2027届新高考数学热点精准复习利用空间向量求空间角

2027届新高考数学热点精准复习利用空间向量求空间角【课标要求】会用向量法计算直线与直线、直线与平面的夹角及二面角.

【基础检测】

×××√×

C

A

5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB=PA，则平面ABP与平面CDP夹角的大小为

.

45°

考点1求异面直线所成的角

(1)证明:平面ABCD⊥平面CDEF;

[解析](2)以O为坐标原点，分别以OE，OC，OA为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

[小结]用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.

(1)证明:BC⊥平面PAC;(2)求三棱锥P-ABC的外接球的表面积;(3)N是BC的中点，M是上底面圆周上的一点，求异面直线MN与AD所成角的余弦值的最大值.对应训练(1)证明:BC⊥平面PAC;

(2)求三棱锥P-ABC的外接球的表面积;[解析](2)由BC⊥平面PAC，△PAC为等边三角形，将三棱锥B-ACP补成正三棱柱APC-DFB，

(3)N是BC的中点，M是上底面圆周上的一点，求异面直线MN与AD所成角的余弦值的最大值.[解析](3)由BC⊥AC，以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，建立如下图示的空间直角坐标系Cxyz，

考点2求直线与平面所成的角

(1)证明:GC∥平面EDB;

[小结]利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.2.如图，三棱台ABC-A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AB=2A1B1=4，AA1⊥平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，A1B⊥AC1.(1)证明:CC1∥平面A1MN;(2)求直线A1D与平面A1MN所成角的正弦值;(3)求点D到平面A1MN的距离.对应训练(1)证明:CC1∥平面A1MN;

(2)求直线A1D与平面A1MN所成角的正弦值;

(3)求点D到平面A1MN的距离.

3.(2025·广东清远·二模)如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2，E，F分别为PB，PD的中点.设平面AEF∩平面ABCD=m.

(1)求证:m∥BD;[解析](1)连接EF，在△PBD中，因为E，F分别为PB，PD的中点，所以EF∥BD，又因为EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，又因为EF⊂平面AEF，平面AEF∩平面ABCD=m，所以EF∥m，又因为EF∥BD，所以m∥BD.(2)求直线PA与平面AEF所成角的正弦值;[解析](2)设AC∩BD=O，连接PO，因为P-ABCD为正四棱锥，所以O为正方形ABCD的中心，所以OA⊥OB，PO⊥平面ABCD.以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

考点3求二面角

(1)证明:MN∥平面ABQ;(2)证明:平面MNF⊥平面ABFE;(3)求二面角P-MN-F的正弦值.(1)证明:MN∥平面ABQ;[解析](1)取BF的中点G，连接MG，NG.在正方形ABFE中，因为点M为AE的中点，所以MG∥AB，因为MG⊄平面ABQ，AB⊂平面ABQ，所以MG∥平面ABQ.在△BFQ中，因为点N为QF的中点，所以NG∥BQ，因为NG⊄平面ABQ，BQ⊂平面ABQ，所以NG∥平面ABQ，又MG∩NG=G，MG，NG⊂平面GMN，所以平面GMN∥平面ABQ，因为MN⊂平面GMN，所以MN∥平面ABQ.(2)证明:平面MNF⊥平面ABFE;

(2)证明:平面MNF⊥平面ABFE;[解析](3)由(2)可知，EA，EF，EP两两垂直，以E为原点，以EA，EC，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.

[小结]利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

(1)求证:AB⊥BC;(2)求平面ABB1与平面BB1C夹角的余弦值.对应训练(1)求证:AB⊥BC;[解析](1)取BC的中点O，连接OA1，OB1.因为侧面BCC1B1是菱形，∠B1BC=60°，所以△B1BC是正三角形，因为O是BC中点，所以BC⊥OB1.因为O是BC中点，A1B=A1C，所以BC⊥OA1，又因为OA1∩OB1=O，OA1⊂平面OA1B1，OB1⊂平面OA1B1，所以BC⊥平面OA1B1.因为A1B1⊂平面OA1B1，所以BC⊥A1B1.因为斜三棱柱ABC-A1B1C1，所以AB∥A1B1，所以AB⊥BC.(2)求平面ABB1与平面BB1C夹角的余弦值.

5.如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，D是AC中点，E，F分别是BA，BC边上的动点，且EF∥AC.将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥.(1)求证:EF⊥PC.(2)若BE=2AE，(ⅰ)当二面角P-EF-C是直二面角时，求二面角P-CE-F的正切值;(ⅱ)当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.(1)求证:EF⊥PC.[解析](1)因为AC⊥BC，AC∥EF，所以EF⊥BC，即EF⊥FC，EF⊥PF，因为PF∩FC=F，PF，FC⊂平面PFC，所以EF⊥平面PFC，因为PC⊂平面PFC，所以EF⊥PC.(2)若BE=2AE，(ⅰ)当二面角P-EF-C是直二面角时，求二面角P-CE-F的正切值;[解析](2)(ⅰ)因为二面角P-EF-C是直二面角，所以平面PEF⊥平面EFC，因为平面PEF∩平面EFC=EF，PF⊥EF，PF⊂平面PEF，所以PF⊥平面EFC，

易知平面CEF的一个法向量为n=(0，0，1)，设平面PCE的法向量为m=(x，y，z)，

(ⅱ)当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.

走进高考1.(2025·北京)如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点.(1)若F，G分别为PD，PE的中点，求证:FG∥平面PAB;(2)若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值.(1)若F，G分别为PD，PE的中点，求证:FG∥平面PAB;

(2)若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值.[解析](2)∵PA⊥平面ABCD，∴以A为原点，AC，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

2.(2025·全国二卷)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB=3AD，CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'，使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明:A'B∥平面CD'F;(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.(1)证明:A'B∥平面CD'F;[解析](1)设AD=1，所以AB=3，CD=2，因为F为CD中点，所以DF=1，因为EF∥AD，AB∥CD，所以AEFD是平行四边形，所以AE∥DF，所以A'E∥D'F，因为D'F⊂平面CD'F，A'E⊄平面CD'F，所以A'E∥平面CD'F，因为FC∥EB，FC⊂平