2027届新高考数学热点精准复习导数与函数的极值

2027届新高考数学热点精准复习导数与函数的极值[考试要求]

1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值．3．会利用极值求参数．理法先行·题练固本知识点

函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_____________，右侧_____________．则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f'(x)<0f'(x)>0(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧_____________，右侧_____________．则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为______，极小值和极大值统称为____．f'(x)>0

f'(x)<0

极值点极值[常用结论]1．极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)．2．有极值的函数一定不是单调函数．1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1)已知函数f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值点是______________，极小值点是______________．

x2

x4x2

x4

[因为x2，x4处的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以x2，x4是函数的极值点．因为当x∈(x1，x2)时，f'(x)>0，当x∈(x2，x3)时，f'(x)<0，所以x2是极大值点．因为当x∈(x3，x4)时，f'(x)<0，当x∈(x4，x5)时，f'(x)>0，所以x4是极小值点．]

考点深研·题型突破考点一

根据函数图象判断极值[典例1]

(多选)(2025·九江期末)如图是函数y＝f(x)的导函数f'(x)的图象，则下面判断正确的是(

)A．f(x)在(－3，1)内单调递增B．f(x)在(1，2)内单调递减C．当x＝2时，f(x)取得极大值D．当x＝4时，f(x)取得极小值√√CD

[对于选项A，由题图知，当x∈(－3，1)时，f'(x)的符号有正有负，f(x)不是单调函数，所以选项A错误；对于选项B，由题图知，当x∈(1，2)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以选项B错误；对于选项C，由题图知f'(2)＝0，且在x＝2左侧附近，f'(x)>0，在x＝2右侧附近，f'(x)<0，所以x＝2是极大值点，f(x)在x＝2处取到极大值，所以选项C正确；对于选项D，由题图知f'(4)＝0，且在x＝4左侧附近，f'(x)<0，在x＝4右侧附近，f'(x)>0，所以x＝4是极小值点，f(x)在x＝4处取到极小值，所以选项D正确．故选CD．]通性通法：由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f'(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f'(x)的图象可以看出y＝f'(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．考点二

求已知函数的极值[典例2]

(2025·成都期末改编)求函数g(x)＝ax－ln(x＋1)(a∈R)的极值．

xg'(x)－0＋g(x)单调递减极小值单调递增

通性通法：运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)＝0，求出导函数在定义域内的所有根；(4)判断f'(x)在f'(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．

x(0，3)3(3，＋∞)f'(x)－0＋f(x)单调递减4－2ln

3单调递增

√

思维建模：知极值求参模型第1步

极值点导数为0：可导函数存在极值的必要条件是极值点一阶导数为0．第2步

求解：求方程或方程组的解．第3步

检验：出现多解时，检验是否符合题中的极值情况．【教用·易错提醒】(1)不能忽略函数的定义域．(2)f'(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f'(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f'(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性．(3)函数的极小值不一定比极大值小．

√√√

√

微点突破6六个基本超越函数的图象在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果．[典例4]

(人教A版选择性必修第二册P95例7)给定函数f(x)＝(x＋1)ex．(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数．[解]

(1)函数的定义域为R．f'(x)＝(x＋1)'ex＋(x＋1)(ex)'＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex．令f'(x)＝0，解得x＝－2．f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示．x(－∞，－2)－2(－2，＋∞)f'(x)－0＋f(x)单调递减单调递增

1．(链接考点一)(2025·泉州期中)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则f(x)极小值点的个数为(

)A．0

B．1C．2

D．3√C

[如图，设f'(x)与x轴的交点的横坐标为a，0，b，c，其中a<0<b<c，由图象可得x<a时，f'(x)<0，当a<x<0时，f'(x)>0，当0<x<b时，f'(x)>0，当b<x<c时，f'(x)<0，当x>c时，f'(x)>0，所以x＝a，x＝c是f(x)的极小值点，x＝b是f(x)的极大值点，故f(x)极小值点的个数为2．故选C．]

√

3．(链接考点三)(2026·保定模拟)已知函数f(x)＝(x－a2)(x－1)2在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围为(

)A．(－1，1)

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)

D．(0，1)√

4．(链接考点三)(2025·全国二卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝______________．

－4

[f'(x)＝(x－2)'[(x－1)(x－a)]＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'＝(x－1)(x－a)＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'，因为x＝2是函数f(x)的极值点，所以f'(2)＝0，即(2－1)(2－a)＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f(x)＝(x－1)(x－2)2，所以f(0)＝－4．]－4题、单项选择题1．(2025·赤峰期末)函数f(x)＝x－sin

x在(0，＋∞)上(

)A．既无极大值也无极小值

B．有极小值无极大值

C．既有极大值又有极小值

D．有极大值无极小值√课时作业(二十五)导数与函数的极值题

[根据题意导函数f'(x)＝1－cos

x≥0恒成立，因此函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)既无极大值也无极小值．故选A．]√题号135246879102．(2025·喀什期末)函数f(x)＝ex－x－2的极小值点为(

)A．－2

B．－1C．0

D．1题

[由题意可知f(x)的定义域为R，且f'(x)＝ex－1，令f'(x)＝0，可得x＝0，当x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以x＝0是f(x)的极小值点．故选C．]题号135246879103．(2025·广州期末)已知x＝1是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为(

)A．0

B．1C．2

D．4√题

[因为f(x)＝x3－3ax＋2，x∈R，所以f'(x)＝3x2－3a，又因为x＝1是函数f(x)的极小值点，所以f'(1)＝3－3a＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3－3x＋2，f'(x)＝3x2－3，令f'(x)＝3x2－3＝0，得x1＝－1，x2＝1，所以当x∈(－∞，－1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；题x∈(－1，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝－1处取极大值，在x＝1处取极小值，所以f(x)的极大值为f(－1)＝－1＋3＋2＝4．故选D．]√题/p>

题/p>

√题、多项选择题

5．(2026·吉安模拟)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex-1的极值点，则下面结论正确的为(

)A．a＝－1B．f(x)的单调递增区间为(－2，1)C．f(x)的极小值为1D．f(x)的极大值为5e-3√题D

[由题可得f'(x)＝ex-1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，x∈R，因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex-1的极值点，所以f'(－2)＝0，则4－2(a＋2)＋a－1＝0，解得a＝－1，故f(x)＝(x2－x－1)ex-1，f'(x)＝ex-1(x2＋x－2)＝(x－1)(x＋2)ex-1，当x<－2时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当－2<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；题x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－2，1)，故A正确，B错误．由上可知，f(x)的极大值为f(－2)＝5e-3，极小值为f(1)＝－1，故