第01讲6.1平面向量的概念+6.2平面向量的运算(原卷版+解析)

第01讲6.1平面向量的概念+6.2平面向量的运算题型一：零向量与单位向量的概念典型例题例题1．（2023下·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（

）A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0例题2．（2023下·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．单位向量均相等 B．单位向量C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则精练核心考点1．（2022下·湖北鄂州·高一校联考期中）下列关于零向量的说法正确的是（

）A．零向量没有大小 B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线2．（2021下·高一课时练习）下列说法中，正确的是（

）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．A．①② B．②③ C．②④ D．①④题型二：向量加法与减法（作图）典型例题例题1．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．(1)

(2)

例题2．（2023下·高一课时练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．精练核心考点1．（2023下·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）如图，按下列要求作答．(1)以A为始点，作出；(2)以B为始点，作出；2．（2022·高一课时练习）如图，已知向量和向量，用三角形法则作出题型三：向量加减法化简典型例题例题1．（2021·高一课时练习）化简：(1)；(2)．例题2．（2021·高一课时练习）化简（1）（2）；（3）＋．精练核心考点1．（2024·全国·高一假期作业）化简(1)；(2)．2．（2022下·高一课前预习）化简.(1)；(2).题型四：平面向量的混合运算典型例题例题1．（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向.(1)；(2)；(3).例题2．（2022·高一课时练习）计算：(1)；(2).精练核心考点1．（2023下·高一课时练习）化简：(1)；(2)；(3).2．（2023下·山东济南·高一济南外国语学校校考阶段练习）化简：(1)；(2).题型五：向量共线问题典型例题例题1．（2024上·辽宁丹东·高一统考期末）己知向量以为基底的分解式为，其中.(1)求m，n的值；(2)若，且，求k的值.例题2．（2024上·辽宁大连·高一期末）如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.

(1)试用基底表示向量；(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值.精练核心考点1．（2024上·北京昌平·高一统考期末）已知向量，不共线，且，.若，则.2．（2023下·福建龙岩·高一校联考期中）设向量，不平行，，，，若三点共线，则．题型六：三点共线问题典型例题例题1．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，．(1)求的值；(2)求的最小值，并求此时，的值．例题2．（2023下·江西吉安·高一统考期末）在中，，，若D是AB的中点，则；若D是AB的一个三等分点，则；若D是AB的一个四等分点，则．

(1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明．(2)如图②，若，，AM与BN交于O，过O点的直线l与CA，CB分别交于点P，Q．①利用（1）的结论，用，表示；②设，，求证：为定值．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，为边的中线，，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，.证明：为定值．2．（2023下·四川自贡·高一统考期末）已知向量不共线，．(1)若，求；(2)若三点共线，求的最大值．题型七：平面向量数量积相关定义辨析典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若，则或.()（3），共线⇔·=||||.()（4）若·=·，则一定有=.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()例题2．（2019·高一课时练习）下面给出的关系式中正确的个数是①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．4精练核心考点1．（2023下·高一单元测试）以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（

）A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直2．（2022下·江苏淮安·高一校考阶段练习）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（

）A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是钝角题型八：平面向量数量积（几何意义法）典型例题例题1．（2023上·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（

）

A． B．C． D．例题2．（2023·山西·校考模拟预测）美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．精练核心考点1．（2023下·山东青岛·高一统考期中）已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023下·贵州铜仁·高二统考期末）已知是腰长为2的等腰直角斜边上的动点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题型九：平面向量数量积（最值+范围问题）典型例题例题1．（2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知在中，，，，动点M位于线段BC上，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．精练核心考点1．（2023上·北京·高三北京市第一六一中学校考期中）若，且，则，的最大值为.2．（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）为边长为的正八边形内部及边界上的一点，则的最大值为．题型十：向量夹角典型例题例题1．（2024上·山东烟台·高三统考期末）已知，则向量与夹角的大小为（

