数值分析习题与答案

第一章结论

习题一

1.设x>O,x*的相对误差为8,求f(x)=lnx的误差限。

解：求Inx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有

叫x")=l解-底)14g湍|八切15(产)

|r-r*|1

已知X*的相对误差3满足了丁一，而曲"1nx，f(x)=口…*的)=z/x*l,故

llnx-lnx*-,瑞中山-昨品表

口消(m/)=区义，4H

即x*1-31-3

2.下列各数都是经过四舍五人得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其

误差限和相对误差限。

x；=1.1021/：=0.031/：=560.40

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得

X；有5位有效数字，其误差限，相对误差限以

X；有2位有效数字，J（x；）4；xlO-32©；）4卜10-

W有5位有效数字「⑹今日后凶°,

3.下列公式如何才比较准确？

（1）

（2）曰尸加

解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

(1)J：I']dx=arctan(N+l)-arctanN

vx4)+r4

4.近似数x*=O.O31O,是二位有数数字。

5.计算/=（尤7取④出14,利用：式计算误差最小。

1了,(3-2扬———,99-70点

四个选项：（%+1）6(3+2、②

第二、三章插值和函数逼近

习题二、三

1.给定/(x)=lnx的数值表

X0.40.50.60.7

Lnx-0.916291-0.693147-0.510826■0.356675

用线性插值和二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.

解：仍可使用n=l及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估比5.81

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值

"054….693147十四嚅等也(0»。处-。.62。219

误差限离⑶七场卜因"x)=lnxf(x)V，峪牛3故

|^1(x)|<|x4xO.O4xO.O6=0.3048

二次插值时用0.50.6,0.7三点作二次Newton插值必0.54«-0.620219+/[0.5,0.6,0.7]

(0.54-0.5)(0.54-0.6)=-0.620219+(-1,40850)x0.04x(-0.06)=-0.616839

19二腹4。.7H=16

,D差呢同(初告-0.5)3-0.6)(x-0.7)-‘⑴=-,M3

故

|/^(x)|<-x16x0.04x0.06x0.16<0.001024

6

2.在・44X"上给出"x）■的等距节点函数表，若用二次插值法求篦的近似值，要使

误差不超过10«,函数表的步长h应取多少？

解：用误差估计式(5.8),«=2J(x)=ex,/'"«=量

/“'(X)

瑞—/（x）-。2（切工|(x-Xj.l)(x-Zj)(x-xi+1)|

3

£XM4+1=4+%

令xM,h=为一%_i，x-=%一"

21

m二&出口一七.1）（工一石）（工一七+1）|=可下a3<106

因3举

g

育3<-^-x10~6,h<0,0066

得，

3.若“X)・X>+/+3X+1,求[2。,*・••,2’厢/[2。,21..,2〉.

曲・山6笠的日她一，々，…，

解：由均差和导数关系A/1%加

/(x)=X7+/+3X+1J⑺(x)=7I,/(8)(X)=0

力2°,21..,27]=焉7=1/2°,21..,28]=0

JJE7!

4.若〃x）=4+1@）-3一两）5-勺）一（穴一/）,不。=0,1，…㈤互异，求/同，勺,…,勺］的值，这

里p<n+l.

mX...X］一夕,区）

解：/年）=%+1（项/（初=0（"0，1产・，%由均差对称性°'"''"勺4+1（大可知当

有/［%,々「・,办］=0

而当P=n+1时

*♦1f（x\

/［不，再，…，招+1］=工/区）/。*+25）=，1=1

2-0J

［0,P<n

于是得加内,…MP=n+1

5.求证.

解：解：只要按差分定义直接展开得

£心7=£（蝴+1的）

**

=4y»-ATX-I+以』-5_2+•••+4yi-Ayo

=Ay,-Ayn

6.已知/保）・弗乂的函数表

0OJOOJO0.50

依000.201340304520.52110

求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估

计误差.

