江西省萍乡市高三第一次质量检测数学（文）试题

2022届江西省萍乡市高三第一次质量检测数学（文）试题

一、单选题

1.已知全集U,集合用，N是U的子集，且"UN,则下列结论中一定正确的是（）.

A.（麻M）u（VN）=UB.例c（6a）=0

C.M2（»UN）=UD.（MM）CN=0

【答案】B

【分析】利用集合的交、并、补运算以及逐一判断即可.

【详解】集合/，N是U的子集，且MUN,

对于A,（痛M）u（心卜?故A不正确；

对于B,Mc（MN）=0,故B正确；

对干C.,不包括属于N日不属干M的部分,故C不正确：

对于D,（MM）CNH0,其交集为属于N且不属于M的部分，故D不正确.

故选：B

2.在复平面内，若复数Z与二表示的点关于虚轴对称，则复数2=（）.

1+21

113

+

A.5-B.5-5-

【答案】A

【分析】首先化简m，再根据对称性求复数z.

1+2/

【详解】会1+2/=+5雪55=-！T,因为更1+数2/z与=表示的点关于虚

|3

轴对称，所以

故选：A

3.关于1的方程f一以+力=（）,有下列四个命题：

甲：x=l是方程的一个根；乙：X=4是方程的一个根；

丙：该方程两根之和为3；T：该方程两根异号.

如果只有一个假命题，则假命题是（）.

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】A

【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程V—依+〃=。

的两根，进而可得出结沦.

【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于工的方程丁一6-+。=0的一根为4,

由于两根之和为3,则该方程的另一根为-1,两根异号，合乎题意；

若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则工=1是方程V—办+/2=()的一根，

由于两根之和为3,则另一根为2,两根同号，不合乎题意；

若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x的方程f+〃=()的两根为1和4,两

根同号，不合乎题意；

若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于%的方程/+如+。=0的两根为1和4，

两根之和为5,不合乎题意.

综上所述，甲命题为假命题.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分

别是假命题进行分类讨沦，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判

断.

4.在平面直角坐标系中定义点P(x,y)的“准奇函数点”为尸37,沙-田，若函数。上

所有点的“准奇函数点”都在函数C上，则称函数C为“准奇函数下列函数不是“准奇

函数”的是().

7r-l

A./(x)=cos(x+1)B.f(x)=———

x+1

C.=D./(A)=X

【答案】C

【分析】由题意可知，“准奇函数''的定义实际上等价于函数有对称中心(。力),然后根据

函数的解析表达式逐一判定即可.

【详解】〃X)=8S(X+1)的图象由余弦函数y=COSX的图象向左平移一个单位得到，

有无穷多个对称中心;/(力=:一=2+一丁其图象由反比例函数)，=-'的图象向左

-XI*1"i1工

3

平移1个单位，再向上平移2个单位得到，反比例函数的图象的对称中心为原

x

点，・・・f(x)=空?的图象的对称中心为(T2);〃x)=阴是偶函数,其关于y轴对称,

人•1

没有对称中心；〃耳=》的图象是过原点的一条直线，直线上的每一点都是其图象的对

称中心.

由上可知，ABD都是中心对称图形，C不是中心对称图形,

因为点P（x，V）与其“准奇函数点"P'（%-x,3-y）关于点（4。）中心对称,所以一个函数

为“准奇函数”的充分必要条件是函数的图象存在对称中心（。⑼，

故选:C.

【点睛】本题考查对新概念的理解，涉及分式函数，三角函数，的图象和性质，关键是

掌握P（x»）与尸（2々-兀2〃->，）的对称性，得到“准奇函数”等价尸函数以点（.,〃）中心对

称.

5.已知空间中不重合的直线“，力和不重合的平面。，。,下列判断正确的是（）.

A.若a〃a,blla,则B.若bua,则a〃a

C.若力，aLa,则Z?//aD.若a_La,a1.p,则a///?

【答案】D

【分析】根据线线平行,线面平行，面面平行的判定定理逐项分析即可.

