第01讲7.1条件概率和全概率公式+7.2离散型随机变量分布列+均值+方差(原卷版+解析)

第01讲7.1条件概率和全概率公式+7.2离散型随机变量分布列+均值+方差题型一：条件概率典型例题例题1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（

）A． B． C． D．例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（

）A． B．C． D．例题3．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（

）A． B．C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则精练核心考点1．（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（

）A． B． C． D．2．（2024·河南·模拟预测）现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件“第一次摸球摸出黑球”，事件“第二次摸球摸出白球”，则（

）A． B． C． D．3．（2024下·全国·高二随堂练习）为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（

）A． B． C． D．题型二：全概率公式典型例题例题1．（2024上·江西萍乡·高二统考期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·山东德州·高二统考期末）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则；.例题3．（2024上·吉林·高二校联考期末）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.精练核心考点1．（2024上·江西鹰潭·高二统考期末）若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2024上·天津宁河·高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的个球，其中甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出个球，则两次都取到红球的概率为；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为．3．（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．(1)求；(2)求．题型三：贝叶斯公式典型例题例题1．（2024·全国·高二假期作业）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（

）．A． B． C． D．例题2．（2024下·全国·高三期末）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．精练核心考点1．（多选）（2024·全国·高三专题练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（

）A． B．C． D．2．（2024·全国·高三专题练习）设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.题型四：离散型随机变量分布列的性质典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X的分布列如下：X1234Pp则p为（

）．A． B． C． D．例题2．（2024·全国·高二假期作业）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（

）X3459PA． B． C． D．例题3．（2024·全国·高三专题练习）设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X024P则．精练核心考点1．（2024下·全国·高二随堂练习）设随机变量X的分布列为，，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2024上·河南·高二校联考期末）设随机变量的分布列为，则常数.3．（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量的分布列为：X123Pm则，．题型五：离散型随机变量分布列的概率典型例题例题1．（2024上·山东德州·高二统考期末）离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，）代替，分布列如下：1234560.210.200.100.10则（

）A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65例题2．（2024·全国·高二假期作业）若随机变量的分布列如表，则的值为（

）1234A． B． C． D．例题3．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量的分布列，则.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X的分布列如下：X1234Pp则p为（

）．A． B． C． D．2．（2024·全国·高二假期作业）设离散型随机变量的概率分布列如下：则.题型六：离散型随机变量的均值和方差典型例题例题1．（2024上·河北·高三校联考期末）一个骰子各个面上分别写有数字，现抛掷该股子2次，记第一次正面朝上的数字为，第二次正面朝上的数字为，记不超过的最大整数为．(1)求事件“”发生的概率，并判断事件“”与事件“”是否为互斥事件；(2)求的分布列与数学期望．例题2．（2024上·江西萍乡·高二统考期末）在一次智力游戏中，甲、乙两人轮流答题，每人每次答一题，游戏开始时由甲先答题，约定：先答对题者为游戏获胜方：当游戏分出胜负或两人各答错3次时游戏均结束，两人各答错3次视为平局．已知甲每次答对题的概率均为，乙每次答对题的概率均为，且每次答题互不影响．(1)求两人共答题不超过4次时，甲获胜的概率；(2)求游戏结束时乙答题次数的分布列与数学期望．例题3．（2024上·江西上饶·高二统考期末）已知只小白鼠中有只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案．方案甲：将只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止．方案乙：先取只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠．(1)若用方案甲，求化验次数为次的概率；(2)若平均化验次数少的方案好，请你确定方案甲、方案乙哪个更好．精练核心考点1．（2024上·北京通州·高三统考期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞.(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；(2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；(3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.2．（2024·福建漳州·统考模拟预测）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；(2)求离散型随机变量的分布列与期望.3．（2024·湖南邵阳·统考一模）甲、乙、丙三名同学准备参加本校知识竞赛，规定比赛成绩达到90分以上（含90分）获优秀等级.为预测他们的知识竞赛情况，收集了甲、乙、丙三人在学校的以往知识竞赛成绩，整理得到如下数据（单位：分）：甲：.乙：.丙：.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的知识竞赛成绩相互独立.(1)估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率；(2)设表示甲、乙、丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数，估计的数学期望.题型七：均值、方差的性质典型例题例题1．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知随机变量，满足，且，则（

）A．16 B．8 C．4 D．例题2．（2024·全国·高三专题练习）若数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（

