相交线与平行线复习提高

第五章相交线与平行线的复习相交线两条直线相交两条直线被第三条所截一般情况邻补角对顶角邻补角互补对顶角相等特殊垂直存在性和唯一性垂线段最短点到直线的距离同位角、内错角、同旁内角平行线平行公理及其推论平行线的判定平行线的性质两条平行线的距离平移平移的特征命题知识构图ｎ条直线相交于一点，有

组对顶角。n（n-1）

一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。

两条直线平行，那么它们的同位角的角平分线也互相平行；内错角的角平分线也互相平行；同旁内角的角平分线互相垂直。本章几个重要的结论：2.对顶角:(1)两条直线相交所构成的四个角中，

有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。如图(2).(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角。3.邻补角的性质:

同角的补角相等。4.对顶角性质:对顶角相等。两个特征:(1)具有公共顶点;(2)角的两边互为反向延长线。n条直线相交于一点，就有n(n-1)对对顶角。12(1)(2)12341.互为邻补角:两条直线相交所构成的四了角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角.如图(1)ABCDO在解决与角的计算有关的问题时，经常用到代数方法。解:设∠AOC=2x°,则∠AOD=3x°所以2x°+3x°=180°因为∠AOC+∠AOD=180°解得x=36°所以∠AOC=2x=72°∠BOD=∠AOC=72°答:∠BOD的度数是72°OABCDEF例2.已知直线AB、CD、EF相交于点O，解:因为直线AB与EF相交与点O所以∠AOE+∠BOE=180°因为∠AOE=36°所以∠BOE=180°-∠AOE=180°-36°=144°因为∠DOE=90°所以∠AOD=∠AOE+∠DOE=126°又因为∠BOC与∠AOD是对顶角所以∠BOC=∠AOD=126°1.垂线的定义:

两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角是90°时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫垂足。2.垂线的性质:(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(2):直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简称:垂线段最短。3.点到直线的距离:

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。垂线你能量出C到AB的距离,B到AC的距离,A到BC的距离吗?A

DCB

E

F理由:垂线段最短拓展应用

如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由。C∟理由:垂线段最短┓ABCDOE此题需要正确地

应用、对顶角、

邻补角、垂直的

概念和性质。OADCB由垂直先找到90°的角，再根据角之间的关系求解。思考：三角形的三条垂线有什么特点？三角形的三条垂线都交于一点；锐角三角形的三条垂线交点在三角形的内部；直角三角形的三条垂线交点在直角顶点；钝角三角形的三条垂线交点在三角形的外部；例3:你能画出ABC三点到对边的垂线吗？1、同位角的位置特征是:2、内错角的位置特征是:3、同旁内角的位置特征是:(1)在截线的同旁，(2)在被截两直线的同方向。(1)在截线的两旁，(2)在被截两直线之间。(1)在截线的同旁，(2)在被截两直线之间。F1375286DCABE4被截线截线三线八角4、同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直线相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置关系。它们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的。ACBDE12答：∠EAC答：∠DAB答：∠BAC,∠BAE

,∠2∠1与哪个角是同旁内角？∠2与哪个角是内错角?例1.∠1与哪个角是内错角？∠1和∠2不是同位角，

如图中的∠1和∠2是同位角吗?为什么?1212∵∠1和∠2无一边共线。∠1和∠2是同位角，∵∠1和∠2有一边共线、同向且不共顶点。练一练平行线的概念:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。2.两直线的位置关系:在同一平面内，两直线的位置关系只有两种:(1)相交;(2)平行。3.平行线的基本性质:

(1)平行公理(平行线的存在性和唯一性)

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。(2)推论(平行线的传递性)

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。平行(1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。(2)传递法;两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行。(4)三种角判定(3种方法):在这六种方法中，定义一般不常用。同位角相等,两直线平行。内错角相等,两直线平行。同旁内角互补,两直线平行。(3)因为a⊥c,a⊥b；所以b//cabCFABCDE1234判定两直线平行的方法有三种:平行线的判定两直线平行条件结论同位角相等内错角相等同旁内角互补条件同位角相等内错角相等同旁内角互补结论两直线平行夹在两平行线间的垂线段的长度,叫做两平行线间的距离。平

