实验数据误差分析与数据处理

第一章试验数据误差分析与数据处理

第一节试验数据误差分析

一、概述

由于试验措施和试验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观测力，测量程序等限制，试

验测量值和真值之间，总是存在一定的差异，在数值上即体现为误差。为了提高试验的精度，

缩小试验观测值和真值之间的差值，需要对试验数据误差进行分析和讨论。

试验数据误差分析并不是即成事实的消极措施，而是给研究人员提供参与科学试验的积极武器,

通过误差分析，可以认清误差的来源及影响，使我们有也许预先确定导致试验总误差的最大构

成原因，并设法排除数据中所包括的无效成分，深入改善试验方案。试验误差分析也提醒我们

注意重要误差来源，精心操作，使研究的精确度得以提高。

二、试验误差的来源

试验误差从总体上讲有试验装置(包括原则器具、仪器仪表等)、试验措施、试验环境、试验人

员和被测量五个来源。

1.试验装置误差

测量装置是原则㈱具、仪器仪表和辅助设备的总体。试验装置误差是指由测量袋置产生的测量

误差。它来源于：

(1)原则器具误差

原则器具是指用以复现量值的计量器具。由于加工的限制，原则器复现的量值单位是有误差的。

例如,原则刻线米尺的0刻线和1000mm刻线之间的室际长度与I000mm单位是有差异的。

乂如，标称值为1kg的祛码的实际质虽（真值）并不等于1kg等等。

（2）仪器仪表误差

但凡用于被测量和复现计量单位的原则量进行比较的设备，称为仪器或仪表.它们将被测量转

换成可直接观测的指示值。例如，温度计、电流表、压力表、干涉仪、天平，等等。

由于仪器仪表在加工、装配和调试中，不可防止地存在误差，以致仪器仪表的指示值不等于被

测量的真值，导致测量误差。例如，天平的两臂不也许加工、调整到绝对相等，称量时，按天

平工作原理，天平平衡被认为两边的质量相等。不过，山丁•天平的不等臂，虽然天平到达平衡,

但两边的质量并不等，即导致测量误差。

（3）附件误差

为测量发明必要条件或使测量以便地进行而采用的多种辅助设备或附件，均属测量附件。如电

测量中的转换开关及移动测点、电源、热源和连接导线等均为测量附件，且均产生测量误差。

又如，热工计量用的水槽，作为温度测量附件，提供测量水银温妾计所需要的温场，由于水槽

内各处温度的不均匀，便引起测量误差，等等。

按装置误差详细形成原因，可分为构造性的装置误差、调整性的装置误差和变化性的装置误差。

构造性的装罟.误差如，天平的去等臂，线纹尺刻线不均匀，品块工作面的不平行性，光学零件

的光学性能缺陷，等等。这些误差大部分是由于制造工艺不完善和长期使用磨损引起的。调整

性的装置误差如投影仪物镜放大倍数调整不精确，水平仪的零位调整不精确，千分尺的零位调

整不精确，等等。这些误差是曰于仪器仪表在使用时，未调整到理想状态引起的。变化性的装

置误差如：激光波长的长期不稳定性，电阻等元器件的老化，品体振荡器频率的长期漂移，等

等。这些误差是由于仪器仪表随时间的不稳定性和随空间位置变化的不均匀性导致的。

2.环境误差

环境误差系指测量中由于多种环境原因导致的测量误差。

被测量在不一样的环境中测量，其成果是不一样的。这一客观事实阐明，环境对测量是有影响

的，是测量的误差来源之一。环境导致测量误差的重耍原因是测量装置包括原则器具、仪器仪

表、测量附件同被测对象伴随环境的变化而变化着。

测量环境除r偏离原则环境产生测局误差以外，从而引起测量环境微观变化的测量误差。

3.措施误差

措施误差系指由于测量措施（包括计算过程）不完善而引起的误差。

实际上，不存在不产生测量误差的尽善尽美的测量措施。由测量措施引起的测量误差重要有下

列两种状况：

第一种状况：由于测量人员的知识局限性或研究不充足以致操作不合理，或对测量措施、测量

程序进行错误的简化等引起的拮施误差。