）A． B． C． D．例题3．（多选）（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（

）02A． B． C． D．精练核心考点1．（2024下·全国·高二随堂练习）已知随机变量的分布列如下，则（

）A．3 B．9 C．27 D．112．（2024上·上海·高二校考期末）若，且，则.3．（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）设随机变量的方差，则的值为.题型八：根据均值求参数典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为X123P且，若，则等于（

）A． B． C． D．例题2．（2024下·全国·高二随堂练习）设随机变量X的概率分布列为：X1234Pmn已知，则.精练核心考点1．（2024·全国·高二假期作业）某同学求得的一个离散型随机变量的分布列为（

）X123P0.2mn若，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.42．（2024下·全国·高二随堂练习）已知随机变量满足，其中，若，则，．题型九：方差最值问题典型例题例题1．（2024下·全国·高二随堂练习）设，随机变量的分布列为012Pb则当在内增大时（

）A．增大B．减小C．先减小后增大D．先增大后减小例题2．（2024·全国·高三专题练习）随机变量的分布列如下表：nn＋1n＋2Pabc其中a，b，c成等差数列，则的最大值为.精练核心考点1．（2024·全国·高二假期作业）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则当从0增大到1时（

）012A．增大 B．减小C．先减后增 D．先增后减2．（多选）（2024·全国·高三专题练习）随机变量的分布列如表：其中，下列说法正确的是（

）012PA． B．C．有最大值 D．随y的增大而减小3．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为．第01讲7.1条件概率和全概率公式+7.2离散型随机变量分布列+均值+方差题型一：条件概率典型例题例题1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由古典概型、条件概率计算公式即可得解.【详解】甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有（种），事件发生的情况共有（种），事件和事件同时发生的情况共有6种，所以.故选：B.例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：设出事件，求出事件包含的基本事件数，根据条件概率公式进行求解；解法二：根据题意得到在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球，从而求出相应的概率.【详解】解法一：设第1次抽到白球为事件A，第2次取到的是黑球为事件B，则，，所以.解法二：盒中共有10个球，其中3白、7黑，在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球，从中任取一球，取到黑球的概率为．故选：D例题3．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（

）A． B．C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则【答案】ACD【分析】根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念，以及对应的概率计算公式可以得到答案.【详解】因为，所以A正确，B错误；由独立事件定义，若A，B独立，则，所以C正确；若A，B互斥，则，，，所以D正确．故选：ACD．精练核心考点1．（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算事件的概率，再利用条件概率计算即可.【详解】由题意可知两家都没选择丹东凤凰山，即，所以，而有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则，所以.故选：D2．（2024·河南·模拟预测）现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件“第一次摸球摸出黑球”，事件“第二次摸球摸出白球”，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件概率公式概率计算方法进行计算即可.【详解】根据题意可知，第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率，则,故选：D.3．（2024下·全国·高二随堂练习）为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用条件概率的公式计算.【详解】令事件为甲被选中，事件为乙被选中，则，，故.快解：令事件为甲被选中，事件为乙被选中，.故选：B.题型二：全概率公式典型例题例题1．（2024上·江西萍乡·高二统考期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性，由题意可知，，，所以，现在某人的化验结果呈阳性，则此人是癌症患者的概率为：.故选：D例题2．（2024上·山东德州·高二统考期末）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则；.【答案】/【分析】分析出：若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，可求得的值；求得，对奖品所在的箱子进行分类讨论，求出的值，再利用全概率公式可求得的值.【详解】若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，故；奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、、、的概率均为，奖品在号箱里，主持人可打开、、号箱，故，奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故，奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，由全概率公式可得：.故答案为：；例题3．（2024上·吉林·高二校联考期末）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用古典概型求解；（2）利用条件概率求解；（3）利用全概率求解.【详解】（1）设事件“取出饺子是肉馅”，，（2）设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，（3）设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，精练核心考点1．（2024上·江西鹰潭·高二统考期末）若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由全概率公式即可得解.【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为，则，解得，则的最大值为6．故选：C.2．（2024上·天津宁河·高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的个球，其中甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出个球，则两次都取到红球的概率为；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为．【答案】【分析】根据条件，先求出基本事件的个数和事件包含的基本事件的个数，再由古典概率公式即可求出第一空的结果；用，，表示从甲箱中随机取出一球是红球、白球、黑球，事件：从乙箱中取出的球是红球，从而有，再利用互斥事件的概率公式及全概率公式即可求出结果.【详解】因为从甲箱中不放回地依次随机取出个球，共有种取法，又两次都取到红球，共有种取法，由古典概率公式知，两次都取到红球的概率为，记事件：表从甲箱中随机取出一球是红球，记事件：表从甲箱中随机取出一球是白球，记事件：表从甲箱中随机取出一球是黑球，记事件：从乙箱中取出的球是红球，则，，所以.故答案为：；.3．（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．(1)求；(2)求．【答案】(1)；(2)0.81.【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式计算即得.（2）由（1）的结论，利用全概率公式列式计算即得.【详解】（1）依题意，.（2）依题意，，由（1）知，由全概率公式得.题型三：贝叶斯公式典型例题例题1．（2024·全国·高二假期作业）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可.【详解】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，则本题所求．故选：A．例题2．（2024下·全国·高三期末）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用条件概率公式求摸出的2个球是红球的概率；（2）利用全概率公式和贝叶斯公式求红球来自乙箱的概率.【详解】（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，则，，故（2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，,,,,故.精练核心考点1．（多选）（2024·全国·高三专题练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】AB选项，根据题意可得到，，判断AB；C选项，根据全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算.【详解】AB选项，事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则，，，，，，故A正确，B错误；C选项，，故C正确；D选项，，故D正确．故选：ACD．2．（2024·全国·高三专题练习）设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.【答案】【分析】利用条件概率计算公式即可求得若取到的芯片是次品则该芯片是甲厂生产的概率.【详解】记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件，记取到的芯片是次品为事件，则，，，故，则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.故答案为：题型四：离散型随机变量分布列的性质典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X的分布列如下：X1234Pp则p为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分布列的性质，即可求解.【详解】由分布列的性质可知，，得.故选：B例题2．（2024·全国·高二假期作业）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（