【详解】若a〃a,bHa,则，与匕平行或相交或异面，故A错；

若a〃b,bua,则a〃a或aua,故B错；

若;a_Lc,则〃〃a或。ua,故C错；

若。，。，a_L/,则a%,正确.

故选：D.

6.已知单位向量〃，/?满足4.力=0，若向量。=^“一也力，则sin<a,c>=（

A口>/6r\[5口

A•-----D・1/•LJ•

4488

【答案】B

【分析】由题设易得。+G与=|〃||c|cos<〃,c>.由已知向量C的线性表达式，两

边平方求|c|,进而求得cos<a,c>,即可求sinva,c>.

【详解】由题意，得a.c=a.（旧a+£b）=\[^a~+#>a.b,又a/=0,〃为单位向量,

ac=\a||c|cos<a,c>=>/5,又|c/二（不a+百力）？=8,即|c|=2五，

/.cos<a,c>=-^==,又<。，。>€[0,乃],sin<a,c>=—

2j244

故选：B.

【点睛】关键点点睛：利用向量数量税的运算律求4”•及1。1，再结合数量积定义求向量

夹角<a,c>的余弦值.

x-y>0

7.已知x,y满足约束条件，x+y-4N0,则z=-2x+），的最大值是（）.

），之1

A.-1B.-2C.-5D.-7

【答案】B

【分析】画出可行域，化目标函数z=-2x+），为），=2x+z,平移找截距最大即可.

x-y>0

【详解】画出约束条件T+之。，所表示的平面区域，如图所示，

*1

由目标函数z=2xIy可化为y=2xIz,

当直线y=2x+z过点A时，在），轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值,

x+y-4=0,.

又由d=0'解得A（2,2）,

所以Z的最大值为一2x2+2=—2

故选：B.

8.下列函数中，同时满足以下两个条件①“DxwR,/卜仁+"+4弋一）=0"；②“将

图象向左平移专个单位长度后得到的图象对•应函数为g（x）=cos2x”的一个函数是

（）.

A.sin（2x+DB.cos（2x+1C.cos°x+•D.sin（2x+-）

【答案】D

【分析】先判断出函数的对称性，然后逐项检验即可.

【详解】因为VrwR,+0

所以/（“关于点『/（））成中心对称

对于A,x=—J时，=sin=sin^=1*0,排除；

6ko7k3o/2

对于B,x=q时，/‘看=cos^-y+J^=cos0=1^0,排除；

对于C,x=时，=+学］=cos£=0,待进一步检验:

6koJ\3bJ2

71兀

对于D,工=一£时，fsin——+—=sin0=0,待进一步检验.

633

又将图象向左平移方个单位长度后得到的图象对应函数为g(x)=cos2x

对于C,平移后，y=cos[2(5/r

x+—+—=cos(2x+不)=-cos2x,排除;

12J6

对于D,平移后，y=sin2x+—71\+—71=sin(2x+—)=cos2x,正确.

<12J32

故选：D.

9.在平面直角坐标系屹y中，4(3,0),8((),-3),点M满足0M+x+y=\,

点N为曲线y=J—f-2x上的动点，则|MN|的最小值为().

「3五D.*

A.2>/2-lB.2>/2V-/•-----

2

【答案】C

【分析】首先确定点M和N的轨迹方程，以及画出两个轨迹图象，根据数形结合分析

|MN|的最小值.

-3-()

【详解】^=--=1,所以直线AB的方程是)，=1一3

0—3

,点M满足。M=xO4+yOB，x+y=l,「•点M在直线A8：y=x-3上,

点N在曲线"+1)2+)，2=1(”0)上,

如图，的最小值是点o到直线y=x-3的距离陷*=*=孚

【点睛】关键点点睛：本题的关键是能观察，变形出点N的轨迹方程是以(-1,0)为圆心,

半径为1的半圆，才能数形结合分析两点间距离的最小值.

10.已知双曲线了的焦点在x轴上，对称中心为原点，一A8C为等边三角形.若点A在x

轴上，点3,C在双曲线7上，且双曲线7的虚轴为.A8C的中位线，则双曲线7的渐

近线方程为().

