2027届新高考数学热点精准复习导数中的构造问题(进阶课)

2027届新高考数学热点精准复习导数中的构造问题(进阶课)[总体概览]

导数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，既可能在选择、填空题中运用，也可能在解答题中运用，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立问题．类型一

利用导数的运算法则构造技法1

利用f(x)与xn构造函数[典例1]

(2025·萍乡期末)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)为f

(x)的导函数，且满足f(x)<－xf'(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)·f(x2－1)的解集是(

)A．(0，1)

B．(2，＋∞)C．(1，2)

D．(1，＋∞)√B

[构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y'＝f(x)＋xf'(x)<0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以x＋1<x2－1，且x2－1>0，x＋1>0，解得x>2或x<－1(舍去)，所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)．][母题探究](综合变式)把本例中的条件“f(x)<－xf'(x)”换为“f(x)<xf'(x)”，解不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)．

√

技法2

利用f(x)与ex构造函数[典例2]

(2026·枣庄模拟)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f'(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f'(x)>0，则(

)A．e-2

026f(－2

026)<f(0)，e2

026f(2

026)>f(0)B．e-2

026f(－2

026)<f(0)，e2

026f(2

026)<f(0)C．e-2

026f(－2

026)>f(0)，e2

026f(2

026)>f(0)D．e-2

026f(－2

026)>f(0)，e2

026f(2

026)<f(0)√A

[令h(x)＝exf(x)，则h'(x)＝exf(x)＋exf'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]>0，所以函数h(x)在R上单调递增，故h(－2

026)<h(0)，即e-2

026f(－2

026)<e0f(0)，即e-2

026f(－2

026)<f(0)．同理，h(2

026)>h(0)，即e2

026f(2

026)>f(0)．故选A．][母题探究](变条件)把本例中的条件“f(x)＋f'(x)>0”换为“f'(x)>f(x)”，比较e2

026f(－2

026)和f(0)的大小．

【教用·备选题】(2025·重庆北碚区期末)已知f'(x)－f(x)>0在R上恒成立，且f(0)＝1，则不等式e-xf(x)>1的解集为______________．

(0，＋∞)

[令F(x)＝e-xf(x)，则F'(x)＝e-x[f'(x)－f(x)]>0，F(x)在定义域上单调递增，故e-xf(x)>1⇒F(x)>F(0)，即解集为(0，＋∞)．](0，＋∞)

√√

√

类型二

利用数(式)结构构造函数[典例4]

若实数a，b，c∈[0，1]，且满足ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec，则实数a，b，c的大小关系是(

)A．c>b>a

B．b>a>cC．a>b>c

D．b>c>a√

通性通法：若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解．

√

题、单项选择题

1．(2025·广州质检)若函数y＝f(x)满足xf'(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则(

)A．af(b)>bf(a)

B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b)

D．af(b)<bf(a)√课时作业(二十四)导数中的构造问题(进阶课)题

[由题意，设g(x)＝xf(x)，则g'(x)＝xf'(x)＋f(x)>0，所以g(x)在R上单调递增，又a>b，所以g(a)>g(b)，即af(a)>bf(b)．故选B．]√题/p>

题/p>

题号135246879103．(2025·淄博期末)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f'(x)为其导函数，且f(x)<f'(x)恒成立，e是自然对数的底数，则(

)A．f(2

024)<ef(2

025)

B．ef(2

024)<f(2

025)C．ef(2

024)＝f(2

025)

D．ef(2

024)>f(2

025)√题/p>

√题/p>

题/p>

√题/p>

题/p>

题号135246879106．(2025·白银期中)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若xf'(x)－f(x)<0，且f(3)＝0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集为(

)A．(1，3)

B．(1，2)C．(0，3)

D．(3，＋∞)√题/p>

√题/p>

√题/p>

√题号135246879108．(2025·玉溪期末)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f'(x)，满足f'(x)＋2f(x)>0，e为自然对数的底数，则(

)A．f(1)>e2f(2)

B．e2f(－1)>f(－2)C．f(2)<e2f(3)

D．e4f(－1)>f(－3)√√题CD

[令g(x)＝e2xf(x)，则g'(x)＝e2x[f'(x)＋2f(x)]，x∈R，由f'(x)＋2f(x)>0，可得g'(x)>0，故g(x)在R上单调递增，由g(1)<g(2)，得f(1)<e2f(2)，故A不正确；由g(－1)>g(－2)，得e2f(－1)>f(－2)，故B正确；由g(2)<g(3)，得f