）X3459PA． B． C． D．【答案】C【分析】根据分布列的性质运算求解.【详解】由题意可得：，解得.故选：C.例题3．（2024·全国·高三专题练习）设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X024P则．【答案】/【分析】由题意表中概率之和为1，且每个概率不少于0且不超过1，由此即可列方程求解.【详解】∵，∴，解得或（舍去），∴．故答案为：.精练核心考点1．（2024下·全国·高二随堂练习）设随机变量X的分布列为，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分布列中所有概率和为1求解．【详解】由题意，．故选：A．2．（2024上·河南·高二校联考期末）设随机变量的分布列为，则常数.【答案】【分析】根据随机变量分布列的性质可得结果.【详解】，解得，故答案为：.3．（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量的分布列为：X123Pm则，．【答案】//【分析】空1：根据分布列的性质，列出方程求得的值；空2：结合，即可求解.【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，可得，解得，所以.故答案为：；题型五：离散型随机变量分布列的概率典型例题例题1．（2024上·山东德州·高二统考期末）离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，）代替，分布列如下：1234560.210.200.100.10则（

）A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65【答案】B【分析】先根据概率之和为1求出，从而求解概率即可.【详解】由题意得，化简得，又且，所以，所以.故选：B例题2．（2024·全国·高二假期作业）若随机变量的分布列如表，则的值为（