A4.V15

A.y=±-----xB.y=±-xC.y=±—D.y=±—x

33,3，5

【答案】A

【分析】根据人8C为等边三角形，且双曲线7的虚轴为.ABC的中位线，得至=

则瓜叫,将6的坐标代入双曲线方程求解.

22

设双曲线方程为二—与=|(〃>0,〃>0).虚轴长为2b,

则改7=劭，B、。关于x轴对称，不妨设6在双曲线左支,

则其纵坐标为劝，

因为二4AC为等边三角形，ZABC=60°,

所以xH=-\[5b,

故网-5,2〃)，将B的竺标代入双曲线方程有当-冬=1,

则”，

a~3

所以渐近线方程为1y=±警乩

故选：A

II.已知正方体棱长为6,如图，有一球的球心是4G的中点，半径为2,平面与。。截

A.兀B.7兀C.4兀D.3n

【答案】A

【分析】先求出球心到平面线。。的距离d,再求出截面圆的半径即得解.

【详解】•・•正方体的棱长为6,

，正方体对角线为66.

所以球心到平面BRC的距离d=J（3>/5）2-（6五x且'f=73

V23

由题得平面片0c截此球所得的截面是圆，

又球半径R=2,设截面圆半径为，则厂=疮万=1，

S=nr2=71•

故选：A

【点睛】方法点睛：求截面的面积，一般首先要确定被面的形状，再求截面的面积.

12.数列｛叫各项均是正数，4=（,«2=|,函数产不3在点，，*：）处的切线过点

,+2-2为”；4｝则下列命题正确的个数是（）.

①％+"4=电

②数列｛4+。川｝是等比数列；

③数列｛«用-3%｝是等比数列；

④4=卡.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

,-9/»3

【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到人=%=----『一，整理得

%-〃”+2+2%+|

到%+2-2册讨=34,利用构造法求出数列的通项，即兀判断；

【详解】解：由y=得了=/,

1373

所以A=产丁—2片

""T%+2-2%+］）an-an+2+2a”+［

：、（%+2-2"〃+i-=2a“nan+2-2z7„+1=3an（）,

1339

①〃=1%-2a2=3%=>^=3x—+2x—=3+—=—,

/1=2,-勿，=3ao=>6h=3x-+2x-=9+—=一,

2222

.92736］。

..fl3+a4=-+—=—=13,正确；

②由（）知4.2+%+l=3（%+l+%）,

・••首项4+生工0,9=3/0,・•・{〃"+<*}是等比数列，正确；

71

③4+2-3矶=-1(--3£)，首项的-3q=>3x3=0,不符合等比数列的定义，错误:

④由②对可知：/+品_产2'3"-2,

两边同除3"得果+?得

令号=〃,•,•d+g%=|nd=fi+g,

1

-

1q12111即数夕"a是恒为0的常数列.

-----=---=---=O

6363666

-h>>~6^y=^^=6=2n~'f故错误.

故选：B.

【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依

次写出这个数列的各项.由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的

前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等

差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项.

二、填空题

13.已知过点A(2,2)作直线A8,AC与圆片+()，-2『=1相切，且交抛物线,d=2y于B,

C两点，则的直线方程为.

【答案】6文+3丁+4=0

【分析】设8,留，吟)，利用点斜式求出直线/W,再利用圆心到直线的距离

等于半径可得6X]+3)「i4=0,同理可得।3y2•4=0,即求.

【详解】设弓}C，2，g

:x

Go(i+2)x-2y-2x}=0,

H-2x.|

•••圆心到宜线/W的距离d

+2f+4

3x：+12xj+8=0=>6须+3y+4=0,

同理6A2+3y2+4=(),

/.lBC:6x+3y+4=0.

故答案为：6x+3y+4=。

14.函数/(x)=3x-cosx在(0J(0))处的切线与直线2x-〃iv+l=0垂直，则实数小的值

为•

【答案】-6

【分析】利用导数的几何意义求斜率，再根据两条直线垂直求参数.

