A．-1 B．2 C． D．0例题2．（2023·江苏·高一假期作业）方程的根组成集合．当中有且只有一个元素时，求的值，并求此元素．例题3．（2023·全国·高一假期作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数.(1)若是空集，求的范围；(2)若是单元素集合，求的范围：(3)若中至多有一个元素，求的取值范围.精练核心考点1．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知集合，其中为常数，且.若中至多有一个元素，则实数的取值范围为.2．（2023·高一课时练习）若关于x的方程的解集是单元集，求实数m的值.3．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知，集合.(1)若A是空集，求实数a的取值范围；(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.题型五：重点考查子集（真子集）的个数问题典型例题例题1．（2023·全国·高一课堂例题）已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8例题2．（2023秋·甘肃白银·高一校考期末）已知集合，，则满足的集合的个数为（

）A．4 B．8 C．7 D．16例题3．（2023秋·高一课时练习）如果集合满足，则满足条件的集合的个数为．精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（

）A．4 B．8 C．15 D．162．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（

）A．32 B．31 C．16 D．153．（2023·全国·高一假期作业）集合，则集合的子集的个数为.题型六：重点考查根据集合包含关系求参数典型例题例题1．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数的取值构成的集合为___________.例题3．（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）已知集合（1）当时，求实数的值；（2）当时，求实数的取值范围.例题4．（2023·全国·高三专题练习）设集合，.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是．2．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是.3．（2023·全国·高一假期作业）已知集合．(1)若，，求实数的取值范围；(2)若，，求实数的取值范围．（2023·高一单元测试）设，其中，如果，求实数的取值范围.题型七：重点考查根据集合的运算结果求集合或参数典型例题例题1．（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）已知集合或，．(1)若，求的取值范围；(2)若，且，求的取值范围．例题2．（2023秋·高一课时练习）已知集合，．(1)当时，求集合；(2)若，满足：①，②，从①②中任选一个作为条件，求实数的取值范围．例题3．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围.精练核心考点1．（2023春·山西大同·高一校考期末）已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．2．（2023秋·新疆喀什·高一校联考期末）已知集合，或．(1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．3．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知集合，(1)当时，求；(2)若______求实数的取值范围.①，②③从这三个条件选一个填入横线处，并求的取值范围.题型八：重点考查集合中新定义题1．（2023春·山西大同·高一校考期末）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果且，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（

）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个2．（2023·全国·高三专题练习）“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是（

）A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.43．（2023·全国·高三专题练习）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的子集个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．84．（2023·全国·高一专题练习）中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，，则的子集个数为（

）A．16 B．8 C．4 D．2

第01讲集合目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查元素与集合的关系 1题型二：重点考查集合元素的互异性的应用 2题型三：重点考查集合的列举法和描述法 4题型四：重点考查根据集合中元素的个数求参数 6题型五：重点考查子集（真子集）的个数问题 9题型六：重点考查根据集合包含关系求参数 11题型七：重点考查根据集合的运算结果求集合或参数 14题型八：重点考查集合中新定义题 19题型一：重点考查元素与集合的关系典型例题例题1．（2023秋·江西·高二宁冈中学校考开学考试）已知集合，，则（

）A． B． C．或 D．【答案】B【详解】∵，∴或，若，解得或，当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，集合，满足题意，故成立，若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去，综上所述，．故选：B．例题2．（2023·全国·高一假期作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．【答案】(1)的值为0或(2)的值为【详解】（1）集合中有三个元素：，，，，或，解得或，当时，，，，成立；当时，，，，成立．的值为0或．（2）集合中也有三个元素：0，1，，，当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，，，．实数的值为．精练核心考点1．（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）已知，求实数x的值．【答案】【详解】由题意可知：，，令，解得；令，解得或，不符合题意.故答案为：.2．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）集合，若，则【答案】【详解】解：因为，所以，若，则可得或2，当时，，不满足互异性，舍去，当时，，满足题意;若，则，此时，不满足互异性，舍去；综上故答案为：题型二：重点考查集合元素的互异性的应用典型例题例题1．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）若，则的值是（

）A．0 B．1 C．-1 D．【答案】B【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入，答案相同.故选：B例题2．（2023·高三课时练习）设集合，，且，求实数、的值.【答案】.【详解】因为集合，，所以或，解得或或，根据集合的元素的互异性可得，且，所以.精练核心考点1．（2023春·四川宜宾·高二统考期末）已知集合，，若，则（

