2027届新高考数学热点精准复习分类加法计数原理与分步乘法计数原理

2027届新高考数学热点精准复习

分类加法计数原理与分步乘法计数原理[课程标准要求]1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.能解决简单的实际问题.两个计数原理两个计数原理目标策略过程方法总数分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法N=

种不同的方法分步乘法计数原理需要两个步骤做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法N=

种不同的方法m+nm×n分类加法和分步乘法计数原理的区别在于分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)两个计数原理可以分别推广到含有“n类方案”和“n个步骤”的情况.(

)(2)从甲地经丙地到乙地是分步问题.(

)(3)从书架上任取数学书、语文书各一本是分类问题.(

)(4)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(

)√√××2.有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有2套不同样式的连衣裙,需选择一套服装参加“五一”歌舞演出,则不同的选择方式种数为(

)A.24 B.14 C.10 D.9解析:由题意可得,不同的选择方式种数为4×3+2=14.故选B.√3.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2130是“六合数”),则首位为2的“六合数”共有(

)A.18个 B.15个 C.12个 D.9个√解析:由题知后三位数字之和为4,当一个位置为4时有004,040,400,共3个;当三个位置数字都不为4时,若两个位置和为4,有013,031,103,301,130,310,022,202,220,共9个;若三个位置和为4,有112,121,211,共3个,所以一共有3+9+3=15(个).故选B.4.(选择性必修第三册P11习题6.1T2改编)由于用具简单、趣味性强,象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示,若不考虑这部分以外棋子的影响,且“马”和“炮”不动,“兵”只能往前走或左右走,每次只能走一格,从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线,其中也能把“炮”吃掉的可能路线有(

)A.10条 B.8条 C.6条 D.4条√解析:由题意可知,“兵”吃掉“马”的最短路线共需横走三格,竖走两格,其中也能把“炮”吃掉的路线可分为两步:第一步,横走两格,竖走一格,有3种走法;第二步,横走一格,竖走一格,有2种走法.所以所求路线共有3×2=6(条).故选C.考点一分类加法计数原理的应用[例1](1)从集合{1,2,3,4,…,15}中任意选择三个不同的数,使得这三个数组成等差数列,这样的等差数列有(

)A.98个 B.56个 C.84个 D.49个√解析:(1)当公差为1时,数列可以是:1,2,3或2,3,4或3,4,5或……或13,14,15,共13种情况;当公差为2时,数列可以是:1,3,5或2,4,6或3,5,7或……或11,13,15,共11种情况;当公差为3时,数列可以是:1,4,7或2,5,8或3,6,9或……或9,12,15,共9种情况;当公差为4时,数列可以是:1,5,9或2,6,10或3,7,11或……或7,11,15,共7种情况;当公差为5时,数列可以是:1,6,11或2,7,12或3,8,13或4,9,14或5,10,15,共5种情况;当公差为6时,数列可以是:1,7,13或2,8,14或3,9,15,共3种情况;当公差为7时,数列可以是:1,8,15,共1种情况.总的情况有13+11+9+7+5+3+1=49(种).又因为三个数成等差数列有两种情况,递增或递减,所以这样的等差数列共有98个.故选A.(2)如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落,则有可能导致电路不通,那么电路不通时焊接点脱落共有

种情况.13解析:(2)法一按照可能脱落的个数分类讨论.若脱落1个,则有1,4,共2种情况;若脱落2个,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况;若脱落3个,则有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种情况;若脱落4个,则有(1,2,3,4),共1种情况.综上,共有2+6+4+1=13(种)情况.法二电路不通可能是1个或多个焊接点脱落,问题比较复杂,但电路通的情况却只有3种,即只有2或只有3脱落或全不脱落,又每个焊接点有脱落与不脱落两种情况,故电路不通时焊接点脱落共有24-3=13(种)情况.使用分类加法计数原理的三个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏.(2)分类时,注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,不能重复.(3)若是正面分类比较复杂,而其反面情况比较简单,且总的情况容易求解,则用间接法(正难则反).[针对训练](1)某同学逛书店,发现3本喜欢的书,决定至少买其中的一本,则购买方案有(

)A.3种 B.6种 C.7种 D.9种解析:(1)法一买一本,有3种方案;买两本,有3种方案;买三本,有1种方案.因此共有方案3+3+1=7(种).故选C.√法二共3本书,每本书有买与不买两种情况,又3本都不买的情况只有1种,故至少买其中1本的购买方案有23-1=7(种).故选C.(2)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为

.