【详解】因为/'(x)=3+sinx,/'(0)=3,

所以在(OJ(O))处的切线的斜率为3,

因为切线与直线2戈-冲+1=0互相垂直，y=2x+_L,

mm

2

所以-x3=-l,解得"?=-6.

m

故答案为：-6

15.已知函数/(x)满足〃x)+/(-x)=2,g(x)=[+l,y=/(力与y=g(x)交于点

(为，片)，(才2，无)，则y】+)'2=.

【答案】2

【分析】抓住两个函数均关于(0,1)成中心对称即可获解.

【详解】因为f(x)+〃r)=2,所以)，=/(》)关于点(0,1)对称，

y=g(x)=：+l也关于点(0,1)对称，则交点关于(0,1)对称，

,y+乃=2

故答案为：2.

16.已知等比数列｛q｝满足0-则使得可生。“取得最小值的〃

为.

【答案】3或4

【分析】根据等比数列的通项公式求出，/=3,从而求出，4=/,再利用等比数列的通

项公式即可求解.

【详解】设公比为9,则g=3,

.q8

.・«|-ay=-8^1=,

I11

$‘%=§，4=1，.

27

・"=3或4时,4%取得最小值.

故答案为：3或4

17.已知过点4(2,2)作直线A8,AC与圆-2)2=1相切，且交抛物线Y=2)，于B,

C两点，则8c的直线方程为

【答案】6x+3y+4=0

【分析】设88,当，C,利用点斜式求出直线/W,再利用圆心到直线的距离

2

等于半径可得6西+3凹+4=0,同理可得6勺+3%+4=0,即求.

【详解】设中吟，Cx2,^.I

:.：(N+2)x-2y-2X|=0,

,2X||

•••圆心到直线AB的距离4=-r=*

5/(^1+2)+4

/.+I2X|+8=0=>6.V,+3y+4=0,

同理6占+3为+4=0,

/.IBC:6A+3_y+4=0.

故答案为：6x+3y+4=0

三、解答题

18.如图，在&A8C中，N8=60。，44=8,AO=7,点。在8C上，且cos/4OC=,.

(I)求

（2）若cos/C/m=正，求一48C的面积.

2

【答案】（1）3；（2）号叵.

【分析】（1）先求出cosNAOB,再由余弦定理求出8。；

（2）先求出sinNCA。，sinC,再由正弦定理求出CD,进而得出5C,再由三角形面

积公式求解即可;

【详自军】(1)VcosZADfi=cos(n-ZADC)=-cosZAZX?=-1

在△A3。中，由余弦定理得82=8》+72-24。.7.85乙1。8=>8£）=3或-5（舍）.

(2)由已知sin/ADC=任，sinNCA£>=]

72

sinC=sin(Z.ADC+Z.CAD)=x-+-x—=—

'7727214

7x1

由正弦定理得CD=/必亩’2_49

=

sinenri3

14

•88

•------------•BC=3H----=—

1313

.cIo8873176百

△ABC213213

【点睛】关键点睛：解决本题一的关键是由诱导公式求出cosNAD/3,再由余弦定理求

出B。.

19.某校食堂按月订购一种螺蝴粉，每天进货量相同，进货成本每碗6元，售价每碗

10元，未售出的螺蜘粉降价处理，以每碗5元的价格当天全部处理完.根据往年销售

经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C）有关.如果最高气温不低于25,需求

量为200碗；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为300碗；如果最高气温低于20,

需求量为500碗.为了痈定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数

据，得下面的频数分布表：

最高气温[10,⑸[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数472536162

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种螺蝇粉一天的需求量不超过300碗的概率；

（2）设六月份一天销售这种螺蛔粉的利润为V（单位：元），当六月份这种螺螂粉-天

的进货量为450碗时，写出y的所有可能值，并估计丫的平均值（即加权平均数）.

【答案】（1）（2）匕=550（元），-1（）50（元），/=1800（:元），7=芋（元）.