）A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．3【答案】C【详解】因为，所以或.若，则，满足；若，则或，当时，，满足；当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意；综上所述：或，故选：C.2．（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）若集合，实数的值为【答案】【详解】令,,，,,，,,，，，若，则，则,,，,,，满足要求；若，则，而中元素，矛盾；若，则，则,,，,,，满足要求；故实数的值为.故答案为：题型三：重点考查集合的列举法和描述法典型例题例题1．（2023·全国·高一课堂例题）指出下列集合的含义：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)表示函数的自变量的所有取值组成的集合．(2)表示函数的所有函数值组成的集合．(3)表示方程的解集，即．(4)表示函数图象上所有的点组成的集合．(5)表示二元一次方程组的解集，即．【详解】（1）集合表示函数的自变量的所有取值组成的集合．（2）集合表示函数的所有函数值组成的集合．（3）集合表示方程的解集，即．（4）集合表示函数图象上所有的点组成的集合．（5）集合表示二元一次方程组的解集，即．例题2．（2023·全国·高一课堂例题）用列举法表示下列集合：（1）；（2）．【答案】【详解】（1）∵，∴能被6整除．又，∴，3，4，5，∴．（2）由（1）知，当为0，3，4，5时，相应的值分别为1，2，3，6，∴．故答案为：（1），（2）．精练核心考点1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，，所以故选：C2．（2023秋·高一课时练习）已知集合，用列举法表示集合，则.【答案】【详解】,故答案为：3．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）集合的元素个数是．【答案】11【详解】时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；∴集合为共11个元素.故答案为：11题型四：重点考查根据集合中元素的个数求参数典型例题例题1．（2023春·河北保定·高三校考期中）已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（

）A．-1 B．2 C． D．0【答案】C【详解】或，当时，，符合题意.当时，，不符合题意.当时，要使集合有且仅有一个元素，则需，解得或（舍去）综上所述，的可能取值为或，C选项符合.故选：C例题2．（2023·江苏·高一假期作业）方程的根组成集合．当中有且只有一个元素时，求的值，并求此元素．【答案】当时，集合A中的元素为；当时，集合A中的元素为.【详解】A中有且只有一个元素，即有且只有一个根或有两个相等的实根．①当时，方程的根为，符合题意；②当时，由，得，此时方程有两个相等的根为.综上，当时，集合A中的元素为；当时，集合A中的元素为.例题3．（2023·全国·高一假期作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数.(1)若是空集，求的范围；(2)若是单元素集合，求的范围：(3)若中至多有一个元素，求的取值范围.【答案】(1)；(2)或；(3)或.【详解】（1）若A是空集，则方程无解，当时，方程有解，不符合题意；当时，，得.综上所述：.（2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根，当时，方程有唯一解，符合题意；当时，，得.综上所述：或.（3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解，当方程无解时，由（1）知，；方程有唯一实根时，由（2）知，或.综上所述：或.精练核心考点1．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知集合，其中为常数，且.若中至多有一个元素，则实数的取值范围为.【答案】【详解】由，若中有零个元素，即方程无解，则，解得；若中有一个元素，即方程只有一个解，当时，方程为，解得，成立，当时，，解得，成立，综上所述，若中至多有一个元素，则实数，故答案为：.2．（2023·高一课时练习）若关于x的方程的解集是单元集，求实数m的值.【答案】0或【详解】由于关于的方程的解集为单元素集合，即方程有唯一解（1）当时，，方程有唯一解；（2）当时，，即，解得.综上0或.3．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知，集合.(1)若A是空集，求实数a的取值范围；(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)当时，；当时，；(3).【详解】（1）若A是空集，则关于x的方程无解，此时，且，所以，即实数a的取值范围是.（2）当时，，符合题意；当时，关于x的方程应有两个相等的实数根，则，得，此时，符合题意.综上，当时；当时.（3）当时，，符合题意；当时，要使关于x的方程有实数根，则，得.综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为.题型五：重点考查子集（真子集）的个数问题典型例题例题1．（2023·全国·高一课堂例题）已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】由题意可知，M中必含元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个，于是集合M的个数等价于集合的非空子集的个数，即．故选：C.例题2．（2023秋·甘肃白银·高一校考期末）已知集合，，则满足的集合的个数为（

）A．4 B．8 C．7 D．16【答案】B【详解】因为的解为或，所以；又因为，且，所以中一定含有元素，可能含有元素，所以的个数即为集合的子集个数：，故选：B.例题3．（2023秋·高一课时练习）如果集合满足，则满足条件的集合的个数为．【答案】【详解】由题意知集合中必须包含0，2两个元素，但集合；∴满足条件的集合为：，，；∴满足条件的集合的个数为．故答案为：．精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（

）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】D【详解】集合，,，故有个子集.故选：D．2．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（

