2026年北京市海淀区高二期末考试数学样题含答案详解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高二年级样题数学2026.07本样题共6页，共两部分，19道题，满分100分．考试时长90分钟．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样题上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知是等差数列，，，则（

）A． B． C． D．2．函数，则（

）A． B． C．0 D．3．从中任取两个不同的数，组成有序数对．在平面直角坐标系中，以为坐标的点位于第一象限的个数为（

）A． B． C． D．4．已知是等比数列，其前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．5．已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（

）

A．在区间上单调递增 B．在处取得极大值C．有3个极值点 D．6．目前某城市无人机配送已实现常态化运营．随机抽取2000份无人机配送的订单，其中药品订单有500份，在这批药品订单中有150份是在10分钟内送达的应急订单．用频率估计概率．在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是（

）A． B． C． D．7．已知函数存在单调递减区间，则其导函数可能为（

）A． B．C． D．8．已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．9．设是各项均不为0的无穷等差数列，公差为．记，则“”是“有最小值”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知函数，．下列结论中正确的是（

）A．，使得对任意实数x，恒成立B．，使得方程恰有3个不同的实数根C．，函数存在最小值D．，函数在上单调递减第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11．在的展开式中，的系数是________．（用数字作答）12．某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人．工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为，则随机变量的数学期望的值为________．13．已知无穷等比数列的前项和为，且是递减数列，是递增数列．写出满足条件的一个数列的通项公式________．14．已知函数．当时，的单调递增区间为________；若至少有2个零点，则的取值范围是________．15．已知数列的前项和为，且，，，给出下列四个结论：①当时，为递减数列；②存在实数m，不是等比数列；③当时，；④当时，，，当时，都有．其中正确结论的序号是________．三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知函数．(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最值．17．某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对象，为此购买了一批种子．生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下：发芽的太空种子数发芽的普通种子数辣椒9083番茄8882大豆9185假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率．(1)估计这批太空辣椒种子发芽的概率；(2)某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为X，求X的分布列和数学期望；(3)某同学设计了每类作物种子的混合方案如下：方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合；方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合；方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合．上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是_________．（直接写出序号）18．已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在上恒成立，求实数的最小值；(3)求证：对任意的，都有．19．已知无穷数列，满足：对任意整数，或，称为的伴随数列．(1)若，为的伴随数列，写出的所有可能值；(2)若，各项均为非负实数，且为的伴随数列，求的最小值；(3)若为的伴随数列，且为的伴随数列，，，．任意给定正整数，对所有满足题意的数列，，集合中元素个数的最大值记为．求的通项公式．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】根据等差数列通项公式结合已知条件求出公差，再代入计算．【详解】设等差数列的公差为，由，得，因为，所以，解得，所以．2．A【分析】由导数的四则运算法则求导，结合三角函数值求解即可．【详解】由，则，所以.故选：A.3．C【分析】根据第一象限点横、纵坐标均为正的特征，利用分步乘法计数原理计算符合条件的有序数对个数．【详解】平面直角坐标系中，第一象限内的点满足横坐标且纵坐标，题设给出的数中，大于的数为，共个，要求选取两个不同的数组成有序数对，选横坐标：从个正数中任选1个，共种选法选纵坐标：由于为不同的数，故从剩余个正数中任选个，共种选法，根据分步乘法计数原理，符合条件的点的总个数为．4．C【详解】根据等比数列的通项公式，已知，，则，，等比数列前项和公式为，则，又，，则.5．D【分析】根据导函数图象确定原函数的性质，导函数的正负确定原函数的单调性，根据导函数零点左右导数的正负确定极值点的情况.【详解】，，在区间上单调递减，选项A错误；时，，当时，，当时，，所以不是极值点，选项B错误；的3个零点，，，当时，，当时，，不是极值点，当时，，当时，，是极小值点，当时，，当时，，是极大值点，有个极值点，选项C错误；，，在区间上单调递增，，选项D正确.6．D【详解】由题意得，在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是.7．