【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间［25,30）和

最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概

率.

（2）由最高气温不低于25,需求量为200碗；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量

为300碗；如果最高气温低于20,需求量为500碗，求出y的所有可能值即可.

4+72£79

【详解】（1）P=1一=

4+7+25+36+16+290-90

(2)P(2(X))=—=0.6,=200x4+250x(-1)=800-250=550(元),

、5

p3(X))=—=—Y=3COx4+150x(-1)=1200-150=1050(元)，

,90182

P(5(K))=­,/=450x4=1800(元),

90

立ccn八Nsu八5211”八”-9908756602525

Y=550x0.6+1050x—+1SAOMOx—=330+175V5+20x11=—+—+—=.

189033333

【点睛】本题考查概率H勺求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型

等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、

化归与转化思想，是中档题.

20.图1是由正方形ABC。，「△ABE,RtZ\CD/组成的一个平面图形，其中

AB=AE=DF=i,将其沿A3、折起使得点E与点尸重合，如图2.

图2

（1）证明：图2中的平面/WE与平面国笫的交线平行于底面A8CZ）；

（2）求图2中几何体工-碇石的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）且.

12

【分析】（1）由线面平行的判定定理证得线面平行后，再由线面平行的性质定理得线线

平行，再得线面平行；

（2）先证得平面£4。与平面A8CO垂直，过E作EG_LA。于点G,则EG为四棱锥的

高，求出面和底面积，由体积公式得体积.

【详解】(1)*.*CD//AB,AB\平面ABE,平面43£,

/.CD〃平面ABE,

••'CQu平面£8,设平面ABEI平面£8=/,///CD,

••"0平面48。。，CDu平面A8CO,

，〃/平面A8CD,

即平面AM与平面KC力的交线平行底面ABCD.

注：将四棱锥补全成柱体亦可得证.

(2)VAI3//CD,AB1AE,CD1DE,AABA.DE,

VAECDE=EfAE,OEu平面4EQ,.・.A8_L平面AE/),

VABI平面ABCD,/,平面A4CO1平面AED,

过七作EG_LA。于点G,

•••平面ABCD、平面4以＞=/比＞,I.EGJ"平面A4C£),

VAE=DE=AD=\t：.EG=—，

2

在正方形48co中，54腔=3，

【点睛】关键点点睛：：本题考查证明线线平行，求棱锥的体积.解题关键是掌握线面

平行的判定定理的性质定理，利用这两个定理实现线线平行与线面平行的相互转化.求

棱锥的体积，需要求出棱锥的高，为此需要证明面面垂直，从而得线面垂直.

21.在平面直角坐标系X。,，中，已知椭圆力＞。）的离心率为半，且

过点（04）.如图所示，斜率为々（&＞（））且过点（-1,0）的直线/交椭圆C于A,B两点,

线段4B的中点为E,射线OE交椭圆。于点G,若尸在射线。，匕且

|OG|2=|O£|-|OF|.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：点/在定直线上.

【答案】（1）y+y2=l；（2）证明见解析.

【分析】（1）过点（。，1）,可得少=1,再结合离心率即可求出椭圆方程;

（2）设直线/的方程为y=Mx+l）（左＞0）,与椭圆联立用左表示G,E两点，即可算出产

点的横坐标为定值，从而获解.

【详解】（1）已知椭圆*•+艰=1（。＞方＞0）的离心率为争且过点（。,1）,

所以〃=1,

又C=4^不，则/=£=也±所以〃=6，

aa3

故椭圆C的标准方程为9+y2=\.

（2）设直线/的方程为＞=为％+1）（左＞0）,A（百,y）,8（孙%），

尸&(x+1)

联立工22得(3妤+1卜2+622工+3d-3=0,

~3+y=1

由题意知△＞（）恒成立,

由韦达定理得X+W=-含y，所以凹+乃=瞪3，

由于E为线段人8的中点，因此融=-缪二，&=二工，

3k十1Jk+1

此时纭管/

所以OE所在直线方程为一本

将其代入椭圆C的方程，并由攵＞（）,

3k

解得G「衍'祈/

3H

又好+/3/+］广

3k

由|0G『=|0©.|0百得君=勺..*=.*=虫=1^半1=_3，

•r3k-

-3一+1

因此，点尸在定直线x=-3上.

