北京市2018年中考数学试题及答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市2018年数学中考真题一、单选题1．下列几何体中，是圆柱的为（

）A． B．C． D．2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(

)A．|a|>4 B．c−b>0 C．ac>0 D．a+c>03．方程组x−y=33x−8y=14A．x=−1y=2 B．x=1y=−2 C．x=−2y=14．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140mA．7.14×103m2 B．7.14×1045．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（

）A．360° B．540° C．720° D．900°6．如果a−b=23，那么代数式(A．3 B．23 C．33 7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．下图记录了某运动员起跳后的xA．10m B．15m C．20m8．右图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（−6，−3）时，表示左安门的点的坐标为（5，−6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（−12，−6）时，表示左安门的点的坐标为（10，−12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（−11，−5）时，表示左安门的点的坐标为（11，−11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（−16.5，−7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，−16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是A．①③ B．②③④ C．①④ D．①②③④二、填空题9．下图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“>”，“=”或“<”）10．若x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．11．用一组a，b，c的值说明命题“若a<b，则ac<bc”是错误的，这组值可以是a=，b=，c=．12．如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．14．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路30≤t≤3535<t≤4040<t≤4545<t≤50合计A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15．某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．三、解答题17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线及直线外一点P．求作：PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=_______，CB=_______，∴PQ∥l（____________）（填推理的依据）．18．计算：4sin19．解不等式组：3(x+1)>x−1x+920．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．21．如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=5，BD=2，求OE22．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．23．在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x>0）的图象G经过点A（4，1），直线l∶y=14x+b与图象G交于点B（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b=−1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．24．如图，Q是AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交AB于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C

小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x0123456y5.624.673.762.653.184.37y5.625.595.535.425.194.734.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1