解：根据给定函数表构造均差表

X，f(xj一阶均差二阶均差三阶均差

00

0.200.201041.00G7

0.300.304521.03180.08367

0.500.521121.08300.170670.17400

由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式

N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)

由此可得

f(0.23)N3(0.23)=0.23203

由余项表达式(5.15)可得

(023)|=/[I。,々,马，勺023]%(0.2习

由于川厮，&，4,.,023]]«0.033133

|^(0,23)|<0,033133x0.23x0.03x0.07x0.27<4,32xW6

7.给定f(x)=cosx的函数表

」00-0.20.3040.50.6

Rxj)L000000.995000.980070.955340.921060.877580.825丁

用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差

解：先构造差分表

f(xj

AW)公工（力力△"（巧）A4Z(V47)△%俨力

1.00000

-o,005)0

0.99500-0.00993

-0.014930.00003

0.98007-0.009800.00012

-0.024730.00025-0.00002

0.95534-0.009550.00010

-0.034280.00035-0.00001

0.921U6-0.0U92DQJXI0Q9

-0.043480.00044

^05224

久时刚

计算cos0.048,彳=038*=0力=T=0.48,用…得Newton前插公式

N/xo=必)=4+4/o-：+等“£―1)+苧_2)+等“2-1)。-2)(/-3)

=1.00000+0.48-0.00500-0.52](一。.翳3-1.^0°^013-2.52x0°^12^j

52

误差估计由公式（5.17）得

57

|R4(0.048)|<^-依一1)«—2)(-3)(/-4)|fe<1.5845xW

其中乂5=岫0.6|=0,565

计算cos0566时用Newton后插公式(5.18产°%6%=°64中=-0.34

cos0.566*M(勺+4)=九+%/区母+1)+”“£+1)(2+2)+"绛+1))(/+2)(2+3)

2!3!4!

=0.8253”0.3410.05224+0.66><(2^+1.66><(誓+2.66X筌)]

=0.84405

误差估计由公式(5.19)得

|&(0.566)区苧依+D«+2)«+3)(i+4)-<1.7064xW7

这里M仍为0.565

8,求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足P(0K'(0KWK⑴=1.P(加I

解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造舄。硬它满足

P；(0)=0,尸3(1)=P；。)=1,显然。3(X)=/(2-X),再令

p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-l)2

由p(2)=l求出A=，于是

p(x)=x2[2-x+—(X-I)2]=—x2(x-3)2

9.令与⑸"⑶2"$将为第二类Chebyshev多项式，试求与的表达式，并证

明星煌［-1,1］上带权双为.出耳的正交多项式序列。

解：因&i（x）=cos（N+1）arccosx

%（幻=/器3=sin[（%+1）arccosx]

令芯=cos。

J：（x）71-x2dx=，sin（万+1）6sin（m+1）田6

0,

乃

m-n

2

10.用最小二乘法求一个形如＞=。+犷的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方

误差.

1925313844

19.032.349.073.397.8

解：本题给出拟合曲缈，即。0&)=1，/。)=-,故法方程系数

（%,%）=Z就（%）=5

i-0

（%，仍）=2痛=5327,（仍，仍）=£4=7277699

0»-0

（%，＞）=2714（仍必=369321.5

2i-0

法方程为

'5a+53272>-271,4

[5327。+727769泌=369321.5

解得a=0.9726045,2>=0.0500351

最小二乘拟合曲线为y=0.9726045+0.0500351，

均方程为

同卜闻一(外,为一双/))=0.0150321

||^=0.1226

11.填空题

(1)满足条件P(gWK'(D，P⑵v的插值多项式p®=().

(2)耐仝3+5,则f[1,2,3,4]=(),f[1,234,5]=().

(3)设陶=0,1,2,3,4)为互异节点，1依)为对应的四次插值基函数，则=(),=().

(4)设血(加：=°是区间[0,1]上权函数为p(x)=x的最高项系数为1的正交多项式

序列，其中例⑶=i,则卜伙a灿=(),仍(止()

答：

(1)P(X)=gx+D(X-l)2

(2)川，234]=2,/[1,234,5]=C

2X"（0）=0$G：+2K（X）=/+2

（3）i-0i-0

h._n

.x伙（x）dx=<

[O,k^O

夕2（X）=X2--X+—

（4）510

第4章数值积分和数值微分

习题4

1.分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.

[-^—^dx,n=8

J°4+x?

解本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合Simpson公式（6.13）直接计算

即可。

对"五）"S，取n=8,在分点处计算f（x）的值构造函数表。按式（6.11）求出

热=0.1114024,按式（6.13）求缺=01115724,积分】二L在/办=°"157r

2.用Simpson公式求积分£1小，并估it误差

解：直接用Simpson公式（6.7）得

（e-xdx«1（1+4.8+e/）=063233

由（6.8）式估计误差，因/*）=1，/“匕）"，故

4

|1&2G10|=fI-1-8Y0A2-J]]<—180—16^S.SxlQ-

3.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有

的代数精确度.