）1234A． B． C． D．【答案】A【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果．【详解】根据题意可得，所以.故选：A.例题3．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量的分布列，则.【答案】【分析】根据分布列的性质，求得，结合，即可求解.【详解】因为，可得，解得，因此.故答案为：.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X的分布列如下：X1234Pp则p为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分布列的性质，即可求解.【详解】由分布列的性质可知，，得.故选：B2．（2024·全国·高二假期作业）设离散型随机变量的概率分布列如下：则.【答案】/【分析】由分布列中概率和为可构造方程，结合等比数列求和公式可求得结果.【详解】由分布列的性质知：，则，解得：，即.故答案为：.题型六：离散型随机变量的均值和方差典型例题例题1．（2024上·河北·高三校联考期末）一个骰子各个面上分别写有数字，现抛掷该股子2次，记第一次正面朝上的数字为，第二次正面朝上的数字为，记不超过的最大整数为．(1)求事件“”发生的概率，并判断事件“”与事件“”是否为互斥事件；(2)求的分布列与数学期望．【答案】(1)，事件“”与事件“”为互斥事件；(2)分布列见解析，【分析】（1）列举出所包含的情况数，计算出，判断出事件“”与事件“”不能同时发生，为互斥事件；（2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望值.【详解】（1）当取取值为时，，当取取值为时，，当取取值为时，，当取取值为1，2时，，当取取值为1时，，所以，当时，，事件“”与事件“”不能同时发生，为互斥事件；（2）的取值为，取值为，时，，取值为时，，取值为时，，取值为时，，取值为时，，取值为时，，所以的分布列为0123456所以．例题2．（2024上·江西萍乡·高二统考期末）在一次智力游戏中，甲、乙两人轮流答题，每人每次答一题，游戏开始时由甲先答题，约定：先答对题者为游戏获胜方：当游戏分出胜负或两人各答错3次时游戏均结束，两人各答错3次视为平局．已知甲每次答对题的概率均为，乙每次答对题的概率均为，且每次答题互不影响．(1)求两人共答题不超过4次时，甲获胜的概率；(2)求游戏结束时乙答题次数的分布列与数学期望．【答案】(1)；(2)分布列见解析；期望为．【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率计算公式即可得到答案；（2）首先写出所有可能的取值，再计算对应的概率，最后根据数学期望公式即可得到答案.【详解】（1）计，分别表示甲、乙在第次答题答对，则，，，记“甲获胜”为事件，则；（2）的所有可能为：0，1，2，3，，，，，综上所述，的分布列为：0123数学期望（次）．例题3．（2024上·江西上饶·高二统考期末）已知只小白鼠中有只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案．方案甲：将只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止．方案乙：先取只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠．(1)若用方案甲，求化验次数为次的概率；(2)若平均化验次数少的方案好，请你确定方案甲、方案乙哪个更好．【答案】(1)(2)方案乙更好，利用见解析【分析】（1）若用方案甲，设化验次数为，利用独立事件的概率公式可求得的值；（2）计算出使用方案甲、乙时试验次数的期望值，比较大小后可得出结论.【详解】（1）解：若用方案甲，设化验次数为，则可能取值为、、、、、、、、，若用方案乙，设化验次数为，则可能取值为、、、，由题意可得.所以，若用方案甲，化验次数为次的概率为.（2）解：由（1）可知，，，，，，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：XP所以，，由题意可知，随机变量可能取值为、、、，则，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，，则，所以方案乙比方案甲好.精练核心考点1．（2024上·北京通州·高三统考期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞.(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；(2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；(3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)(3)分布列见解析，【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得；（2）可看成次独立重复试验模型求解概率；（3）分别计算出甲、乙、丙能被招飞院校录取的概率，按步骤求出离散型随机变量的分布列.【详解】（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立，所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率.（2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，所以甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率.（3）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估甲､乙､丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，所以甲能被招飞院校录取的概率，乙能被招飞院校录取的概率，丙能被招飞院校录取概率.依题意的可能取值为，所以，，，.所以的分布列为：0123所以.2．（2024·福建漳州·统考模拟预测）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；(2)求离散型随机变量的分布列与期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为【分析】（1）设出事件，得到相应的概率，相加后得到答案；（2）得到随机变量的可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望.【详解】（1）记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分”，则，，.记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分”，则，，.记事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，则，则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为.（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，，，，，，则离散型随机变量的分布列为246810所以数学期望.3．（2024·湖南邵阳·统考一模）甲、乙、丙三名同学准备参加本校知识竞赛，规定比赛成绩达到90分以上（含90分）获优秀等级.为预测他们的知识竞赛情况，收集了甲、乙、丙三人在学校的以往知识竞赛成绩，整理得到如下数据（单位：分）：甲：.乙：.丙：.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的知识竞赛成绩相互独立.(1)估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率；(2)设表示甲、乙、丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数，估计的数学期望.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据古典概型及对立事件计算概率；（2）直接计算离散型随机变量的概率及期望.【详解】（1）甲在以往参加的10次知识竞赛中有4次成绩获得优秀等级.记事件为“甲在本次知识竞赛中获得优秀等级”，则.所以甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率为.（2）的所有可能取值为.记事件为“乙在本次知识竞赛中获得优胜等级”，事件为“丙在本次知识竞赛中获得优胜等级”，则，由（1）知.则；所以其分布列为：X0123P.题型七：均值、方差的性质典型例题例题1．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知随机变量，满足，且，则（

）A．16 B．8 C．4 D．【答案】B【分析】由方差的性质求解即可.【详解】由题可知.故选：B.例题2．（2024·全国·高三专题练习）若数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用期望、方差性质求新数据的期望、方差.【详解】由期望、方差的性质知：，.故选：C例题3．（多选）（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（

）02A． B． C． D．【答案】AC【分析】依题意根据分布列的性质及期望公式求出，即可求出，再根据方差的性质得到，再求出分布列，即可求出与.【详解】依题意，解得，所以的分布列为：－102P则，故A正确；则，故C正确；所以的分布列为：02