行

线

的

性

质证明：由：∠1+∠2=180°(已知)4123ABCEFD(同旁内角互补，两直线平行)∠1=∠3（对顶角相等)∠2=∠4（对顶角相等)所以∠3+∠4=180°(等量代换)AB//CD.例1.如图已知：∠1+∠2=180°，求证：AB∥CD。例题精讲:∵EF⊥AB，CD⊥AB（已知）∴AD∥BC(垂直于同一条直线的两条直线互相平行)∴∠EFB＝∠DCB（两直线平行，同位角相等）∵∠EFB=∠GDC（已知）∴∠DCB=∠GDC（等量代换）∴DG∥BC（内错角相等,两直线平行）∴∠AGD=∠ACB（两直线平行，同位角相等）证明：例2.已知EF⊥AB，CD⊥AB，∠EFB=∠GDC，求证：∠AGD=∠ACB。例题精讲例3。已知∠DAC=∠ACB,∠D+∠DFE=1800,求证:EF//BC

证明:因为∠DAC=∠ACB(已知)

所以AD//BC(内错角相等,两直线平行)

因为∠D+∠DFE=1800(已知)

所以AD//EF(同旁内角互补,两直线平行)

因为EF//BC(平行于同一条直线的两条直线互相平行)ABCDEF例题精讲:

证明：∵由AC∥DE（已知）ADBE12C∴∠ACD=∠2(两直线平行，内错角相等)∵∠1=∠2（已知）∴∠1=∠ACD(等量代换)∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)例4.如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2，试证明AB∥CD。

1、观察右图并填空：(1)

∠1

与

是同位角;(2)

∠5

与

是同旁内角;(3)

∠1

与

是内错角;banm23145∠4∠3∠2

2、当图中各角满足下列条件时,你能指出哪两条直线平行?(1)

∠1=∠4;(2)

∠2=∠4;(3)

∠1+∠3=180

;ablmn1234基础练习:a∥bl∥ml∥n3.如图：∠1=100°∠2=80°，∠3=105°则∠4=_______abcd12344.两条直线被第三条直线所截，则（）A同位角相等B同旁内角互补C内错角相等D以上都不对基础练习:105°D.如图,若∠3=∠4，则

∥

；AD1⌒⌒⌒⌒ABCD1432若AB∥CD,则∠

=∠

。BC2.如图，∠D=70°，∠C=110°,∠1=69°，则∠B=

·BACED⌒169°⌒⌒⌒⌒ABCD14323.如图，若AB∥CD，再补充什么条件，可以得到AD//BC？综合练习

4.已知,如图AB∥EF∥CD,AD∥BC,BD平分∠ABC,则图中与∠EOD相等的角有()个.A.2B.3C.4D.5ABCDEFOD5.如图，填空(1)∵∠B=∠1（已知）∴____//____（）(2)∵CG//DF（已知）∴∠2=

（）(3)∵∠3=∠A（已知）∴____//____（）(4)∵AG//DF（已知）∴∠3=_____（）同位角相等，两直线平行ABDE∠F两直线平行，同位角相等ABDE内错角相等，两直线平行∠D两直线平行，内错角相等(5)∵∠B+∠4=180°（已知）∴____//____（）(6)∵CG//DF（已知）∴∠F+

=180°（）同旁内角互补，两直线平行ABDE∠5两直线平行，同旁内角互补练习:6如图⑴,已知AB∥CD,∠1=30°,∠2=90°,则∠3=______°7如图⑵,若AE∥CD,∠EBF=135°，∠BFD=60°,∠D=（）A、75°B、45°C、30°D、15°图1图230°？135°？60°8、如图，已知∠AEM＝∠DGN，则你能说明AB平行于CD吗？变式1：若∠AEM＝∠DGN，EF、GH分别平分∠AEG和∠CGN，则图中还有平行线吗？变式2：若∠AEM＝∠DGN，∠1＝∠2，则图中还有平行线吗？1、如图，已知AB∥CD，∠ABF=∠DCE.试说明：∠BFE=∠FEC.

？？yslpyx思考题adcb3122.如图，以下是某位同学作业中的一段说理：如果∠1=∠2

，那么根据同位角相等，两直线平行，可得a∥b；如果∠2+∠3=180°，那么根据两直线平行，同旁内角互补，可得c∥d。你认为他说得对吗？______若OE⊥AB,∠1=56°,则∠3=_____。E3OABCD2134°60°120°4.（算算看）已知如图，OB⊥OA，直线