（1）//⑴加"到（°）+电⑺+b。）

（2）飙«A.j（-h）+4）/（0）+A/W

（3）V（-h）+B/（x】）

解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。

（1）令/&）=1，兀/穴代入公式两端并使其相等，得

A^B+C=1

附+C=E

&；+C=；

解此方程组得“一2‘-6'"一3«-6,于是有

C/W«1/(0)+^/(1)+1/(1)

川b5乙b

再令/*)=/,得Jo3》624

故求积公式具有3次代数精确度。

(2)令/⑶=X代入公式两端使其相等，得

41+4+4=4〃

<4](—及)+4%=o—>+4=0

4式一町2+4标=|(2^)574+4=—h

OA

解出乙=4=/4=宝令小)"得

£/公=翱(-疗+的=0

而对了(x)=/不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。

(3)令/⑴=1，孔｛代入公式精确成立，得

解得寸98寸A也得求积公式

1fk_/(加内2h小一我)+3/m1)]

对=/

0==夕（一〃）3+天；町3]=-^4

故求积公式具有2次代数精确度。

4.计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间105垦分为多少等分?

若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间⑼9应分为多少等分？

解：由Simpson公式余项及/⑴=$必x,/4)(x)=sm嚅

兀

%S|M急分隔皿叫到

即小>665避>5.08，取n=6,即区间⑼自分为12等分可使误差不超过

对梯形公式同样图以，由余项公式得

n>-(-)3xl05<6.46X104

即62

，22542取n=255才更使复合梯形公式误差不超过

5.用Romberg求积算法求积分，取归=3

解：本题只要对积分卜.队使用Romberg算法（6.20），计算到K=3,结果如下表

所示。

4

琛甲）琛琛〉

00.683940

10.6452350.632333

20.6354100.6321350.632122

30.6329430.6321210.6321200.632120

于是积分《卜叱°”如：，积分准确值为0.713272

6.用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.

7.卜/公

解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。

由于区间为10,1],所以先做变换

i=r居xdx=戏«+D2或"%

于是

1«」[0.555556X(1.774597。°的298+Q_0774597)2Z112702)+0,888889eOjS]=0.718252

8

本题精确值1=e-2=0.718281828

8,用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分

解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算

‘工：志小£春.己7dx,

即

于是，因n=2,即为三点公式，于是

工工=cos2*：1兀，化=0,1,2日n'o==0,々=g

69//

以—+丁;

故Z«3-向1+阿=2.630411

8.试确定常数A,B,C,及a,使求积公式

«"(-a)+安(0)+Qf(a)

有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss

型的求积公式？

解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令/(x)=Lx，/，x的公式精确

成立，得到

n+8+C=J?x=4（1）

-aA+aC=fxdx=0（2）

J-2

心吟（3）

-a3A+a3C=0（4）

由(2)(4)得A=C,这两个方程不独立。故可令/(乃=力，得

a2A^-a4C=[x4dx=—

匕5（5）

身J6

由(3)(5)解得，代入(1)得“一6

则有求积公式

二…畀一用+%(0)+

令”1)=/公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。三点求积公式最高代数精

确度为5次，故它是Gauss型的。

第五章解线性方程组的直接法

习题五

1.用Gauss消去法求解下列方程组.

111.

111

/+产+/-8o

白］+叼+2句=8

乙

解本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即

可。

,ill.

-X1+-X2+-X3=9

11，

—一M------X,=-4

602453

13-

——x,=-154

153

X5=-154x153=-17769

=-60(-4+—x,)=476.92

45

々=4(9-白3-制=-227。8

12再-30+3/■15

-18/+3々+3X3--15

Xj++x-6

2.用列主元消去法求解方程组3并求出系数矩阵A的行列式

detA的值

解：先选列主元与-2,2行和1行交换得

-183-1-15

7

-1S2-1-15-0-15

3

小*=12-3315

717.31

1116♦»!»0

-消兀618~6_

■

r--1

-183-1-15-183-1-15

71731

717310

0T

618飞618

2266

70

0-15、、■，—TT

3行和2行交换3消兀

回代得解

心.3,叼■2,々■1

行列式得

722

det^=-=-66

67

111

—X)++—x,=9A

415263

111o

1cc

/+叼+2勺=8

3.用Doolittle分解法求的解.

解：由矩阵乘法得

122

Lr—

1456

411

A=LU=-1

360~45

2-36113

15

再由55求得

y=（9T「154）r

由〃解得

X=(-227.08,476.92T77.69)r

4.下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?

