小学四年级数学《方阵问题的模型建构与策略应用》导学案

小学四年级数学《方阵问题的模型建构与策略应用》导学案

一、教学内容与学情分析

（一）教学内容定位

本课内容选自北京版教材四年级上册第十单元“数学百花园”，属于【综合与实践】学习领域。它是在学生初步认识了乘法、除法以及正方形特征的基础上进行教学的。方阵问题不仅是生活中常见的现象，如阅兵队列、花坛摆放、围棋棋盘等，更蕴含着深刻的数学模型思想和策略优化的意识【基础】。本课时的核心任务并非单纯记忆公式，而是引导学生经历“现实问题—几何直观—数学模型—解释应用”的全过程，着力培养学生的高阶思维能力，即分析、评价与创造能力【非常重要】。

（二）学情研判

四年级学生正处于具体运算思维向形式运算思维过渡的关键期。他们已经具备了一定的生活经验，能够理解“行”和“列”的概念，但对于“重叠”（角上重复计数）这一思维难点，往往缺乏直观的感知和严谨的逻辑分析。学生在面对“最外层总数”的问题时，最直观的、最易出现的误区就是用“每边数量×边数”来解决，即【高频易错点】。因此，本课的设计正是要精准利用这一认知冲突，将其转化为宝贵的教学资源，引导学生在纠错、辨析中深化理解，实现思维的跃升。

二、教学目标

1.【基础】通过观察阅兵式、花坛等生活实例，理解并描述方阵的特征（行数=列数，排成正方形）。

2.【核心】经历自主探究、合作交流的过程，能借助“点阵图”通过圈、画、算等方式，探索并掌握求实心方阵最外层总数及总数量的多种解题策略，理解“重复数”是关键要素【教学重点】。

3.【高阶】能够对方阵问题的不同解法进行分析、比较和评价，体会“数形结合”、“建模”、“优化”等数学思想，并能灵活选择策略解决简单的实际问题【教学难点】【高频考点】。

4.【素养】在解决“排兵布阵”等实际问题中，感受数学的简洁美与实用价值，培养多角度思考问题的意识和创新精神。

三、教学准备

多媒体课件（包含国庆阅兵视频、动态点阵图）、学生专用学习单（含不同层次的探究任务）、围棋盘、黑白棋子若干。

四、教学实施过程

（一）情境导入，初识方阵——从生活抽象出模型

1.视频激趣，建立表象

上课伊始，教师播放一段精心剪辑的国庆阅兵式方队视频，画面定格在士兵组成的正方形队伍。师提问：“同学们，看完这段视频，你有什么感受？（生：整齐、威武、壮观）请大家仔细观察这支队伍，它在排列上有什么数学特点？”

学生通过观察和讨论，会指出队伍排得很方正，横着看和竖着看人数一样多。教师顺势揭示概念：【基础概念】在数学中，像这样行数和列数相等，排成一个正方形队伍的队列，我们就称之为“方阵”。（板书：方阵）同时，通过PPT展示阅兵方阵、围棋棋盘、花坛摆放等图片，丰富学生对“方阵”的现实表征。

2.聚焦问题，引发冲突

教师继续引导：“其实，方阵里藏着许多数学奥秘。看，学校为了美化校园，购买了一批花盆，准备摆成一个每边6盆的实心方阵花坛（课件出示一个空白的方格图，最外层每边标出6个点）。老师想请你们当‘小小设计师’，算一算：这个花坛的最外层一共需要多少盆花？”

【非常重要】此环节教师不急于给出任何提示，而是让学生独立尝试列式。巡视中，教师会有意识地收集两种典型的答案：一种是“6×4=24（盆）”，另一种是正确答案“20盆”。教师将这两种截然不同的答案呈现在黑板上，制造强烈的认知冲突：“为什么同一个问题，会出现两种不同的结果？究竟谁的解法对呢？让我们一起来当小法官，评判一下。”通过制造冲突，激发学生的探究欲望，为后续的深度探究埋下伏笔。

（二）自主探究，算法多样——在几何直观中明晰算理

1.动手操作，化抽象为直观

教师为每位学生提供印有“每边6个点”的空白点阵图学习单（学具），并提出探究要求：【核心活动】

（1）圈一圈：在学习单的点阵图上，用你喜欢的颜色圈出最外层的花盆，要求能让人一眼就看出你是怎么数的。

（2）写一写：根据你的圈法，列出相应的算式。

（3）想一想：尝试用不同的方法再数一数、算一算。

2.汇报交流，展示思维过程

学生经过充分的独立思考和小组交流后，教师组织全班汇报，并利用实物投影仪展示学生的典型作品。这一环节是本节课的【重中之重】，教师引导学生不仅说算式，更要结合图说清算理。

方法一：常规去重法（6×4－4=20）

学生展示：他将正方形的四条边上的点全部圈起来，每条边6个点，四条边就是24个点。但随即发现，四个角上的点每个都被圈了两次（既属于横边又属于竖边）。学生指着图解释：“所以我从24里面再减去多算的4个角上的点，就等于20个。”【思维难点解析】教师在此处追问：“为什么要减4？这4个点代表了什么？”引导学生深刻理解“重复”的含义，并点明这是解决此类问题的【核心关键点】。

方法二：顶点优先法（4＋（6-2）×4=20）

学生展示：他先把四个顶点的4盆花圈出来，然后再把每条边中间剩下的4盆花圈起来。算式为：4个顶点+4条边×每边中间的4盆=4+16=20。教师点评：“这位同学很有策略，他先把最特殊的‘顶点’处理掉，再算普通的‘边点’，思路非常清晰。”