（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）；b．A课程成绩在70≤x<80这一组是：70

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79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．26．在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−3a经过点A，将点B（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．已知点A（−2，6），B（−2，−2），C（6，−2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（−1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G，若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页北京市2018年数学中考真题参考答案题号12345678答案ABDCCABD1．A【分析】根据几何体的特征进行判断即可．【详解】A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为四棱柱，D选项为四棱锥．故选：A．【点睛】本题考查立体图形的认识，掌握立体图形的特征是解题的关键．2．B【分析】观察数轴得到实数a，b，c的取值范围，根据实数的运算法则进行判断即可.【详解】∵−4<a<−3，∴3<a数轴上表示b的点在表示c的点的左侧，故B选项正确；∵a<0，c>0，∴ac<0，故Ｃ选项错误；∵a<0，c>0，a>c，∴故选：B.【点睛】主要考查数轴、绝对值以及实数及其运算.观察数轴是解题的关键.3．D【分析】根据方程组解的概念，将4组解分别代入原方程组，一一进行判断即可.【详解】解：将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，故选D．4．C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n【详解】7140×35=249900≈2.5×105故选C．【点睛】考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.5．C【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】由题意，正多边形的边数为n=360°其内角和为n−2⋅180°=720°故选C.【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.6．A【详解】分析：根据分式混合运算的法则进行化简，再把a−b=23详解：原式=a∵a−b=23∴原式=3故选A.点睛：考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.7．B【详解】分析：根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.详解：设对称轴为x=ℎ，由（0，54.0）和（40，46.2）可知，ℎ<0+40由（0，54.0）和（20，57.9）可知，ℎ>0+20∴10<ℎ<20，故选B．点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.8．D【详解】分析：根据天安门的坐标和点的平移规律，一一进行判断即可.详解：显然①②正确；③是在②的基础上，将所有点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，故③正确；④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（−18，−9）时，表示左安门的点的坐标为（15，−18）”的基础上，将所有点向右平移1.5个单位，再向上平移1.5个单位得到，故④正确．故选D.点睛：考查平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键.9．>【分析】构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小.【详解】解：如下图所示，△AFG是等腰直角三角形，∴∠FAG=∠BAC=45°，∴∠BAC>∠DAE．故答案为>.另：此题也可直接测量得到结果．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形是解题的关键.10．x≥0【详解】分析：根据二次根式有意义的条件，即可求出实数x的取值范围.详解：被开方数为非负数，故x≥0．故答案为x≥0．点睛：考查二次根式有意义的条件，被开方数大于等于零.11．23-1【分析】根据不等式的性质3，举出例子即可．【详解】解：根据不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．满足a<b，c≤0即可，例如：2，3，−1．故答案为2，3，−1．【点睛】考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．12．70°【分析】根据CB=CD，得到∠CAB=∠CAD=30°，根据同弧所对的圆周角相等即可得到∠ABD=∠ACD=50°，根据三角形的内角和即可求出.【详解】∵CB=CD，∴∠CAB=∠CAD=30°，∴∠BAD=60°，∵∠ABD=∠ACD=50°，∴∠ADB=180°−∠BAD−∠ABD=70°．故答案为70°.【点睛】考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.13．10【分析】根据勾股定理求出AC=AD2+CD2=5，根据AB【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=4，AB//CD，∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∠ADC=90°∴AC=A∵E是AB中点，∴AE=1∵AB//CD，∴AFCF∴CF=2故答案为：103【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．14．C【分析】样本容量相同，观察统计表，可以看出C线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，即可得出结论.【详解】解：样本容量相同，C线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，∴乘坐C线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．故答案为：C.【点睛】考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键.15．380【分析】分析题意，可知，八人船最划算，其次是六人船，计算出最总费用最低的租船方案即可.【详解】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为100+130+150=380（元）故答案为380.【点睛】考查统筹规划，对船型进行分析，找出总费用最低的租船方案即可.16．3【分析】左边图中，根据中国创新综合排名全球第22，找出对应创新产出排名，再从右图进行分析即可.【详解】详解：从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从右图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．故答案为3【点睛】本题考查函数图象获取信息，读懂图象是解题的关键17．(1)作图见解析（2）PA，CQ，三角形中位线平行于三角形的第三边．【详解】分析：根据作图过程，补全图形即可.详解：（1）尺规作图如下图所示：（2）PA，CQ，三角形中位线平行于三角形的第三边．点睛：考查尺规作图，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键.18．2−2【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可.【详解】原式=4×2【点睛】本题考查实数的运算，主要考查零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.19．−2<x<3．【详解】分析：分别解不等式，找出解集的公共部分即可.详解：3x+1由①得，x>−2，由②得，x<3，∴不等式的解集为−2<x<3．点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.20．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．【分析】（1）求出根的判别式Δ=（2）方程有两个相等的实数根，则Δ=b2−4ac=0，写出一组满足条件的【详解】（1）解：由题意：a≠0．∵Δ=∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足b2−4ac=0（解：令a=1，b=−2，则原方程为x2解得：x1【点睛】考查一元二次方程ax2+bx+c=0当Δ=当Δ=当Δ=21．（1）证明见解析；（2）OE=2．【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．（2）根据菱形的性质和勾股定理求出OA=A【详解】（1）证明：∵AB//CD，∴∠CAB=∠ACD，∵AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠CAD，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，又∵AD=AB，∴AB=CD，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴▱ABCD是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，∴AC⊥BD，OA=OC=12AC∴OB=1在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∴OA=A∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，在Rt△AEC中，∠AEC=90°，O为AC中点，∴OE=1【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）43【分析】（1）根据切线的性质定理得到PC=PD，OP平分∠CPD．根据等腰三角形的性质即可得到PQ⊥CD于Q，即OP⊥CD．（2）连接OC、OD．根据等腰三角形的性质和平角的性质得到∠COD=180°−∠AOD−∠BOC=60°．进而得到∠DOQ=12∠COD=30°【详解】（1）证明：∵PC、PD与⊙O相切于C、D．∴PC=PD，OP平分∠CPD．在等腰△PCD中，PC=PD，PQ平分∠CPD．∴PQ⊥CD于Q，即OP⊥CD．（2）解：连接OC、OD．∵OA=OD∴∠OAD=∠ODA=50°∴∠AOD=180°−∠OAD−∠ODA=80°同理：∠BOC=40°∴∠COD=180°−∠AOD−∠BOC=60°．在等腰△COD中，OC=OD．OQ⊥CD∴∠DOQ=1∵PD与⊙O相切于D．∴OD⊥DP．∴∠ODP=90°．在Rt△ODP中，∠ODP=90°，∴OP=OD【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形等，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．23．（1）4；（2）①3个．（1，0），（2，0），（3，0）．②−54≤b<−1【详解】分析：（1）根据点A（4，1）在y=kx（x>0）的图象上，即可求出（2）①当b=−1时，根据整点的概念，直接写出区域W内的整点个数即可.②分a．当直线过（4，0）时，b．当直线过（5，0）时，c．当直线过（1，2）时，d．当直线过（1，3）时四种情况进行讨论即可.详解：（1）解：∵点A（4，1）在y=kx（∴k4∴k=4．（2）①3个．（1，0），（2，0），（3，0）．②a．当直线过（4，0）时：14×4+b=0b．当直线过（5，0）时：14×5+b=0c．当直线过（1，2）时：14×1+b=2，解得d．当直线过（1，3）时：14×1+b=3∴综上所述：−54≤b<−1点睛：属于反比例函数和一次函数的综合题，考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的图象与性质，掌握整点的概念是解题的关键,注意分类讨论思想在解题中的应用.24．（1）3.00；（2）作图见解析；（3）3.00或4.83或5.88．【分析】（1）当x=3时，PC即为圆的半径.（2）根据（1）中的图表，描点，连线即可.（3）根据等腰三角形的性质，结合函数图象进行回答即可.【详解】解：（1）3.00（2）如下图所示：