1231[111126

A=241,5-221,C-2515

46733161546

解：A中△广0,若A能分解,一步分解后，=2.2+%=%=。，&2=4•2+。+o,相

互矛盾，故A不能分解，但碗j=0,若A中工行和2行交换，则可分解为LU

对B,显然△广&=C，但它仍可分解为

'1T111-

B=2100-1

3自山0&2-2

分解不唯一，自为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯一。

1126

C=2113

631

5.用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中

•

2-100o,T

-12-1000

A-0-12-10,b-0

00-12-10

000-120

解：用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）计算得

1234

氏=_5,02=A=-?.A=-?

D3456

。1=2色=5，。3=$44=不。5=T

11111r_52111r

y={2,3,4,5,6)，X=\，3,2,3,6)

’1648,

45-43

8-42210

6.用平方根法解方程组

解：用力=££「分解直接算得

由⑶=吸入、求得

丁=(-126)1=(一沁)，

7.设xeK"证明帆《1码《如吐

解：卜£=电魅KIsX；+右+…+X；=同；

即hIL＜凡,另一方面

H'=d+君+…+WX力麒忖|=杭

故凡工囱HL

9.设计算A的行范数，列范数及F■范数和2范数

：卜1=1】同=。8|4=衍=0.84

0.370.33

ArA=,4（4、）=0.68534

0.330.3445c

故凤=JO.68534=0.82785

10.iglkteR"上任一种范数，PeR总是非奇异的，定义凡二加I,证明IK=I叩』

证明：根据矩阵算子定义和批定义，得

闻»1^1哒匕1

令尸="，因P非奇异，故x和y为一对一，于是

14点喏1=眼/

W

io.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计M.

240-3191R1[31

-179240][xJ田即Ax=8

240-319.51k/'3

-179.5240,4,即（/+M）（x+加）・小

解：记

240-3190-0.5

A=3A=

-179240-0.50

则ArS的解x=(4,3)『，而(/+创)S+凉)=小的解(x+a)=(8,6)/

故HL=4,|矶=4

而

I=焉匿羽C（包=H=626.2

网=°邪"11<=。56。12

由（3.12）的误差估计得

C（j）9

乱______吗⑻

x倒L0.43988

PIL

除LM1.274帆M5.10

表明估计陶L=4略大，是符合实际的。

11.是非题（若”是“在末尾（）填+,”不是"填-）：题目中X=（和…w―力=（°”片”

(1)若A对称正定,xe口则H=⑷，4〃是火*上的一种向量范数()

(2)定义网＜。广唱更同是一种范数矩阵()

(3)定义是一种范数矩阵()

(4)只要detHH0,则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三

角阵()

(5)只要det4=0,则总可用列主元消去法求得方程组的解()

(6)若A对称正定，则A可分解为为二LX,其中L为对角元素为正的下三角阵

()

(7)对任何月e衣侬都有MIL之IMILnIMIIi()

(8)若A为正交矩阵，则“"UH=1()

答案：(1)(十)(2)(-)(3)(十)(4)(-)

(5)(+)(6)(+)(7)(-)(8)(+)

第六章解线性方程组的迭代法

习题六

L证明对于任意的矩阵A,序列L，百"，下'「收敛于零矩阵

解：由于以邮而

故

2.方程组

(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.

(2)写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以一)=©0,。)「计算到

―"CO-4为止

-521-

A=-142

解：因为卜-310_

具有严格对角占优，故J法和GS法均收敛。

(2)J法得迭代公式是

叶川）=4（12+2母）+承）

x产】）=；（20+染）一2律））

x用）=5（3-2举+3月力次=01…

取/）=（0,0,0）、迭代到18次有

/8）=（-3.9999962999974,1.99999）1

卜他-4）LK0.4145X10T

GS迭代法计算公式为

X产=-#12+2炉+炉）

x广1）=1（20+铲】）-2舂）

x产1）=，（3-2靖+】）+3谈】））,£=0,1,…

取二⑼=（—40000362999985,2.000003/

卜⑺-”）（x0.9156x10-4

3.设方程组

证明解此方程的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散

.w抒5)

解：Jacobi迭代为

其迭代矩阵

o一也

B=

0

的2，谱半径为，而GaussSeide迭代法为

其迭代矩阵

o

G=旬1

0_的2a21

,其谱半径为

由于曲8)=,故Jacobi迭代法和Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散.

