人教版高中二年级下册第九单元第一课排列组合教案

人教版高中二年级下册第九单元第一课排列组合教案一、教学内容分析本次教学内容为人教版高中数学二年级下册第九单元第一课排列相关内容，授课时长1个标准课时（45分钟）。本节课是学生学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理之后，对计数原理的第一个具体应用场景，是整个排列组合单元的基础概念课，其核心内容排列的定义、排列数公式不仅是后续学习组合、二项式定理的铺垫，也为高中阶段学习古典概型、随机变量概率统计提供了核心计数工具，同时承载着培养学生抽象概括、逻辑推理核心素养的功能，在整个高中数学知识体系中起到承上启下的关键作用。本节课的核心任务是帮助学生从实际计数问题中抽象出排列的概念，掌握排列数公式的推导与应用，明确排列问题“有序性”的本质特征。二、学情分析授课对象为高二年级理科学生，学生已经掌握分类加法与分步乘法两个基本计数原理，能够独立解决简单的分步、分类计数问题，具备一定的逻辑推理和归纳概括能力，在小学、初中阶段也接触过简单的排队、组数等排列类实际问题，但未形成抽象的概念体系。学生的认知难点主要集中在三个方面：一是无法准确区分计数问题是否存在顺序要求，容易混淆排列问题和无顺序的计数问题；二是容易混淆“排列”与“排列数”两个概念，误将具体的排列结果等同于排列的个数；三是解决含限定条件的排列问题时，无法准确拆解问题，误用计数原理。因此本节课设计从具体实例出发，通过对比辨析突破认知难点，通过讲练结合落实知识与能力目标。三、教学目标结合高中数学课程标准要求与学情，制定本节课教学目标如下：1.知识与技能目标：学生能够准确理解排列的概念，掌握排列问题“元素不同、有序排列”的核心特征，掌握排列数的定义，能够独立推导排列数公式，理解阶乘的概念与性质，能够运用排列知识解决简单的实际计数问题，基础题计算准确率不低于80%。2.过程与方法目标：通过从具体实例抽象出排列概念的过程，提升数学抽象素养；通过排列数公式的推导过程，提升逻辑推理素养；通过排列问题的计算与应用，提升数学运算素养。3.情感态度与价值观目标：通过体会排列知识在生活、体育、管理等领域的实际应用，感受数学知识的逻辑性与实用性，激发学生主动探究计数问题的兴趣，养成条理思考问题的习惯。四、教学重难点1.教学重点：排列概念的理解，排列数公式的推导与计算，排列问题的简单应用。2.教学难点：对排列概念中“有序性”的理解，准确辨析实际问题是否为排列问题，区分可重复元素与不可重复元素的计数差异。五、教学方法本节课采用问题驱动教学法、小组讨论法、讲练结合法，以问题链引导学生自主探究概念生成，通过小组讨论概括排列的本质特征，通过例题讲解与课堂练习巩固知识，突破易错点。六、教学过程（一）复习导入（5分钟）教师通过两个问题复习之前学习的两个基本计数原理，引导学生回顾两个原理的区别与应用场景：问题1：从A市到B市，可乘坐高铁也可乘坐大巴，一天中高铁有6班，大巴有4班，问一天中从A市到B市共有多少种不同的出行方法？学生回答：完成出行这件事可以分两类，不同类别的方法相互独立，所以用分类加法计数原理，总方法数为6+4=10种。问题2：从A市到B市需要经停C市中转，从A市到C市有5种不同的交通方式，从C市到B市有3种不同的交通方式，问从A市到B市共有多少种不同的出行方法？学生回答：完成这件事需要分两步，两步都完成才能到达目的地，所以用分步乘法计数原理，总方法数为5×3=15种。教师总结：分类加法计数原理适用于完成一件事可以分为若干类独立完成的情况，总方法数为各类方法数相加；分步乘法计数原理适用于完成一件事需要分多个有序步骤完成的情况，总方法数为各步骤方法数相乘。本节课我们将运用这两个原理，研究一类更具普遍性的计数问题——排列问题。（二）新知探究（20分钟）环节1：排列概念的生成教师给出两个具体的实际问题，引导学生用已经学过的计数原理求解：实例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名，按照前排一人、后排一人的顺序安排座位，一共有多少种不同的安排方法？学生自主计算后回答：第一步安排前排，有3种选法，前排选好后第二步安排后排，剩下2名同学，有2种选法，根据分步乘法计数原理，总共有3×2=6种不同的安排方法，所有排列分别为：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙。实例2：从1、2、3、4四个不同的数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，一共可以得到多少个不同的三位数？学生自主计算后回答：第一步选百位数字，有4种选法，百位选好后选十位数字，剩下3个数字，有3种选法，十位选好后选个位数字，剩下2个数字，有2种选法，根据分步乘法计数原理，总共有4×3×2=24种不同的三位数。教师提出探究问题：以上两个问题有什么共同的特征？请同学们前后四人一组，讨论3分钟后总结发言。小组讨论结束后，教师引导学生逐步概括共同特征：①两个问题都是从若干个不同的元素中取出一部分元素；②取出元素后要按照一定的顺序排成一列；③交换两个元素的位置，会得到不同的结果，即结果与顺序相关。教师给出排列的正式定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。教师对定义进行分层解读，明确关键点：①定义中要求n个元素本身是不同的，取出的m个元素也是不同的，即本节课研究的是无重复元素的排列问题；②判断一个计数问题是否为排列问题，核心标准是“有序性”：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也完全相同，只要顺序不同，即使元素相同，也是不同的排列。