）A． B． C． D．例题2．（2023下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知，其中是夹角为的单位向量．(1)求；(2)求与夹角的余弦值．精练核心考点1．（2023·陕西汉中·统考一模）已知单位向量，满足，则与的夹角为.2．（2024上·陕西渭南·高二统考期末）已知向量，，，，则与的夹角为．题型十一：向量投影（投影向量）典型例题例题1．（2024上·江西赣州·高三统考期末）己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）若向量满足，且，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．精练核心考点1．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，且满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．2．（2024上·广西柳州·高一柳州高级中学校考期末）已知，且与的夹角为，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为.题型十二：向量模典型例题例题1．（2024上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知平面向量，均为单位向量，且它们的夹角为，则（

）A．7 B．3 C． D．1例题2．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）已知向量，满足，，，则.例题3．（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为.精练核心考点1．（2024上·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）已知向量满足，则.2．（2023下·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知向量，，满足：，且，则的取值范围是．3．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知单位向量满足，则.第01讲6.1平面向量的概念+6.2平面向量的运算题型一：零向量与单位向量的概念典型例题例题1．（2023下·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（

）A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0【答案】C【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案.【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；对于C，根据单位向量的定义可C知正确；对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.故选：C.例题2．（2023下·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．单位向量均相等 B．单位向量C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则【答案】C【分析】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论；对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的.否定结论.【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；对于B：单位向量.故B错误；对于C：零向量与任意向量平行.正确；对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.故选：C精练核心考点1．（2022下·湖北鄂州·高一校联考期中）下列关于零向量的说法正确的是（

）A．零向量没有大小 B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线【答案】D【分析】根据零向量的定义和性质即可判断.【详解】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；零向量与任意向量共线，D正确．故选：D.2．（2021下·高一课时练习）下列说法中，正确的是（

）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.【详解】①长度为0的向量都是零向量，正确；②零向量的方向任意，故错误；③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；④任意向量与零向量都共线，正确；故选：D题型二：向量加法与减法（作图）典型例题例题1．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．(1)

(2)

【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）（2）利用平面向量加法的平行四边形法则可作出向量.【详解】（1）解：作，，以、为邻边作，，则即为所求作的向量.

（2）解：作，，以、为邻边作，，则即为所求作的向量.

例题2．（2023下·高一课时练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．【答案】答案见解析【分析】根据平面向量加法的三角形法则，首先在平面内任取一个点，自该点出发依次首尾相连作出各个向量，那么以第一个向量的起点作为起点，以最后一个向量的终点作为终点，由此所得的向量就是所求的和向量．【详解】解：如图，在平面内任取一点O，作＝，＝，则＝＋，再作，则＝＋－．精练核心考点1．（2023下·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）如图，按下列要求作答．(1)以A为始点，作出；(2)以B为始点，作出；【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出；（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出；【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再平移向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：2．（2022·高一课时练习）如图，已知向量和向量，用三角形法则作出【答案】作图见解析【详解】解：作法：作向量，向量，则向量,如图所示，作向量，则题型三：向量加减法化简典型例题例题1．（2021·高一课时练习）化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用向量的加减运算法则得到答案.（2）直接利用向量的加运算法则得到答案.【详解】（1）.（2）.例题2．（2021·高一课时练习）化简（1）（2）；（3）＋．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）方法一：将转化为，将转化为，利用向量的加法法则，即可求得答案.方法二：利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案.（2）利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案.（3）根据向量的线性运算法则，即可求得答案.【详解】（1）方法一(统一成加法)：方法二(利用)：（2）．（3）精练核心考点1．（2024·全国·高一假期作业）化简(1)；(2)．【答案】(1)(2)即可.【详解】（1）.（2）.2．（2022下·高一课前预习）化简.(1)；(2).【答案】(1)；(2).【分析】（1），（2）根据平面向量加法、减法的运算性质进行求解即可；【详解】（1）；（2）题型四：平面向量的混合运算典型例题例题1．（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向.(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】根据向量数乘运算求解.【详解】（1）由得，所以.（2）由得，所以.（3）由得，所以.例题2．（2022·高一课时练习）计算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.（2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.【详解】（1）原式=.（2）原式=.精练核心考点1．（2023下·高一课时练习）化简：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.【详解】（1）.（2）.（3）.2．（2023下·山东济南·高一济南外国语学校校考阶段练习）化简：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】根据向量的加减、数乘运算化简即可.【详解】（1）.（2）.题型五：向量共线问题典型例题例题1．（2024上·辽宁丹东·高一统考期末）己知向量以为基底的分解式为，其中.(1)求m，n的值；(2)若，且，求k的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由平面向量基本定理，列方程组求m，n的值；（2）利用向量共线的条件，计算k的值.【详解】（1），则有，解得.（2），由，有，即，则，解得.例题2．（2024上·辽宁大连·高一期末）如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.

