3.2.1双曲线及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程3.2.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.初步会按特定条件求双曲线的标准方程.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识全过关知识点1双曲线的定义定义平面内与两个定点F1,F2的

等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线

集合表示{M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}焦点两个

叫做双曲线的焦点

焦距两焦点间的

叫做双曲线的焦距,表示为|F1F2|

距离的差的绝对值

定点F1,F2距离

AI·思考辨析将双曲线的定义式中“||MF1|-|MF2||=2a”改为“|MF1|-|MF2|=2a”,其余条件不变,此时点M的轨迹是什么?提示

双曲线中靠近点F2的一支.体验新知(人教B版教材习题)如图,A,B是平面上的两点,且|AB|=10,图中的一系列圆是圆心分别为A,B的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是1,2,3,….在两组同心圆的交点中,找出与A,B两点的距离之差的绝对值等于6的点,并把这些点用光滑的曲线顺次连接起来,观察所得曲线的形状.解

所得曲线是以A,B为焦点的双曲线.知识点2双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程(a>0,b>0)

(a>0,b>0)几何图形

焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)

a,b,c的关系c2=a2+b2

此关系蕴含①c>a,c>b;②可知二求一

F1(0,-c),F2(0,c)AI·思考辨析如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置?提示

“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.

B解析

根据双曲线的定义知,P的轨迹是以F1(5,0),F2(-5,0)为焦点,以8为实轴长的双曲线,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以双曲线的方程为

.故选B.

B

重难探究·能力素养速提升能力提升点一求双曲线的标准方程

能力提升点二方程表示双曲线的条件

若该方程表示双曲线,则有(4+k)(k-1)>0,解得k>1或k<-4,故实数k的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).

CD

能力提升点三双曲线定义的应用

解

(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.解得|MF2|=10或|MF2|=22.所以点M到另一个焦点的距离为10或22.例题探究1(变条件)在本例(1)中,将条件中“点M到它的一个焦点的距离等于16”改为“点M到它的一个焦点的距离等于7”,其余不变.解

设|MF1|=7,则||MF2|-7|=6,得|MF2|=13或|MF2|=1.当|MF2|=1时,|MF1|=7,而|F1F2|=10,无意义,故舍去.所以|MF1|=13.所以点M到另一个焦点的距离为13.

例题探究

(变条件)本例中若点A在双曲线的左支上,其他条件不变,结果又如何?

能力提升点四双曲线的实际生活应用【例5】

(人教B版教材习题)相距1400m的A,B两个观察站都听到了一声巨响,且在A处听到的时间比在B处听到的时间早4s.已知当时的声速是340m/s,发出巨响的点与A,B都在水平面上,求发出巨响的点所在曲线的方程.解

以线段AB的中点为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系(图略),设发出巨响的点为P.由题意可知|PB|-|PA|=340×4=1

360,易知点P在以A,B为焦点的双曲线上,即2a=1

360,2c=1

400,解得a=680,c=700,所以b2=27

600.变式训练3

如图,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东30°方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2km,则曲线PQ的轨迹方程是

;现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是

km.

解析

如图所示,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则|DA|-|DB|=2,根据双曲线定义知,轨迹为双曲线的右支.故2c=4,c=2,2a=2,a=1,b2=c2-a2=4-1=3,本节要点归纳1.知识清单:(1)双曲线的定义及应用;(2)双曲线的标准方程及其推导过程;(3)双曲线在实际生活中的应用.2.方法归纳:待定系数法、分类讨论法、转化化归法.3.常见误区:(1)双曲线焦点位置的判断易出错,易忽略双曲线成立的必要条件;(2)双曲线在实际生活的应用中,建模容易出错.学以致用·随堂检测促达标123451.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹分别为(

)A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线D解析

因为|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,所以当a=3时,2a=6<|F1F2|,为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,为一条射线.12345

B解析

由题意,得(m-2)(m-6)<0,解得2<m<6.故选B.12345

1解析

由双曲线方程知a>0,焦点在x轴上,所以4-a2=2+a,解得a=1(负值舍去).123454.已知F1