C【详解】对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，所以函数在定义域内单调递增，故A错误；对于选项B：因为，所以函数在定义域内单调递增，故B错误；对于选项C：因为，所以函数存在单调递减区间，故C正确；对于选项D：因为的定义域为，当时，则，可得，即；当时，则，可得，即；综上所述：，所以函数在定义域内单调递增，故D错误.8．B【详解】当时，，所以在上单调递增，无极值点，当时，，当时，，在上单调递减，又在上单调递增，且函数图象为一条连续曲线，所以是函数唯一的极值点；当时，令，则（舍去），所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且函数图象为一条连续曲线，所以函数有两个极值点，分别为和，不符合题意，综上，的取值范围为.9．B【分析】通过举反例验证充分性，结合公差符号对趋势的影响验证必要性，从而判断出条件关系.【详解】充分性判断：取，，所有项都不为0，符合题意，此时，当为奇数且不断增大时，会无限减小，没有下界，因此没有最小值，即“”不是“有最小值”的充分条件；必要性判断：假设，无穷等差数列单调递减，必然存在正整数，当时，所有，且随增大趋向正无穷。此时对于大于的奇数，为负数，且随增大无限增大，即会无限减小趋向负无穷，没有最小值，因此若有最小值，必然，即“”是“有最小值”的必要条件；综上，""是"有最小值"的必要不充分条件.10．B【分析】直接由判断A，设，通过导数确定其单调性，结合零点存在定理判断B，设，利用导数确定的单调性，结合参数范围判断CD.【详解】对A，因为，所以A错；对B，显然有一个解是，时，设，则，设，则，由得，时，，递增，时，，递减，所以，当时，，当时，，当时，，所以存在两个零点，设为，则当或时，，递减，当时，，递增，又当时，，当时，，所以可能有三个零点，例如当时，，即方程恰有3个不同的实数根，其中，B正确；对C，设，则，令得，解得或，若，则当或时，，递减，时，，递增，所以在时取得极小值，在时取得极大值，又时，的衰减速度远快于二次函数增长速度，极限为0，，时，，，当时，，所以不是最小值，即无最小值；C错.对D，若，则，则在和上单调递减，在上单调递增，所以在上不是单调递减，D错.11．15【详解】在的展开式中，含的项为，其系数为15.12．【分析】根据题意确定随机变量的取值，求出不同值的概率，根据数学期望公式求解.【详解】随机变量的可能取值为，，、，，.13．（答案不唯一）【分析】由递增得所有项，结合是递减等比数列，可知首项为正、公比在内，据此举例即可.【详解】设等比数列的公比为，：因是递增数列，故对任意，有，即数列的所有项均为正数，因此，.又是递减数列，故，因此.如，验证递减：，满足条件；验证递增：前项和，，满足条件.14．【分析】当时，根据的正负即可得出的单调递增区间；再分类讨论的范围，数形结合即可求解．【详解】当时，，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以的单调递增区间为；当时，，满足至少有2个零点；当时，令，设，则，所以在处的切线斜率为1，所以当时，与只有一个交点，如图所示，所以当时，与至少有两个交点，如图所示，所以．15．②④【分析】①将代入得通项，由正负交替不单调递减，判断①错误；②取，此时出现零项，不符合等比数列定义，因此存在满足条件的，判断②正确；③由得公比平方大于1、偶数项均为负，，负数乘大于1的正数会更小，不等式不成立；④时公比，时是底数大于的指数型数列，极限趋向正无穷，满足无穷大定义.【详解】已知时，，且，，所以，整理得，即，即是等比数列，公比为，结合，得，进一步得时.①当时，，，数列是正负交替，，不是递减数列，①错误；②当时，，，数列为，不是等比数列，②正确；③当时，，，因为,，所以，所以，③错误；④当时，，时，当时，，因此对任意大的，总能找到足够大的，使得时，④正确.16．(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；(2)最小值为，最大值为【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可.（2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可.【详解】（1）函数的定义域为，求导得：.令，即，解得或.当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增.当时，在处取得极小值，即最小值，为.又，，所以在上的最小值为，最大值为.17．(1)(2)的分布列为：0123数学期望(3)①③【分析】（1）利用频率估计概率；（2）分析的所有可能取值，求出对应的概率，列出分布列，求出期望；（3）求出三种方案对应的概率，即可得到答案.【详解】（1）这批太空辣椒种子发芽的概率为；（2）的所有可能取值为，，，，，所以的分布列为：0123；（3）对于方案①，由题可知太空辣椒种子发芽的概率为，普通辣椒种子发芽的概率为，将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合后发芽的概率为，同理对于方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合后发芽的概率为；方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合后发芽的概率为，故上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是①③18．(1)(2)(3)因为，则当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；则，又，且时，故，欲证对任意的，都有，只需证对任意的，都有，只需证对任意的，都有，令，，则，则在上单调递减，则，命题得证.【分析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）将问题转化为在上恒成立，令，分、、、四种情况讨论；（3）先求的值域，将问题转化为对任意的，都有，再构造函数求最值即可.【详解】（1），因为，所以曲线在处的切线方程为；（2），即在上恒成立，则在上恒成立，则在上恒成立，令，则，令，若，则在上恒成立，不符合题意；若，则的对称轴为，若，则，则，则在上单调递增，则，不符合题意；若，则在上单调递减，若，即，则在上存在一个零点，则当时，，在上单调递增，则，不符合题意；若，即，则，在上恒成立，则在上单调递减，则，符合题意，综上，实数的最小值为；（3）略19．(1)1或5；(2)35；(3)这里满足.【分析】（1）利用定义直接求解即可；（2）根据伴随数列的定义，利用前后相邻两项并项求和即可；（3）利用伴随数列定义，求出数列和的各项的奇偶性规律，构造周期数列求解即可.【详解】（1）由已知，所以或；（2）因为为的伴随数列，所以对任意整数，或