(1)试用基底表示向量；(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由D，M，A三点共线，设，由C，M，B三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论；（2）由E，M，F共线，设，由（1）可求得，化简即可求解.【详解】（1）因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以设，，则，，所以，解得，所以；（2）因为E，M，F三点共线，所以设，则，由（1）知，所以，所以.精练核心考点1．（2024上·北京昌平·高一统考期末）已知向量，不共线，且，.若，则.【答案】【分析】根据向量平行列方程，从而求得的值.【详解】由于，所以存在，使得，即，所以，解得.故答案为：2．（2023下·福建龙岩·高一校联考期中）设向量，不平行，，，，若三点共线，则．【答案】【分析】根据三点共线列方程，从而求得的值.【详解】，，由于三点共线，所以存在使，即，所以，解得.故答案为：题型六：三点共线问题典型例题例题1．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，．(1)求的值；(2)求的最小值，并求此时，的值．【答案】(1)(2)，时，最小值为．【分析】（1）由三角形重心性质可得，结合三点共线性质即可求得结果.（2）运用“1”的代换及基本不等式求解即可.【详解】（1）如图所示，因为G为重心，所以，所以，因为M，G，N三点共线，所以，即．（2）由题意可知，且，所以当且仅当，即时取等号，又∵，∴，时，取得最小值为．例题2．（2023下·江西吉安·高一统考期末）在中，，，若D是AB的中点，则；若D是AB的一个三等分点，则；若D是AB的一个四等分点，则．

(1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明．(2)如图②，若，，AM与BN交于O，过O点的直线l与CA，CB分别交于点P，Q．①利用（1）的结论，用，表示；②设，，求证：为定值．【答案】(1)，证明见解析(2)①，②证明见解析【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）①依题意可得，，由、、三点共线，设，结合（1）的结论用，表示出，由、、三点共线，设，同理表示出，根据平面向量基本定理得到方程，求出、，再代入即可；②依题意可得，，结合①的结论及共线定理即可得证.【详解】（1）猜想：，证明：因为，所以.（2）①若，，则，，因为、、三点共线，设，则，因为、、三点共线，设，则，因为与不共线，所以，解得，所以.②因为，，所以，，所以，因为、、三点共线，所以，则（定值）.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，为边的中线，，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，.证明：为定值．【答案】证明见解析【分析】根据平面向量基本定理，可得，再根据，求得，结合三点共线的性质证明即可.【详解】因为为边的中线，所以，可得.因为，所以，，，由，，三点共线，可，即.2．（2023下·四川自贡·高一统考期末）已知向量不共线，．(1)若，求；(2)若三点共线，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解；（2）根据三点共线的结论分析可得，进而结合二次函数求的最大值.【详解】（1）由题意可得：，且，所以.（2）若三点共线，则，则，可得，则，当时，取到最大值.题型七：平面向量数量积相关定义辨析典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若，则或.()（3），共线⇔·=||||.()（4）若·=·，则一定有=.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()【答案】错误错误错误错误正确【分析】根据数量积的相关概念逐一判断即可【详解】对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；对于（2）：若，除了或之外，还有可能，故错误；对于（3）：，共线·=||||，故错误；对于（4）：数量积是一个整体，这里面不能直接约去，故与无固定关系，故错误；对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.例题2．（2019·高一课时练习）下面给出的关系式中正确的个数是①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据向量数量积的运算知识，对五个关系式逐一分析，由此判断出正确的个数.【详解】①错误，正确的是，向量数乘的结果还是向量.②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.④错误，，故⑤错误，.综上所述，正确的个数为，故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，属于基础题.精练核心考点1．（2023下·高一单元测试）以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（

）A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直【答案】C【分析】根据数量积的定义和向量夹角的范围确定答案.【详解】对于任意得两个非零向量，，其中.若两个非零向量同向共线，则，，，故A正确；若两个非零向量反向共线，则，，，故B正确；若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误；若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D正确.故选:C.2．（2022下·江苏淮安·高一校考阶段练习）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（