教师给出一组辨析题，让学生即时判断是否为排列问题，巩固概念：（1）从10名班干部中选出2人，分别担任班长和团支书，一共有多少种不同的选法？（是，职位不同，顺序不同结果不同）（2）从10名班干部中选出2人参加学生会代表大会，一共有多少种不同的选法？（不是，两人都作为代表，没有顺序差异）（3）从集合{1,2,3,4,5}中取出两个不同的数，分别作为点的横坐标和纵坐标，一共有多少个不同的点？（是，横纵坐标顺序不同对应不同的点）（4）从集合{1,2,3,4,5}中取出两个不同的数相加，一共有多少个不同的和？（不是，加法交换律，交换两个数的位置和不变，没有顺序差异）通过以上辨析，学生对排列的“有序性”形成清晰认知，突破第一个认知难点。环节2：排列数公式推导教师讲解排列数的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aₙᵐ表示。教师强调：排列是“按照一定顺序排成一列”这个具体的排法，排列数是所有不同排列的总个数，是一个数值，二者概念不同，不要混淆。结合之前的两个实例，对应写出排列数：实例1中从3个不同元素取出2个的排列数A₃²=6，实例2中从4个不同元素取出3个的排列数A₄³=24，引导学生思考一般情况下Aₙᵐ的计算公式是什么。教师引导学生分步推导：计算Aₙᵐ就是计算从n个不同元素中取出m个元素排成一列的所有方法数，我们可以分成m个步骤来完成：第一步，排第一个位置，从n个不同元素中任选一个，有n种选法；第二步，排第二个位置，已经选走1个元素，剩下n-1个不同元素，所以有n-1种选法；第三步，排第三个位置，已经选走2个元素，剩下n-2个不同元素，所以有n-2种选法；……第m步，排第m个位置，已经选走m-1个元素，剩下n-(m-1)=n-m+1个不同元素，所以有n-m+1种选法；根据分步乘法计数原理，总排列数为各步骤方法数相乘，因此：Aₙᵐ=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)教师总结这个公式的特点：公式右边第一个因数是n，之后每个因数都比前一个因数小1，一共连续m个因数相乘，这个公式叫做排列数的乘积形式，方便直接计算。举例验证：A₅²=5×4=20，A₅³=5×4×3=60，符合规律。接下来引出全排列的概念：当m=n时，也就是把n个不同元素全部取出排成一列，叫做n个元素的全排列，此时全排列的排列数为：Aₙⁿ=n×(n-1)×(n-2)×…×1这个乘积是从1到n连续正整数的乘积，我们把它叫做n的阶乘，记作n!，也就是Aₙⁿ=n!，为了方便后续公式化简，我们规定0!=1。接下来推导排列数的阶乘形式，我们对乘积形式变形可得：Aₙᵐ=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=[n(n-1)…(n-m+1)(n-m)!]/(n-m)!=n!/(n-m)!因此得到排列数的另一种形式：Aₙᵐ=n!/(n-m)!，这个形式方便进行公式化简和证明，我们常用两种形式结合解决问题。学生自主代入验证，A₃²=3!/(3-2)!=6/1!=6，符合之前的计算结果，推导成立。（三）例题讲解与巩固练习（12分钟）例1：计算下列各式的值：（1）A₆⁴（2）A₇⁷（3）A₈⁴-2A₈²学生自主计算后，教师讲解板书：（1）用乘积形式计算：A₆⁴=6×5×4×3=360；用阶乘形式计算：A₆⁴=6!/(6-4)!=720/2=360，两种方法结果一致。（2）A₇⁷=7!=7×6×5×4×3×2×1=5040。（3）A₈⁴=8×7×6×5=1680，2A₈²=2×8×7=112，因此A₈⁴-2A₈²=1680-112=1568。例2：某年全国足球甲级联赛共有14个队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一次，问总共要进行多少场比赛？教师引导分析：每一场主客场比赛，对应从14个队中选2个队，一个是主队一个是客队，顺序不同对应不同的比赛，因此是从14个不同元素中取出2个的排列问题，总场数就是A₁₄²，计算得A₁₄²=14×13=182，因此总共要进行182场比赛。例3（易错点辨析）：（1）从5本不同的书中选3本送给3个同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）从5种不同的书中买3本送给3个同学，每人各1本，同种书可以重复购买，共有多少种不同的送法？教师引导学生对比两个问题的差异：第一问中5本不同的书，选3本送，取出的书是不同的，且送给不同的同学顺序不同送法不同，因此是排列问题，共有A₅³=5×4×3=60种不同送法；第二问中是5种书，可以重复购买，因此送给每个同学都有5种选择，总送法是5×5×5=125种，不是排列问题，因为排列要求取出的元素不重复，这里元素可以重复，因此用分步乘法直接计算。通过这个例子澄清了排列概念中元素不同的要求，突破易错点。课堂练习：1计算A₁₀³；2用1，2，3，4，5这五个数字，能组成多少个没有重复数字的三位偶数？学生完成后教师订正，答案分别为720、24，巩固所学知识。（四）课堂小结与作业布置（5分钟）教师引导学生自主总结本节课所学内容：1排列的定义，核心特征是元素不同、结果有序；2排列与排列数的概念差异；3排列数的两个计算公式，乘积形式和阶乘形式；4判断排列问题的核心标准是看元素交换顺序后结果是否发生变化，变化就是排列问题。作业布置：教材课后习题9.1第1、2、3、5题，要求写出完整步骤，选做第7题，预习下一课组合的内容。七、板书设计左栏：排列定义核心关键点：元素不同、有序性；排列