【点睛】方法点睛：求定线问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关.

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线.

22.已知函数f(x)=>/5jv-2sinx+\/5-l(x>0),g(A)=2jix-5sinx-\/5cosx+3.

(1)求j'3在［o,可上的最小值；

(2)证明:g(x)>f(x).

【答案】(1)华+6—2；(2)证明见解析.

6

【分析】(I)求导函数/&).由确定单调件•得极小值也即为最小值.

(2)不等式g(x)>/(x)化为6c-3sinx-75cos%+4-，>0.引入函数

*(*•)=6r-3sinx-石COSX+4-6,由导数求得。(外的最小值即可证明.

【详解】(1)f,(x)=y/3-2cosx,令/'(x)=。，得cos.c=日，

故在区间［0,对上，尸⑴的唯一零点是kg

6

■\

当XW时，r(力<0,/(x)单调递减，

当xe值兀时，r(x)>0,/⑴单调递增，

故在区间［0,可上,/(/)的最小值为噌)=与+6-2.

(2)要证：当x>0时，2>/3x-5sinx-73cosx+3>V3x-2sinx+>73-1>

即证：当x>0时，\Z3x-3sinx-\Z3cosx+4->/3>0.

令8(x)=Gv-3sinx-6cosx+4-6,

d(x)>o,

・・・*3在（0高上单调递减，在加上单调递增,

4—6=1+叵一石>0

6

所以xe(0,可时，(p(x)>0,

而xe(兀,+co)时，(9(A)=>/3x-2>/3sin^x+^J+4-73>x/3n-2\/3+4->/3>0,

综上，x>0时，*(丁)>0,即g(x)>/(x).

【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求函数的最值，证明不等式.解题方法是不等式

变形后，引入新函数，利用导数求得新函数的最值，从而得证不等式成立.

x=2V3cosa

23.在平面直角坐标系xQv中，曲线G的参数方程为rr(a为参数且

y=2j3+2,3sina

）,以坐标原点O为极点,上轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线a的极

坐标方程为夕=4cos8.

（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程;

（2）设点A的极坐标为（4“｝射线与C1的交点为例（异于极点）,

2

与的交点为N（异于极点），若MV|=X/5|M4|,求tany的值.

【答案】⑴G是圆心为伍,2码,半径为26的右半圆，P=4V3sin^e0,£|)；(2)

4G

3

【分析】（1）利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换;

（2）利用极坐标的几何意义和三角函数关系式求解.

x=2>/3cosa

【详解】（1）因为曲线。的参数方程为

y=26+2>/Jsina

所以C1是圆心为伍,2有）,半径为2月的右半圆，

所以G的直角坐标方程为』+卜-2石『=【2（八20）,

Sp2=x2+y2,x=pcos0,y=psin0,得夕？-4岛sin0=0,

所以C.的极坐标方程为夕=4s/3sine[oe。，寸.

（2）设知（月,。），N（%e）,

,：e=y,：.|^W|=4x/3siny,|O^|=4cos/,

|MN|=||O;W|-|。训=|4x/3sin/-4cos/|,

pW4|=|O4|sin|-|=4\/3cos/,

因为|MN|=回M4|,

所以14Gsiny-4cosy卜J3x4>/5cosynlany=±叵或一名二（舍）.

33

4G

二.tany=—^―

x=pcosO

【点睛】方法点睛：直侑坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式直

接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用.

24.已知函数f(x)=|M-|x+2|.

(I)求不等式的解集：

(2)若VxeR,使得/W28sx+a成立，求实数〃的取值范围.

【答案】(1){x|-l<x<3}；(2)«<-3.

【分析】(1)利用零点分段法，求不等式的解集；(2)不等式转化为。工(/(6-COS］).,

利用含绝对值和三角函数的性质，求函数的最小值.