13解析:(2)当a=0时,b的值可以是-1,0,1,2,故(a,b)的个数为4;当a≠0时,要使方程ax2+2x+b=0有实数解,需使Δ=4-4ab≥0,即ab≤1.若a=-1,则b的值可以是-1,0,1,2,(a,b)的个数为4;若a=1,则b的值可以是-1,0,1,(a,b)的个数为3;若a=2,则b的值可以是-1,0,(a,b)的个数为2.由分类加法计数原理可知(a,b)的个数为4+4+3+2=13.考点二分步乘法计数原理[例2](1)(多选题)(2024·江西萍乡模拟)有4名学生报名参加3个不同的社团,则下列说法正确的是(

)A.每名学生限报其中一个社团,则不同的报名方法共有34种B.每名学生限报其中一个社团,则不同的报名方法共有43种C.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有24种D.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有43种√√解析:(1)对于A,B,4名学生各有3种报名方法,根据分步乘法计数原理知共有34种结果,A正确,B错误;对于C,D,每个社团限报一个人,则每个社团各有4种选择,根据分步乘法计数原理知共有43种结果,D正确,C错误.故选AD.(2)(2023·全国乙卷)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(

)A.30种 B.60种 C.120种 D.240种√利用分步乘法计数原理解题的两个注意点(1)明确题目中的“完成这件事”是什么,确定完成这件事需要几个步骤,且每步都是独立的.(2)将这件事划分成几个步骤来完成,各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,整个事件才算完成.[针对训练](1)(2023·全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(

)A.120 B.60 C.40 D.30√(2)如图是数独的一个简化版,由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字,则不同的填法有(

)A.12种 B.24种

C.72种 D.216种√解析:(2)先填第一行,有3×2×1=6(种)不同填法,再填第二行第一列的单元格,有2种不同填法,当该单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理可知,共有6×2=12(种)不同的填法.故选A.考点三两个计数原理的综合应用角度一与数字有关的问题[例3](多选题)已知数字0,1,2,3,4,由它们组成四位数,下列说法正确的是(

)A.组成可以有重复数字的四位数有500个B.组成无重复数字的四位数有96个C.组成无重复数字的四位偶数有66个D.组成百位是奇数的四位偶数有28个√√解析:对于A,组成可以有重复数字的四位数有4×5×5×5=500(个),故A正确;对于B,组成无重复数字的四位数有4×4×3×2=96(个),故B正确;对于C,若个位数为0时,则有4×3×2=24(个),若个位数不为0时,则有2×3×3×2=36(个),所以组成无重复数字的四位偶数有24+36=60(个),故C错误;对于D,组成百位是奇数的四位偶数有4×2×5×3=120(个),故D错误.故选AB.角度二与几何有关的问题[例4](2024·浙江金华模拟)空间内存在三点A,B,C,满足AB=AC=BC=1,在空间内取不同两点(不计顺序),使得这两点与A,B,C可以组成正四棱锥,总的方案数为

种.

解析:因为空间中有三个点A,B,C,且AB=AC=BC=1,不妨先考虑在一个正四棱锥中,哪三个点可以构成等边三角形,同时考虑△ABC三边的轮换对称性,可先分为以下两类:9第一类:△ABC为正四棱锥的侧面,不妨以BC作为正四棱锥底面正方形的一边为例,此时符合要求的另两个点如图①所示,显然有2种情况,考虑到△ABC三边的轮换对称性,故而总情况有6种;第二类:△ABC为正四棱锥的对角面,不妨以BC作为正四棱锥底面正方形的对角线为例,此时符合要求的另两个点如图②所示,显然只有1种情况,考虑到△ABC三边的轮换对称性,故而总情况有3种.综上所述,共有9种情况.[针对训练](1)(角度三)如图,用4种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法种数为(

)A.144 B.73 C.48 D.32√解析:(1)先对区域B涂色,有4种选择,再对区域C涂色,有3种选择,然后再对区域A,D涂色,有两种情况:①若区域A,D同色,有2种情况;②若区域A,D不同色,有2种情况.综上所述,不同的涂法种数为4×3×(2+2)=48(种).故选C.(2)(角度一)从不大于9的自然数中取3个不同的数可以组成

个能被5整除的三位数.

解析:(2)不大于9的自然数有10个:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中取3个,组成能被5整除的三位数,个位是0时,有9×8=72(