北京市2021年中考数学试题及答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市2021年中考数学真题一、单选题1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（

）A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱2．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014−2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（

）A．0.1692×1012 B．1.692×1012 C．3．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC=120°，则∠BOD的大小为（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．下列多边形中，内角和最大的是（

）A． B． C． D．5．实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A．a>−2 B．a>b C．a+b>0 D．6．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（

）A．14 B．13 C．127．已知432=1849,442=1936,452=2025,46A．43 B．44 C．45 D．468．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题9．若x−7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：5x211．方程2x+3=112．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A1,2和点B−1,m13．如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点．若∠P=50°，则∠AOB=．14．如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，AF=EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．15．有甲､乙两组数据，如表所示：甲1112131415乙1212131414甲､乙两组数据的方差分别为s甲2,s乙16．某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为4a+1小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为2b+3小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn的值为三、解答题17．计算：2sin18．解不等式组：4x−5>x+119．已知a2+2b20．《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B,A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C,B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A,B,C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在△ABC中，BA=______________，D是CA的中点，∴CA⊥DB（______________）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．21．已知关于x的一元二次方程x2（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．22．如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45，求23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=1（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD=∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长．25．为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x<8,8≤x<10,10≤x<12,12≤x<14,14≤x≤16）：b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x<12这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8c．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．26．在平面直角坐标系xOy中，点1,m和点3,n在抛物线y=ax（1）若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点−1,y1,2,y27．如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′,C′分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A,B1,C1,B（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A0,t，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页北京市2021年中考数学真题参考答案题号12345678答案BCADBCBA1．B【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；故选B．【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．2．C【分析】根据科学记数法可直接进行求解．【详解】解：由题意得：将169200000000用科学记数法表示应为1.692×10故选C．【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．3．A【分析】由题意易得∠COB=60°，∠COD=90°，进而问题可求解．【详解】解：∵点O在直线AB上，OC⊥OD，∴∠AOC+∠COB=180°，∠COD=90°，∵∠AOC=120°，∴∠COB=60°，∴∠BOD=90°−∠COB=30°；故选A．【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．4．D【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；B、是一个四边形，其内角和为360°；C、是一个五边形，其内角和为540°；D、是一个六边形，其内角和为720°；∴内角和最大的是六边形；故选D．【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．5．B【分析】由数轴及题意可得−3<a<−2,0<b<1，依此可排除选项．【详解】解：由数轴及题意可得：−3<a<−2,0<b<1，∴a>b,a+b<0,b−a>0∴只有B选项正确，故选B．【点睛】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键．6．C【分析】根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．【详解】解：由题意得：∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是P=2故选C．【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．7．B【分析】由题意可直接进行求解．【详解】解：∵432∴442∴44<2021∴n=44；故选B．【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．8．A【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：2x+y=10，整理得：S=xy=x−x+5∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；故选A．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．9．x≥7【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：x−7≥0，解得：x≥7；故答案：为x≥7．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．10．5【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．【详解】解：5x故答案为5x+y【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．11．x=3【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解．【详解】解：22x=x+3，∴x=3，经检验：x=3是原方程的解．故答案为：x=3．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．12．−2【分析】由题意易得k=2，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．【详解】解：把点A1,2代入反比例函数y=kx∴−1×m=2，解得：m=−2，故答案为-2．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．13．130°【分析】由题意易得∠PAO=∠PBO=90°，然后根据四边形内角和可求解．