4.下列两个方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解，是否收敛？

解：Jacobi法的迭代矩阵是

02-2z2-2

B=D1(£+S=-101,det(2Z-5)=121=0

220222

即detOZ-B）=下=C,故o（3）=0,J法收敛、

GS法的迭代矩阵为

T

-100--0-22--0-22

G=3切-1口=11000-1=02-3

221__000_002

22-2

deK2Z-3=02-23=2(2-2)2=0,4=04=4=2

002-2

故（⑦=2>1,解此方程组的GS法不收敛。

5.设，detA#0,用%b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.

解J法迭代矩阵为

aa

0020

"io10

_b_b_bb

B=0,det(/lZ-5)=2

"10"ioioTo=3冷。

aa

0002

"55

,故J法收敛的充要条件是。GS法迭代矩阵为

00

'10001[0-a0-100-a0'

b

G=b10000-b—1000-b

10010

0a5000000

l-—Jaba1

500-505

a

002—0

1010

abb.._abh

=b,det(〃-5=UX....—

1001010010

a^b_ab0史之上

0

50050」L50050J

=(2(1端（噂）-喘—如常）=。

由得GS法收敛得充要条件是

6.用SOR方法解方程组（分别取u）=1.03fu>=lfu）=l.l）

精确解，要求当F<5X10"时迭代终止，并对每一个3值确定迭代次数

解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为

染D=（l…）¥+/+x*）

x产）=（1-⑼斓）+£（4++姗））

x产）=（1一⑼承+号（一3+x严））沈=01…

取一）一（0,0,0»,当w=LO三时，迭代5次达到要求正；（0.5000043.1.0000002.-0.4999995）

若取。二11,迭代6次得

*)=(0.5000035,0,9999989-0.5000003)r

7.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法和GS法的渐

近收敛速度.若要使卜.一--1""那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次？

解：J法的迭代矩阵为

11

0—02--0

44

B=1o1,det(2Z-5)=-12-1=—2=0

44448

0-00--2

44

%=0&3=±（亚，故°（'）=9后，因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子

2

=1.03335

1+71-[P(5)]2

J法收敛速度

R(B)=-Inp(B)=-ln^=1.03972

由于。9)=炉⑻4,故

R(%)=-InQ(GQ=3.4001

若要求上"W5x10*"L=5x10-6,于是迭代次数

-Ins_15425

对于J法互苏=103972,，取K=15

-In£_15.425>742

对于GS法R(6=2.07944-'，取K=8

五上=3“*

对于SOR法K©,)3.4001，取K=5

8.填空题

(1)要使=十二。应满足().

(2)已知方程组则解此方程组的Jacobi迭代法是否收效)它的渐近收敛速度R(B)=

().

(3)设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是().GS法的迭代矩阵是().

(4)用GS法解方程组，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足().

(5)给定方程组JLJt］a为实数.当a满足(),且o<3<2时SOR迭代

法收敛.

答：

(1)W<1

(2)J法是收敛的,R⑶=Hnp(B)=-In0,8=0.225

(3)J法迭代矩阵是，GS法迭代矩阵

(4)礴足

(5)礴足同<1

第七章非线性方程求根

习题七

1.用二分法求方程/r-1=卵J正根，使误差小于0・05

解使用二分法先要确定有根区间匕，凡本题f(x)=x2-x-l=0,因f(l)=・Lf(2)=：L,

故区间［L2］为有根区间。另一根在内，故正根在［1,2］内。用二分法计算各次迭代值

如表。

N匹%*F(当)符号

0121.5-

11.521.75+

21.51.751.625十

31.51.6251.5625-

41.56251.6251.59375-

\xt一工力<—z-=—<0.05

勺=1t.59375具误差I12$32

2.求方程炉一，7■。在而=15附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立

相应迭代公式.

(1)，迭代公式.

(2)/=1+，，迭代公式»=(1+

(3),迭代公式.

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近

似根

解：(1)取区间"乱吼。⑶=1+*，。⑸父L3J.6：且，在口为可且，在［1.3,1◎中

°猴引。’(初三0911,则L<1,满足收敛定理条件，故迭代收敛。

(2)吠力=幼+，,在［1.3,1,6］中0(x)e［1.3,1.6：,且,在［1.3,1.可中有|。'(砌工046=£<：,故

迭代收敛。

在以=1渊近依初》1,故迭代法发散。

在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）

迭代，取％=1，则

=1.481248,=1,472706,=1.468817,x4=1.467048

x5=1466243,x6=1465877,x7=1465710,x8=1465634

q=1.465599,〜=1.465583,x“=1.465577,2=146