第二种状况：分析处理数据时引起的措施误差。例如，轴的周长可以通过测量轴的直径d,然

后由公式：L=冗”计算得到。不过，在计算中只能取其近似值，因此，计算所得的L也只能是

近似值，从而引起周长L的误差。

4.人员误差

人员误差系指测量人员由于生理机能的限制，固有习惯性偏差以及疏忽等原因导致的测量误差。

由于测量人员在长时间的测量口，因疲劳或疏忽大意发生看错、读错、听错、记错等错误导致

测量误差，此类误差往往相称天是测量所不容许的。为此，规定测量人员养成严格而谨慎的习

惯，在测星中认真操作并集中精力，从制度上规定，对某些精确性较高而乂重要的测呈，由另

一名测量人员进行复核测量。

5.测量对象变化误差

被测对象在整个测量过程中处在不停地变化中。由于测量对象自身的变化而引起的测量误差称

为测量对象变化误差。

例如，被测温度计的温度，被测线纹尺的长度，被测量块的尺寸等，在测量过程中均处在不停

地变化中，由于它们的变化，使测量不准而带来误差。

三、误差的分类

误差是试验测量值（包括间接测量值）与真值（客观存在的精确值）之差异，误差可以分为下

面三类：

1.系统误差

由某些固定不变的原因引起的。在相似条件下进行多次测量，其误差的数值大小正负保持恒定,

或误差随条件按一定规律变化。单纯增长试验次数是无法减少系统误差的影响，由于它在反复

测定的状况下常保持同一数值与同一符号，故也称为常差。系统误差有固定的偏向和确定的规

律，可按原因采用对应的措施予以校正或用公式消除。

2.随机误差（偶尔误差）

由某些不易控制的原因引起，如测量值的波动，肉眼观测误差等等。随机误差5系统误差不一

样，其误差的数值和符号不确定，它不能从试验中消除，但它服从记录规律，其误差与测量次

数有美。伴随测量次数的增长，出现的正负误差可以互相抵消，故多次测量的算术平均值靠近

于真值。

3.过错误差

由试验人员粗心大意，如读数错误，记录错误或操作失误引起。此类误差与正常值相差较大，

应在整顿数据时加以剔除。

四、试验数据的真值与平均值

1.真值

真值是指某物理量客观存在确实定值，它•般是未知的。虽然真值是•种理想的概念，但对某

一物理量通过无限多次的测量，出现的误差有正、有负，而正负误差出现的概率是相似的。因

此，若不存在系统误差，它们的平均值相称靠近于这一物理量的真值。故真值等于测量次数无

限多时得到的算术平均值。由于试验工作中观测的次数是有限的，由此得出的平均值只能近似

于真值，故称这个平均值为最佳值。

2.平均值

油气储运试验中常用的平均值有：

(1)算术平均值

设,X。为各次测显值，n为测量次数，则算术平均值为1

♦

-M+0+3+A+Lfr

X=--------------------------=--------

nn

算术平均值是最常用的一种平均值，由于测定值的误差分布一般服从正态分布，可以证明算术

平均值即为•组等精度测量的最佳值或最可信赖值。

(2)均力根平均值

(3)几何平均值

X几:Qs•.，工3八Xn

五、误差的表达措施

I.绝对误差

测量值与真值之差的绝对值称为测量值的误差，即绝对误差。在实际工作中常以最佳值替代真

值，测量值与最佳值之差称为残存误差，习惯上也称为绝对误差.

设测量值用x表达，直值用X表达.则绝对误差D为

D=|X-x|

如在试验中对物理量的测量只进行了一次，可根据测量仪器出厂宓定书注明的误差，或取测量

仪器最小刻度值的二分之一作为单次测量的误差。如某压力表精(确)度为1.5级，即表明该

仪表最大误差为相称档次最大量程的1.5%,若最大量程为0.4MP霜该压力表的最大误差为：

0.4Xl.5%=0.006MPa

如试验中最常用的U形管压差计、转子流量计、秒表、量筒等仪表原则上均取其最小刻度值为

最大误差，而取其最小刻度值的二分之一作为绝对误差计算值。

2.相对误差

绝对误差D与真值的绝对值之比，称为相对误差:

e%=D/|X|

式中真值x-•般为未知，用平均值替代。

3.算术平均误差

算术平均误差的定义为:

nn

Xi-----测量值，i=1,2,3,n:

d一—测量值与算术平均值（k）之差的绝对值，d=xxi.0

4.原则误差（均方误差）

对有限测量次数，原则误差表达为：

原则误差是目前最常用的•种表达精确度的措施，它不仅与•系列测品值中的每个数据有关，

并且对其中较大的误差或较小的误差敏感性很强，能很好地反应试验数据的精确度，试验愈精

确，其原则误差愈小。

六、精密度、对的度和精确度

1、精密度

精密度是指对同一被测量作多次反复测量时，各次测量值之间彼此靠近或分散的程度。

它是对随机误差的描述，它反应随机误差对测量的影响程度。随机误差小，测量的精密度

就高。假如试验的相对误差为0.01%且误差由随机误差引起，则可以认为精密度为IO'。

2、对的度

对的度是指被测量的总体平均值与其真值靠近或偏离的程度。它是对系统误差的描述，

它反应系统误差对测量的影响程度。系统误差小，测量的对的度就高。假如试验的相对误差

为0.01%且误差由系统误差引起，则可以认为对的度为10，

3、精确度

精确度是指各测量值之同的靠近程度和其总体平均值对真值的靠近程度。它包括了精

密度和对的度两方面的含义。它反应随机误差和系统误差对测量的综合影响程度。只有随

机误差和系统误差都非常小，才能说测量的精确度高。若试验的相对误差为0.01%且误差由

系统误差和随机误差共同引起，则可以认为精确度为104»