）A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是钝角【答案】C【分析】作出图形，结合向量夹角的定义可得出合适的选项.【详解】如下图所示：对于A选项，与的夹角为，为钝角，A错；对于B选项，与的夹角为，为钝角，B错；对于CD选项，与的夹角等于，为锐角，C对D错；故选：C.题型八：平面向量数量积（几何意义法）典型例题例题1．（2023上·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据数量积的几何意义结合已知图形得出的最值，再利用数量积即可求出.【详解】，由投影的定义知，结合图形得，当过P的直线与半圆弧相切于P点且平行于BC时，最大为，此时；当P在C或B点重合时，最小为，此时∴故选：C例题2．（2023·山西·校考模拟预测）美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据数量积的几何意义，为在上的投影，数形结合，确定的最大值和最小值，即可求得答案.【详解】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切，切点为与右半圆相切，切点为.，其中为在上的投影，因为，所以.当与重合时，最大，最大值为，此时取得最大值，最大值为；当与重合时，最小，最小值为，此时取得最小值，最小值为；故的取值范围是，故选：B精练核心考点1．（2023下·山东青岛·高一统考期中）已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的数量积的几何意义求解.【详解】解：如图所示：因为点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，由图象知：，所以，故选；C2．（2023下·贵州铜仁·高二统考期末）已知是腰长为2的等腰直角斜边上的动点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量数量积的几何意义，可看成乘以在上的投影，由此求解.【详解】如图，

则，根据向量数量积的几何意义，可看成乘以在上的投影，由图可知，当点在点处时，在上的投影最大为2，此时最大为4，当点在点处时，在上的投影最小为0，此时最小为0，故，故选：C.题型九：平面向量数量积（最值+范围问题）典型例题例题1．（2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设的中点分别为，连接，根据外心的性质可得，，结合三点共线设，进而运算求解即可.【详解】设的中点分别为，连接，则，可得，同理可得，因为在线段上，设，则，所以的取值范围是.故选：B.【点睛】关键点睛：1.对于外心的数量积问题，常借助于外心的性质结合中点分析求解；2.对于三点共线常结合结论：若三点共线，则，且，分析求解.例题2．（2023上·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知在中，，，，动点M位于线段BC上，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，求出，用向量表示出，再利用数量积的运算律求解即得.【详解】在中，，即，且，则，而，所以当时，有最小值为.故选：C精练核心考点1．（2023上·北京·高三北京市第一六一中学校考期中）若，且，则，的最大值为.【答案】26【分析】由，即求解；，即2，由，利用数量积定义求解.【详解】解：因为，所以，即2，，，当时，的最大值为6，故答案为：2，62．（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）为边长为的正八边形内部及边界上的一点，则的最大值为．【答案】【分析】先求出在方向上的投影的最大值，再由数量积的定义求出的最大值即可.【详解】如图，作的延长线于M，的延长线于N，根据正八边形的特征，可知，于是在方向上的投影的最大值为，结合向量数量积的定义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积，又，∴的最大值为.故答案为：.题型十：向量夹角典型例题例题1．（2024上·山东烟台·高三统考期末）已知，则向量与夹角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的数量积公式，求解即可.【详解】结合题意：设向量与夹角为，，因为，所以，解得.因为，所以.故选：B.例题2．（2023下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知，其中是夹角为的单位向量．(1)求；(2)求与夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入向量模的数量积公式，即可求解；（2）代入向量夹角的数量积公式，即可求解.【详解】（1）是夹角为的单位向量，．（2）是夹角为的单位向量，，，．精练核心考点1．（2023·陕西汉中·统考一模）已知单位向量，满足，则与的夹角为.【答案】【分析】利用向量垂直点乘等于零和数量积公式即可得解.【详解】因为，是单位向量，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以.故答案为：.2．（2024上·陕西渭南·高二统考期末）已知向量，，，，则与的夹角为．【答案】【分析】利用平面向量数量积的运算法则求得，从而求得，进而得解.【详解】因为，所以，则，即，又，，，所以，解得，所以，又，故.故答案为：.题型十一：向量投影（