）A．32 B．31 C．16 D．15【答案】B【详解】由集合满足条件，所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示，则上述集合关系式变成：，则此时集合为集合的真子集，问题转化为求集合的真子集的个数即：，故满足题意的集合有31个.故选：B.3．（2023·全国·高一假期作业）集合，则集合的子集的个数为.【答案】4【详解】由方程，解得或，即集合，所以集合的子集为，共有4个子集.故答案为：4.题型六：重点考查根据集合包含关系求参数典型例题例题1．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】.因为，所以，，.当时，关于x的方程无解，所以；当时，是关于x的方程的根，所以；当时，是关于x的方程的根，所以.故实数的取值构成的集合为.故选：D例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数的取值构成的集合为___________.【答案】【详解】∵集合，∴集合，∵，，∴，或，或三种情况，当时，可得；当时，∵，∴，∴；当，，∴；∴实数m的取值构成的集合为，故答案为：例题3．（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）已知集合（1）当时，求实数的值；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【详解】分析：利用一元二次不等式的解法，化简集合化简集合（1）利用集合相等的定义可得结果；（2）利用子集的定义可得结果.详解：由，可得，所以由可得，集合（1）因为，所以；（2）因为，所以，即实数的范围是.例题4．（2023·全国·高三专题练习）设集合，.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)-1或-3；(2).【详解】（1）由x2-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}.因为A∩B={2}，所以2∈B，将x=2代入B中的方程，得a2+4a+3=0，解得a=-1或a=-3，当a=-1时，B={x|x2-4=0}={-2，2}，满足条件；当a=-3时，B={x|x2-4x+4=0}={2}，满足条件，综上，实数a的值为-1或-3；（2）对于集合B，=4（a+1）2-4（a2-5）=8（a+3）.因为A∪B=A，所以B⊆A.当<0，即a<-3时，B为空集，满足条件；当=0，即a=-3时，B={2}，满足条件；当>0，即a>-3时，B=A={1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系，得1+2=-2（a+1），1×2=a2-5，解得a=-，且a2=7，矛盾.综上，实数a的取值范围是.精练核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是．【答案】a<－4或a>2【详解】①当a>3即2a>a＋3时，A＝，满足；.②当a3即2aa＋3时，若，则有，解得a<－4或2<a≤3综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2.故答案为：a<－4或a>22．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是.【答案】【详解】解：分两种情况考虑：①若B不为空集，可得：，解得：，，且，解得：，所以,②若B为空集，符合题意，可得：，解得：.综上，实数m的取值范围是.故答案为：.3．（2023·全国·高一假期作业）已知集合．(1)若，，求实数的取值范围；(2)若，，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）解：由题可知，，，①若，则，即；②若，则，解得：；综合①②，得实数的取值范围是．（2）解：已知，，，则，解得：，所以实数的取值范围是．4．（2023·高一单元测试）设，其中，如果，求实数的取值范围.【答案】或【详解】由，而，对于集合有：当，即时，，符合；当，即时，，符合；当，即时，中有两个元素，而；∴得；综上，或.题型七：重点考查根据集合的运算结果求集合或参数典型例题例题1．（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）已知集合或，．(1)若，求的取值范围；(2)若，且，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知：；，；①当，即时，满足，此时；②当时，若，则，解得：；综上所述：的取值范围为.（2），，，即，解得：，，；①当，即时，，，解得：；②当，即时，，，解得：；③当，即时，，不合题意；综上所述：的取值范围为.例题2．（2023秋·高一课时练习）已知集合，．(1)当时，求集合；(2)若，满足：①，②，从①②中任选一个作为条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)选①，；选②，【详解】（1）当时，求集合，.（2）若选择条件①，，当时，，解得，当时，由可得或，解得或，综上的取值范围是.若选择条件②，则集合是集合的子集，当时，，解得，当时，有，解得，综上的取值范围是.例题3．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)选择①，；选择②，；选择③，【详解】（1）由题意得，.当时，，∴；（2）选择①.∵，∴，当时，，不满足，舍去；当时，，要使，则，解得；当时，，此时，不满足，舍去.综上，实数a的取值范围为.选择②.当时，，满足；当时，，要使，则，解得；当时，，此时，.综上，实数a的取值范围为.选择③.当时，，，∴，满足题意；当时，，，要使，则，解得；当时，，，此时，，满足题意.综上，实数a的取值范围为.精练核心考点1．（2023春·山西大同·高一校考期末）已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【详解】（1）当时，，则；（2）由知，解得，即的取值范围是；（3）由得①若，即时，符合题意；②若，即时，需或．得或，即．综上知，即实数的取值范围为．2．（2023秋·新疆喀什·高一校联考期末）已知集合，或．(1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)；(2)或.【详解】（1）因为，所以，解得：，所以的取值范围是.（2）因为，所以，所以或，解得：或，所以的取值范围是或．3．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知集合，(1)当时，求；(2)若______求实数的取值范围.①，②③从这三个条件选一个填入横线处，并求的取值范围.【答案】(1)；(2)无论选哪个条件，的取值范围都是.【详解】（1）当时，，，因此（2）若选①：，因为，所以，因此，当时，，因为，，所以有，故的取值范围为；当时，，因为，，所以有，而，所以不符合题意，故的取值范围为.若选②：，因为，所以，因此，当时，，因为，，所以有，故的取值范围为；当时，，因为，，所以有，而，所以不符合题意，故的取值范围为.若选③：因为，所以，因此，当时，，因为，，所以有，故的取值范围为；当时，，因为，，所以有，而，所以不符合题意，故的取值范围为.题型八：重点考查集合中新定义题1．（2023春·山西大同·高一校考期末）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果且，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1，2，3，4，