【详解】(1)当xNO时，不等式化为［"=x+2)'l,解得ow；

当-2口<。时，不等式化为］：；：：：；)“解得―；

当xW-2时，不等式化为卜?丁+2)",无解.

x<-2

综L原不等式的解集为卜|-1。43}.

(2)由已知可得/(力一cosx"n(/(x)-cosx)=",

:/(力=凶+国_卜+2|讣卜卜_(3+2)|=凶一2之一2,

当且仅当x=0时等号成立，

又-cosxt-l,当且仅当x=2E,ZwZ时等号成立，

综上，可知/(«)-cosxN-3,当且仅当x=0时等号成立,

所以。4—3.

【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：

1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进正得

相应的含参不等式求参数的取值范围；

2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范

围.

25.如图，在nA8c中，NB=60。，八4=8,A£>=7,点。在AC上，且cos/AZ）C=；.

(1)求BD；

（2）若cos/C4O=正，求-ABC的面积.

2

【答案】（1）3；（2）与叵.

【分析】（1）先求出cosN/AOA,再由余弦定理求出4。；

（2）先求出sin/。。，sinC,再由正弦定理求出8,进而得出BC,再由三角形面

积公式求解即可:

【详解】(1);cosZ/WB=cos(冗一ZADC)=-cosZA£)C=

在ZXA6O中，由余弦定理得82=802+72-2・8£>7cosZA£)8n6Q=3或7(舍).

(2)由已知sin/AOC=辿，sin/C4O=1

72

13

/.sinC=sin(ZADC+ACAD)=

7272

7x1

249

rh正弦定理得C。=心*1。

sine13-13

14

.204988

••bC=3十一=一

1313

・G_1288柩八76出

••5A——x8x—x——---------

△ABC213213

【点睛】关键点睛：解决本题一的关键是由诱导公式求出cosNAOB,再由余弦定理求

出BD.

26.某校食堂按月订购一种螺蛔粉，每天进货量相同，进货成本每碗6元，售价每碗

10元，未售出的螺蜘粉降价处理，以每碗5元的价格当天全部处理完.根据往年销售

经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25,需求

量为200碗；如果最高气温位于区间［20.25）,需求量为300碗；如果最高气温低于20,

需求量为500碗.为了价定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数

据，得下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数472536162

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种螺蜘粉一天的需求量不超过300碗的概率；

（2）设六月份一天销隹这种螺螂粉的利润为丫（单位：元），当六月份这种螺蛔粉一天

的进货量为450碗时，写出y的所有可能值，并估计丫的平均值（即加权平均数）.

【答案】（1）（2）升=550（元），力=1050（元），/=18（X）（元），7=亍（元）.

【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间［25,30）和

最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概

率.

（2）由最高气温不低于25,需求量为200碗；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量

为300碗；如果最高气温低于20,需求量为500碗，求出V的所有可能值即可.

________4+7________2£_79

【详解】（1）P=l-

4+7+25+36+16+290-90

(2)P(2(X))=—=0.6,Yt=200x4+250x(-1)=8(X)-250=550(元)，

、5

p3(X))=—=—Y=3COx4+150x(-1)=1200-150=1050(元),

,9()182

P(5(X))=—,匕=450x4=1800(元),

90

芸us八N52“11”八175x5c八9908756602525

Y=550x0.6+1050x—+1800x-=330+------+20x1)=——+——+——=-----

189033333

【点睛】本题考查概率的求法，考查利涧的所有可能取值的求法,考查函数、古典概型

等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、

化归与转化思想，是中档题.

27.图1是由正方形ABC。，RiA4BE,RtATW7蛆成的一个平面图形，其中

AB=AE=DF=\,将其沿A3、。。折起使得点E与点尸重合，如图2.

E(D

（1）证明：图2中的平面八庞:与平面比。的交线平行于底面ABC。；

（2）求图2中几何体力-8c石的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）B.