七、试验数据的有效数与记数法

任何测量成果或计算•的量，总是体现为数字，而这些数字就代表了欲测量的近似值。究竟对这

些近似值应当取多少位数合适呢？应根据测量仪表的精度来确定，一般应记录到仪表最小刻度

的十分之一位。例如：某液面计标尺的最小分度为1mm,则读数可以到0.1mm。如在测定期液

位高在刻度524mm与525mm的中间，则应记液面高为524.5mm,其中前三位是直接读出的，

是精确的，最终一位是估计的，是欠准的，该数据为4位有效数。如液位恰在524mm刻度上，

该数据应记为524.0mm,若记为524mm,则失去一位（末位）欠准数字。

总之，有效数中应有并且只能有一位（末位）欠准数字。

由上可见，当液位高度为524.5mm时，最大误差为±0.5mm,也就是说误差为末位的二分之

在科学与工程中，为了消晰地体既有效数或数据的精度，•般将有效数写出并在笫•位数后加

小数点，而数值的数量级由10的整数寻来确定，这种以10的整数辕来记数的措施称科学记数

法。例如：0.0088应记为8.8X10-3,88000（有效数3位）记为8.80X10、应注意科学记数

法中，在10的整数箱之前的数字应所有为有效数。

有效数字进行运算时，运算成果仍为有效数字。总的规则是：可靠数字与可靠数字运

算后仍为可靠数字，可疑数字与可疑数字运算后仍为可疑数字，可靠数字与可疑数字运算

后为可疑数字，进位数可视为可靠数字。

对于已经给出了不确定度的有效数字，在运第时应先计算出运算成果的不确定度，然

后根据它决定成果的有效数字位数。

加减运算规则：

A.假如已知参与加减运算的各有效数字的不确定度，则先算出计算成果的不确定度，并保

留1-2位，然后确定计算成果的有效位数。

B.假如没给出参与加减运算的各有效数字的不确定度，则先找出可疑位最高的那个有效数

字，计算成果的可疑位应与该有效数字的可疑位对齐。

乘除运算规则

若干个有效数字相乘除时，计算成果（积或商）的有效数字位数在大多数状况下与参

与运算的有效数字位数至少的那个分量的有效位数相似。

乘方、开方运算规则

有效数字在乘方或开方时，若乘方或开方的次数不太高，其成果的有效数字位数与原

底数的有效数字位数相似。

对数运算规则

有效数字在取对数时，其有效数字的位数与真数的有效数字位数相似或多取1位。

第二节试验数据处理基本措施

数据处理是指从获得数据开始到得出最终结论的整个加工过程，包括数据记录、整顿、计

克、分析和绘制图表等。数据处理是试验工作的重要内容，波及的内容诸多，这里仅简介某些

基本的数据处理措施。

一、列表法

对一种物理量进行多次测昼或研究几种量之间的关系时，往往借助于列表法把试验数据列

成表格。其长处是，使大量数据体现清晰醒目，条理化，易于检查数据和发现问题，防止差错,

同步有助于反应出物理量之间的对应关系。因此，设计一种简要醒目、合理美观的数据表格，

是每•种同学都要掌握的基本技能。

列表没有统•的格式，但所设计的表格要能充足反应上述长处，应注意如下几点：

1.各栏目均应注明所记录的物理量的名称（符号）和单位：

2.栏目的次序应充足注意数据间的联络和计算次序，力争简要、齐全、有条理：

3.表中的原始测量数据应对的反应有效数字，数据不应随便涂改，确实要修改数据时，应

将本来数据画条杠以备随时查验；

4.对于函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的次序排列，以便于判断和

处理。

二、图解法

图线可以直观地表达试验数据间的关系，找出物理规律，因此图解法是数据处理的重要措

施之一。图解法处理数据，首先要画出合乎规范的图线，其要点如下：

1.选择图纸作图纸有直角坐标纸（即亳米方格纸）、对数坐标纸和极坐标纸等，根据作图

需要选择。在物理试验中比较常用的是亳米方格纸，其规格多为I7x25cm.

2.曲线改直由于直线最易描绘，且直线方程的两个参数（斜率和截距）也较易算得。因此对

于两个变量之间的函数关系是非线性的情形，在用图解法时应尽量通过变量代换将非线性的函

数曲线转变为线性函数的直线。下面为几种常用的变换措施。

（1）xy=c（c为常数）。令2=,，则y=cz,即y与z为线性关系。

x

（2）x=cJ7（。为常数）。令z=F,则），=-Vz,即），与z为线性关系。

C'

（3）y=奴6（。和b为常数）。等式两边取对数得，lgy=lga+blgx。于是，Igy与Igx为

线性关系，〃为斜率，1g”为祗距。

（4）.丫=次.（〃和〃为常数）。等式两边取自然对数得，111），=1114+瓜。于是，111），与不为

线性关系，力为斜率，Ina为截距。

3.确定坐标比例与标度合理选择坐标比例是作图法的关键所在。作图时一般以自变量作

横坐标（x轴），因变量作纵坐标（），轴）。坐标轴确定后，用粗实线在坐标纸上描出坐标轴，并

注明坐标轴所代表物理量的符号和单位。

坐标比例是指坐标轴上单位长度（一般为1cm）所代表的物理起大小。坐标比例的选用应注

意如下几点:

（I）原则上做到数据中的可靠数字在图上应是可靠的，即坐标轴上的最小分度（Imn）对应

于试验数据的最终一位精确数字。坐标比例选得过大会损害数据的精确度。

（2）坐标比例的选用应以便于读数为原则，常用的比例为“1：1”、“1：2”、“1：5”（包括

“1：0.1"、“1：10”…）,即每厘米代表“1、2、5”倍率单位的物理量。切勿采用复杂的比例

关系，如“1：3”、“1:7”、“1:9”等。这样不仅不易绘图，并且读数困难。

坐标比例确定后，应对坐标轴进行标度，即在坐标轴上均匀地（•般每隔2cm）标出所代表

物理量的整洁数值，标识所用的有效数字位数应与试验数据的有效数字位数相似。标度不一定

从零开始，一般用不不小于试验数据最小值的某一数作为坐标轴的起始点，用不小于试验数据

最大值的某一数作为终点，这样图纸可以被充足运用。

4.数据点的标出试验数据点在图纸上用“+”符号标出，符号的交叉点正是数据点的位

置。若在同一张图上作几条试验曲线，各条曲线的试验数据点应当用不一样符号（如X、。等）

标出，以示区别。

5.曲线的描绘由试验数据点描绘出平滑的试险曲线，连线要用透明H尺或三角板、曲线

板等拟合.根据随机误差理论，试验数据应均匀分布在曲线两侧.与曲线的距离尽量小.个别

偏离曲线较远的点，应检查标点与否错误，若无误表明该点也许是错误数据，在连线时不予考

虑。对于仪器仪表的校准曲线和定标曲线，连接时应将相邻的两点连成直线，整个曲线呈折线

形状。

6.注解与阐明在图纸上要写明图线的名称、坐标比例及必要的阐明（重要指试验条件），

并在恰当地方注明作者姓名、日期等。

7.直线图解法求待定常数直线图解法首先是求出斜率和截距，进而得出完整的线性方程。

其环节如下：

(1)选点。在直线上紧靠试验数据两个端点内侧取两点4(4乂)、B(x2,y2),并用不一样

于试验数据的符号标明，在符号旁边注明其坐标值(S生意有效数字)。若选用的两点距离较近，

计算斜率时会减少有效数字的位数。这两点既不能在试验数据范羽以外取点，由于它已无试验

根据，也不能直接使用原始测量数据点计算斜率。

(2)求斜率。设直线方程为)，=a+限，则斜率为

力=2二'(1-5-1)

♦f

(3)求截距。截距的计算公式为

a=X一如(1-5-2)

三、逐差法

当两个变量之间存在线性关系，且自变量为等差级数变化的状况下，用逐差法处理数据，

既能充足运用试验数据，又具有减小误差的效果。详细做法是将侧显得到的偶数组数据提成前

后两组，将对应项分别相减，然后再求平均值。

例如，在弹性程度内，弹簧的伸长量工与所受的载荷(拉力)万满足线性关系

F=kx

试验时等差地变化载荷，测得一组试验数据如下表：

跌码质量/Kg1.0002.3003.0004.0005.0006.0007.0008.000

弹簧伸长位过/cm%/*6

求每增长IKg硅码弓单簧的平均抑长量Ar.

若不加思索进行逐项相减，很自然会采用下列公式计算

••+(4-47)]=\(“8f)

-)+(4-%2)+•

成果发现除为和/外，其他中间测量值都未用匕它与一次增长7个硅码的单次测量等价。若

用多项间隔逐差，即将上述数据提成前后两组，前一组（不,占,当，兀），后一组（七,46，占，与），

然后对应项相减求平均，即

M=——[(X.-x)+(x-x)+(x-x)+(x-x)]

4x4l5i6i7384

这样所有测量数据都用上，保持了多次测量的长处，减少了防机误差，计算成果比前面的要精

确些。逐差法计算简便，尤其是在检查具有线性关系的数据时，可随时“逐差验证”，及时发现

数据规律或错误数据。

四、最小二乘法

由•组试验数据拟合出•条最佳直线，常用的措施是最小二乘法。设物理量），和X之间的

满足线性关系，则函数形式为

y=a+bx

最小二乘法就是要用试验数据来确定方程中的待定常数a和〃，即直线的斜率和截距。

我们讨论最简朴的状况，即每个测量

值都是等精度的，且假定x和「值中只有

y有明显的测量随机误差。假如x和），均

有误差，只要把误差相对较小的变量作为

x即可。由试验测量得到一组数据为

。“刀=】,2「力)，其中工=工时对应的)，=)”由于测量总是有误差的，我们将这些误差归结

为以的测量偏差，并记为和，脸，见图1-5-2。这样，将试验数据。,其)代入方程

y=n+bE后，得到

y-(a+bxi)=£l

y2-(a+/*2)=G

y„-(a+bx„)=£n

我们要运用上述的方程组来确定。和〃，那么〃和b要满足什么规定呢？显然，比较合理的。和

力是使%,4,…，与数值上都比较小。不过，每次测量的误差不会相似，反应在J，

邑大小不一，并且符号也不尽相似。因此只能规定总的偏差最小，即

n

£fmin

Ml

令S=£c：=£(兄_。_此)2

修I

使S为最小的条件是

dSOSd2S八d2S八

—=0A,—=A0,->0,-->0

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