【详解】解：∵PA,PB是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴由四边形内角和可得：∠AOB+∠P=180°，∵∠P=50°，∴∠AOB=130°；故答案为130°．【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．14．AF=AE（答案不唯一）【分析】由题意易得四边形AECF是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//∵AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形，若要添加一个条件使其为菱形，则可添加AF=AE或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；故答案为AF=AE（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定是解题的关键．15．＞【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可．【详解】解：由题意得：x甲=11+12+13+14+15∴s甲s乙∴2>4∴s甲故答案为＞．【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键．16．2∶31【分析】设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得4x+1=25−x+3，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为【详解】解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：4x+1=25−x+3，解得：∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），∴分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2∶3；∴第二天开工时，给A生产线分配了2+m吨原材料，给B生产线分配了3+n吨原材料，∵加工时间相同，∴42+m解得：m=1∴mn故答案为2:3，12【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．17．3【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．【详解】解：原式=2×3【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键．18．2<x<4【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解．【详解】解：4x−5>x+1①由①可得：x>2，由②可得：x<4，∴原不等式组的解集为2<x<4．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．19．1【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可．【详解】解：a−b=a=a2∵a2∴a2代入原式得：原式=1．【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键．20．（1）图见详解；（2）BC，等腰三角形的三线合一【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．【详解】解：（1）如图所示：（2）证明：在△ABC中，BA=BC，D是CA的中点，∴CA⊥DB（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向；故答案为BC，等腰三角形的三线合一．【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键．21．（1）见详解；（2）m=1【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0的两实数根为x【详解】（1）证明：由题意得：a=1,b=−4m,c=3m∴Δ=b∵m2∴Δ=4m∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0∵x1∴x1解得：m=±1，∵m>0，∴m=1．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．22．（1）见详解；（2）BF=4，AD=3【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由BE=5,cos【详解】（1）证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，∴AD∥CE，∵AE//∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形AECD是平行四边形，∴CE=AD，∵EF⊥AB，AE平分∠BAC，∠ACB=90°，∴EF=CE，∴EF=CE=AD，∵BE=5,cos∴BF=BE⋅cos∴EF=B∴AD=EF=3．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．23．（1）y=12【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；（2）由题意可先假设函数y=mxm≠0与一次函数y=kx+b的交点横坐标为−2，则由（1）可得：m=1【详解】解：（1）由一次函数y=kx+bk≠0的图象由函数y=12（2）由题意可先假设函数y=mxm≠0与一次函数y=kx+b的交点横坐标为−2−2m=12×函数图象如图所示：∴当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mxm≠0的值大于一次函数y=kx+b的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当m=12时，符合题意，当m<12综上所述：12【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．24．（1）见详解；（2）GC=6，OF=【分析】（1）由题意易得BD=（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有OE=12CG,OE【详解】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴BD=∴∠BAD=∠CAD；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∴OE=1∴△AOF∽△CGF，∴OACG∵OE=3，∴CG=6，∵⊙O的半径为5，∴OA=OG=5，∴56∴OF=5【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．25．（1）m=10.1；（2）p1【分析】（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解；（2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解；（3）根据乙城市的平均数可直接进行求解．【详解】解：（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数，∵6≤x<8有3家，8≤x<10有7家，10≤x<12有8家，∴中位数落在10≤x<12上，∴m=10.1；（2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则p1最大为12个；乙城市中位数高于平均数，则p∴p1（3）由题意得：200×11=2200（百万元）；答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．【点睛】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关键．26．（1）x=−1；（2）y2【分析】（1）由题意易得点1,3和点3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当m<0,n>0时和当m>0,n<0时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．【详解】解：（1）当m=3,n=15时，则有点1,3和点3,15，代入二次函数y=axa+b=39a+3b=15，解得：a=1∴抛物线解析式为y=x∴抛物线的对称轴为x=−b（2）由题意得：抛物线y=ax2+bxa>0始终过定点①当m>0,n<0时，由抛物线y=ax2+bxa>0始终过定点0,0可得此时的抛物线开口向下，即②当m<0,n>0时，∵抛物线y=ax2+bx∴此时抛物线的对称轴的范围为12∵点−1,y∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32∵a>0，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴y2【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．27．（1）∠BAE=∠CAD，BM=BE+MD，理由见详解；（2）DN=EN，理由见详解．【分析】（1）由题意及旋转的性质易得∠BAC=∠EAD=α，AE=AD，然后可证△ABE≌△ACD，进而问题可求解；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交BC于点H，由（1）可得∠ABE=∠ACD，BE=CD，易证BH=BE=CD，进而可得HM=DM，然后可得△DMN∽△DHE，最后根据相似三角形的性质可求证．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠EAD=α，∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=α，∴∠BAE=∠CAD，由旋转的性质可得AE=