12

【分析】（1）由线面平行的判定定理证得线面平行后，再由线面平行的性质定理得线线

平行，再得线面平行；

（2）先证得平面E4O与平面A8CO垂直，过E作EG_LA。尸点G,则EG为四棱锥的

高，求出高和底面积，务体积公式得体积.

【详解】（1）*.*CD//AB,ABi平面ABE,平面依E，

C。〃平面

：COu平面ECD,设平面A8E1平面ECD=/,/.1//CD,

•••/U平面ABC。，COu平面A8C。，

・•・/〃平面A68,

即平面与平面反力的交线平行底面ABCD.

注：将四棱锥补全成柱体亦可得证.

(2)VABHCD,A8_LAE,CD1DE,：.AB±DE,

VAErDE=Ef4£。七＜=平面4K0,・・・/\4_!_平面/1£。,

VABi平面ABCD,：.平面ABCD1平面A£O,

过E作EGJL4。于点G,

•••平面ABC。〕平面=AD,・•・EGJL平面A8C£),

VAE=DE=AD=\/.EG=—，

t2

在正方形A8CO中，5二祐=；，

BA-BCE=%-ABC=2EG，S^=今.

ABC

D

B

【点睛】关键点点睛：：本题考查证明线线平行，求棱锥的体积.解题关键是掌握线面

平行的判定定理的性质定理，利用这两个定理实现线线平行与线面平行的相互转化.求

棱锥的体积，需要求出棱锥的高，为此需要证明面面垂直，从而得线面垂直.

28.在平面直角坐标系g中，已知椭圆C，+亲一IQ/AO）的离心率为手，且

过点（0,1）.如图所示，斜率为〃任＞。）且过点（-1,0）的直线/交椭圆C于A,B两点,

线段AA的中点为E,射线0E交椭圆C于点G,若尸在射线0E上，且

\OG[=\OE\-\OF\.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：点尸在定直线上.

【答案】（1）日+），2=|；（2）证明见解析.

【分析】（I）过点（0,1），可得人=1,再结合离心率即可求出椭圆方程；

（2）设直线/的方程为y=Mx+l）（心＞0）,与椭圆联立用人表示G,E两点，即可算出厂

点的横坐标为定值，从而获解.

【详解】（1）已知椭圆捺+/=1（4＞。＞0）的离心率为半，且过点（0,1）,

所以6=1,

又C=^/^了，则6=£=土王=如，所以〃=6，

aa3

故椭圆C的标准方程为匕+y2=|.

3-

（2）设直线/的方程为），=«x+I）（左＞0）,A&M，6（“必），

y=攵(1+1)

联立2得(3k-+l).r2+6Mx+3*-3=(),

mX2=,i

由题意知△＞（）恒成迂，

由韦达定理得％+W=-碧］，所以凹+乃二系片，

由于七为线段人8的中点，因此年=-黑p*=念7,

m^oE=—=~.

XE3k

所以0£所在直线方程为y=-

3k

将其代入椭圆C的方程，并由攵＞0,

331

解得G-

"3好+1'/3/+1/

又E-

由|比『二|04|。目得益=见.打=以

因此，点尸在定直线x=-3上.

【点睛】方法点睛：求定线问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关.

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线.

29.已知函|数f(x)=Qx-2$inx+G—l(x>0),^(A)=2\/3x-5sinx->/3cosA+3.

（I）求）（K）在［0,可上的最小值;

（2）证明：g（x）＞/（力.

【答案】（1）冬+/-2；（2）证明见解析.

6

【分析】（1）求导函数„）,由确定单调性，得极小值也即为最小值.

（2）不等式g（x）＞/（x）化为"t_3sinx-68sx+4-x/5＞0.引入函数

^（x）=V3x-3sin.v-V3cosx+4-＞/3,由导数求得°（幻的最小值即可证明.

【详解】（1）r（A）=^-2cosx,令，（"=0,得cos.r=#，

故在区间［0,可上，/'"）的唯一零点是x=g

O

当xe0总时，小）<0,/（x）单调递减，

当日去兀时，r（x）>o,〃