方法三：平均分配法（（6-1）×4=20）

学生展示：他将每条边上的一个顶点“让给”这条边。这样一来，每条边上实际负责的点就变成了5个（包括一个顶点）。所以最外层总数就是5×4=20。这是非常巧妙的一种方法，体现了“移多补少”和“变重复为不重复”的优化思想【重要】。教师引导学生对比方法一和方法三：“为什么第一种方法要减4，而这种方法不减4？这两种方法之间有什么联系？”引导学生发现，方法三实际上就是把四个重复的顶点，每边“吸收”一个，从而避免了重复计算。

方法四：分组对边法（6×2＋4×2=20）

学生展示：他将上下两条边看作一组，共有6×2=12盆；左右两条边去掉已经算过的两个顶点（因为顶点已在上下边算过），每边只剩4盆，共4×2=8盆；合计20盆。

教师对每一种方法都给予充分的肯定，并引导学生给这些方法起个形象的名字，如“去重法”、“顶点法”、“平均法”、“分组法”等。通过算法的多样化呈现，不仅尊重了学生的个性差异，更让学生在比较中深刻体会到“解决问题策略的多样性”。

（三）优化建模，触类旁通——从特殊走向一般

1.对比分析，提炼模型

当所有方法呈现完毕后，教师组织学生进行第二次深度的思辨学习：【高频考点】

师：同学们真了不起，想出了这么多种解法。请大家仔细观察这些不同的算式和图示，它们之间有什么相同的地方？又有什么不同的地方？

学生在观察、讨论中发现，虽然圈的方法不同，但大家都不约而同地关注到了“角”这个特殊位置。无论是减去重复的角，还是先算角，都是为了解决“角上的点被重复计算”的问题。

师总结：【核心模型】看来，无论用什么方法，我们的核心策略都是要处理好“顶点”这个关键要素。对于正方形方阵，最外层总数=每边数量×4－4（重复的顶点）。当然，我们更喜欢用（每边数量-1）×4，因为这样一步就能算出不重复的“段数”乘以边数，更加简洁。（板书核心公式）

2.变式训练，验证模型

为了检验模型的普适性，教师出示变式练习：

（1）如果这个花坛的最外层每边摆8盆花，最外层一共需要多少盆？

（2）学校体操队表演，排成方阵，最外层每边有10人，最外层一共有多少人？

学生运用发现的规律快速解答，并解释算理。此时，教师引导学生回顾一开始的“6×4=24”的错例，请出错的同学自己分析错误原因：“我原来忽略了顶点上的人被重复算了两次，所以算多了。”通过自我纠错，完成知识的内化。

（四）综合实践，策略应用——在复杂情境中迁移

1.进阶挑战一：多边形方阵（打破思维定势）

教师出示一个等边三角形花坛（每个顶点摆一盆，每边摆6盆），提问：【拓展应用】“如果不是正方形，而是三角形，它的最外层总数还能直接用（6-1）×4吗？为什么？请你先猜测，再用点阵图画一画、算一算。”

学生通过画图发现，三角形的规律与正方形不同，三角形最外层总数=（每边数量-1）×边数。通过与正方形方阵的对比，学生深刻体会到“模型要因形而异”，不能死套公式，要具体分析图形的“顶点重合”情况，即【难点突破】。

2.进阶挑战二：空心方阵与逆向思考

教师利用围棋盘创设情境：“围棋盘的最外层每边可以放19颗棋子，那最外层一共可以放多少颗？（生：72颗，利用公式（19-1）×4）非常好。那如果告诉你们，某正方形围棋最外层一共放了48颗棋子，你们能反推出每边放了多少颗棋子吗？”

这是【高频考点】中的逆向思维题。引导学生利用核心公式变形：每边数=最外层总数÷4+1。学生在解决逆向问题的过程中，进一步加深对模型数量关系的理解，实现知识的双向贯通。

3.挑战三：减少行与列（中空方阵雏形）

“一个正方形队列，如果减少一行和一列，就减少了19人。请问原来这个正方形队列共有多少人？”【高阶思维训练】

教师引导学生画图理解：减少一行和一列，有1个人处于行列交叉点被重复计算。所以减少的人数=原来每边人数×2-1。由此求出原来每边人数为（19+1）÷2=10人，总人数为10×10=100人。此题是“方阵问题”与“植树问题”中“重叠”思想的综合运用，充分考察学生能否将复杂问题转化为基本模型的能力。

（五）梳理内化，分层作业

1.课堂小结

教师引导学生从知识、方法、情感三个维度进行总结：“通过这节课的学习，你收获了哪些解决方阵问题的策略？你对自己的学习过程满意吗？你觉得‘数形结合’的方法对我们解决数学问题有什么帮助？”

2.分层作业设计

（1）基础题（必做）：一个实心方阵，最外层每边有12人，求最外层人数和整个方阵的总人数。

（2）拓展题（选做）：社区设计一个正五边形花坛，每个顶点都要摆花，每边摆8盆，求最外层共需多少盆？如果告诉你最外层共摆了40盆，那么每边摆了多少盆？

（3）实践题（探究）：利用周末观察身边的方阵（如停车位、地砖等），自己编一道方阵问题，并尝试画图解决。

五、板书设计

方阵问题的模型建构与策略应用

——以