（3）3.00或4.83或5.88．如下图所示，函数图象的交点的横坐标即为所求．

【点睛】考查动点产生的函数图象问题，函数探究,圆的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握函数图象以及性质是解题的关键.25．（1）78.75；（2）B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数；（3）180人．【分析】（1）根据中位数的概念直接进行计算即可；（2）根据成绩和中位数的关系即可知道排名更靠前的课程；（3）用总人数300乘以抽取的学生中A课程成绩超过75.8分的比例即可．【详解】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：707171717676777878.578.579797979.5，∴A课程的中位数为78.5+792（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．（2）B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．（3）解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过75.8的人数为36人．∴3660答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过75.8的人数为180人．【点睛】本题考查考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，熟练掌握中位数的计算方法和意义是解题的关键．26．（1）C（5，4）；（2）x=1；（3）a<−43或a≥1【详解】分析：（1）根据直线y=4x+4与x轴、y轴交于A、B．即可求出A（−1，0），B（0，4），根据点的平移即可求出点C的坐标；（2）根据抛物线y=ax2+bx−3a过A（−1，0（3）分①当抛物线过点C时．②当抛物线过点B时．③当抛物线顶点在BC上时．三种情况进行讨论即可.详解：（1）解：∵直线y=4x+4与x轴、y轴交于A、B．∴A（−1，0），B（0，4）∴C（5，4）（2）解：抛物线y=ax2+bx−3a过A（−1∴a−b−3a=0．b=−2a∴y=a∴对称轴为x=−−2a（3）解：①当抛物线过点C时．25a−10a−3a=4，解得a=13②当抛物线过点B时．−3a=4，解得a=−43③当抛物线顶点在BC上时．此时顶点为（1，4）∴a−2a−3a=4，解得a=−1．∴综上所述a<−43或a≥1点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用.27．（1）证明见解析；（2）BH=2AE，理由见解析【分析】（1）连接DF．