双曲线的标准方程及性质的应用+2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第2课时双曲线的标准方程及性质的应用目录典型例题·精研析01知能演练·扣课标02典型例题·精研析01课堂互动关键能力提升

题型一直线与双曲线的位置关系【例1】

已知双曲线

x2－

y2＝4，直线

l

：

y

＝

k

（

x

－1），直线

l

与

双曲线有两个不同的交点，确定满足条件的实数

k

的取值范围.

通性通法1.解决直线与双曲线的交点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次

项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.2.双曲线与直线只有一个交点的题目，应分两种情况讨论：直线与双

曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.

解：①当直线

l

的斜率不存在时，

l

：

x

＝1与双曲线相切，符合

题意.②当直线

l

的斜率存在时，设

l

的方程为

y

＝

k

（

x

－1）＋1，代入双曲线方程，得（4－

k2）

x2－（2

k

－2

k2）

x

－

k2＋2

k

－

5＝0.

题型二双曲线第二定义及应用

（2）点

M

与定点

F

（2，0）的距离和它到定直线

x

＝8的距离的比是

1∶2，则点

M

的轨迹方程为

⁠.

题型三弦长公式及中点弦问题【例3】

（1）已知双曲线

C

：

x2－

y2＝2，过右焦点的直线交双曲线

于

A

，

B

两点，若线段

AB

中点的横坐标为4，则弦

AB

的长为

（

D

）C.6D

A.2B

通性通法

双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题

常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.

A.1B.2C.1或2D.0

2.若直线

y

＝

kx

与双曲线4

x2－

y2＝16有两个公共点，则实数

k

的取值

范围为（

）A.（－2，2）B.[－2，2）C.（－2，2]D.[－2，2]解析：

易知

k

≠±2，将

y

＝

kx

代入4

x2－

y2＝16得关于

x

的一元

二次方程（4－

k2）

x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜

k

＜2.3.（2024·开封月考）经过双曲线

x2－

y2＝8的右焦点且斜率为2的直线

被双曲线截得的线段的长为（

）

4

知能演练·扣课标02课后巩固核心素养落地

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

123456789101112131415162.（2024·周口月考）直线

y

＝

x

－1被双曲线2

x2－

y2＝3所截得的弦的

中点坐标是（

）A.（1，2）B.（－2，－1）C.（－1，－2）D.（2，1）

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

x2－

y2＝6B.

x2－

y2＝9C.

x2－

y2＝16D.

x2－

y2＝25

12345678910111213141516

C.该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为112345678910111213141516

123456789101112131415166.（多选）（2024·湖州月考）已知平面上两点

M

（－5，0）和

N

（5，0），若直线上存在点

P

使｜

PM

｜－｜

PN

｜＝6，则称该直

线为“单曲型直线”.下列直线中是“单曲型直线”的有（

）A.3

y

＝

x

＋1B.

y

＝2D.

y

＝2

x

＋112345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

±1

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）过双曲线的右焦点

F

且倾斜角为60°的直线交双曲线于

A

，

B

两点，求｜

AB

｜.

12345678910111213141516

11.（2024·扬州月考）若直线

y

＝

kx

与双曲线

x2－

y2＝1的两支各有一

个交点，则实数

k

的取值范围是（

）A.（－1，0）B.（0，1）C.（－1，1）D.（1，＋∞）解析：

直线

y

＝

kx

过原点，且与双曲线

x2

－

y2＝1的两支各有一个交点，可得直线

y

＝

kx

一定在两渐近线之间，如图.因为双曲线的

渐近线方程为

y

＝±

x

，所以

k

∈（－1，1）.12345678910111213141516

A.1条B.2条C.3条D.4条

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151614.（2024·漳州月考）已知双曲线

C

的焦点在

x

轴上，其渐近线方程

为

y

＝±

x

，实轴长为2.（1）求双曲线

C

的标准方程；

12345678910111213141516（2）过点

P

（0，1）的直线与双曲线

C

的左、右两支各交于一

点，求该直线斜率的取值范围.

12345678910111213141516

5

12345678910111213141516

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12345678910111213141516

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